第10讲 二次函数的图像与性质（讲练）（思维导图+17种题型（含14种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第三章 函数 第10讲 二次函数的图像与性质（8~20分） （思维导图+4考点+3命题点17种题型（含14种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次函数的概念 考点二 二次函数的图像与性质 考点三 二次函数与各项系数的关系 考点四 二次函数与方程、不等式 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的概念 ►题型01 列二次函数关系式 ►题型02 二次函数的识别 ►题型03 根据二次函数的定义求参数 命题点二 二次函数的图象与性质 ►题型01 的图象与性质 ►题型02 的图象与性质 ►题型03 的图象与性质 ►题型04 的图象与性质 ►题型05 的图象与性质 ►题型06 二次函数图象与各项系数的关系 ►题型07 一次函数与二次函数图象的综合判断 ►题型08 反比例函数与二次函数图象的综合判断 ►题型09 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ►题型10 根据二次函数的对称性求函数值 命题点三 二次函数与方程、不等式 ►题型01 求抛物线与坐标轴的交点 ►题型02 根据抛物线确定相应方程根的情况 ►题型03 图象法解一元二次不等式 ►题型04 根据交点确定不等式的解集 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次函数的相关概念 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 10年2考 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习. 二次函数的图象与性质 1.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 2.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 近10年连续考查 二次函数与各项系数的关系 理解二次函数与各项系数的关系 10年2考 二次函数与方程、不等式 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 10年3考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次函数的概念 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的结构特征： （1）函数关系式是整式； （2）自变量的最高次数是2； （3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 3.根据实际问题列二次函数关系式的方法： （1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； （2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； （3）列出相应二次函数的关系式. 4.二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 二次函数的特殊形式： （1）当b＝0时， y＝ax²＋c（a） （2）当c＝0时， y＝ax²＋bx （a） （3）当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a） 考点二 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 2.二次函数的图象变换 （1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 （2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 3.二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： （1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； （2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： ①抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； ②若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； ③二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 4.二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 点三 二次函数与各项系数的关系 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 考点四 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 2.二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1- x2|=） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的概念 ►题型01 列二次函数关系式 例题1．（2023·河南信阳·模拟预测）请写出一个图象经过点的二次函数的表达式： ． 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用自变量x表示出关键的量； 3.根据数量关系列出函数关系式。 1．（21-22九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 2．（2023·北京·模拟预测）线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 3．（2023·山东淄博·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 题型02 二次函数的识别 例2．（2024·北京西城·二模）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长y与宽x的关系；②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高x的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系 A．① B．② C．③ D．①③ 1.解析法：列出函数关系式，看是否符合二次函数解析式特征； 2.图像法：画出函数图象，观察是否符合抛物线特征； 1．（2023·福建南平·一模）下列函数中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东汕头·二模）若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 4．（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ ►题型03 根据二次函数的定义求参数 例3．（2024·四川内江·二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 1.将函数解析式化成一般形式； 2.二次项系数不为0； 3.自变量的最高次为1。 4.列出方程求出参数的值。 1．（2024·山东菏泽·一模）若二次函数经过原点，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法确定 2．（2023·广东云浮·一模）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 4．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数是二次函数，则m的值为 ． 命题点二 二次函数的图象与性质 ►题型01 的图象与性质 例1．（2024·云南昆明·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 1.的正负决定抛物线的开口方向；时开口向上，函数有最小值，时，开口向下，函数有最大值； 2.对称轴为直线； 3.顶点坐标为： 1．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 2．（2024·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 3．（2024·上海黄浦·三模）下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东东莞·模拟预测）已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． ►题型02 的图象与性质 例2．（2023·江苏镇江·中考真题）二次函数的最大值为 ． 1.的正负决定抛物线的开口方向；时开口向上，函数有最小值，时，开口向下，函数有最大值； 2.对称轴为直线； 3.顶点坐标为： 1．（2024·云南怒江·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 3．（2013·湖北省直辖县级单位·一模）如图，抛物线交x轴于点G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧，于点A，于点C，四边形与四边形的面积分别为6和10，则与的面积之和为 ． 4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． ►题型03 的图象与性质 例3．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 1.的正负决定抛物线的开口方向；时开口向上，函数有最小值，时，开口向下，函数有最大值； 2.对称轴为直线； 3.顶点坐标为： 1．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东广州·一模）已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（2023·上海崇明·一模）已知点、为二次函数图像上的两点，那么 ．（填“>”、“=”或“<”） 4．（22-23九年级上·山东济南·期末）二次函数的图像的顶点坐标是 ． ►题型04 的图象与性质 例4．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 1.的正负决定抛物线的开口方向；时开口向上，函数有最小值，时，开口向下，函数有最大值； 2.对称轴为直线； 3.顶点坐标为： 1．（2024·四川乐山·模拟预测）二次函数的顶点坐标为（  ）． A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·一模）关于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是(   ) A．对称轴是直线，最小值是 B．对称轴是直线，最大值是 C．对称轴是直线，最小值是 D．对称轴是直线，最大值是 3．（2024·云南曲靖·一模）设，，是抛物线图象上的三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（2024·安徽六安·模拟预测）抛物线经过点和，若，则b的值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 ►题型05 的图象与性质 例5．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 1.的正负决定抛物线的开口方向；时开口向上，函数有最小值，时，开口向下，函数有最大值； 2.对称轴为直线； 3.顶点坐标为： 1．（2023·四川达州·模拟预测）已知三点，，均在抛物线上，且，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 3．（2022·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，），当时，随的增大而增大，下列结论：当时，随的增大而减小；若图象经过点，则；若，是函数图象上的两点，则；若图象上两点，对一切正数n，总有，则其中结论正确的是 填序号． ►题型06 二次函数图象与各项系数的关系 例6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1.的正负决定抛物线的开口方向； 2.表示抛物线与y轴交点的纵坐标； 3.同号时，对称轴在y轴左侧，异号时，对称轴在y轴右侧； 4.当时，；当时，； 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①；②；③方程的两个根为；④抛物线上有两点和，若且，则 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且，下列结论中正确的是 （填写正确结论的序号）． ①；②；③若，则；④关于x的方程有一个根为． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不等的实数根； ④． 其中正确的是 （填写序号）． ►题型07 一次函数与二次函数图象的综合判断 例7．（2024·河南周口·三模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 1.先跟据一次函数图象确定系数的符号； 2.再根据二次函数的图象判断出系数的符号； 3.对比是否相等。 1．（2024·云南昆明·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023·山东青岛·一模）在同一坐标系下，函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． ►题型08 反比例函数与二次函数图象的综合判断 例8．（2024·江苏淮安·一模）如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 1.先跟据反比例函数图象确定系数的符号； 2.再根据二次函数的图象判断出系数的符号； 3.对比是否相等。 1．（2024·山东济宁·二模）已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A． B． C． D． 2．（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东潍坊·二模）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． ►题型09 已知抛物线上对称的两点求对称轴 例9．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 1.先判断两点的纵坐标是否相等，若相等，则可判断两点关于对称轴对称； 2.对称轴为两点横坐标的和的一搬； 1．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线经过和两点，则值为 ． 4．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）． (1)若，求的值； (2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围． ►题型10 根据二次函数的对称性求函数值 例10．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ． 1.平行于x轴的直线与抛物线的两交点关于对称轴对称； 2.先求出抛物线的对称轴； 3.再根据对称性，即两点关于对称轴对称，则两点到对称轴的距离相等，求出对应函数值。 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（    ） A． B． C．2 D．4 2．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 3．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ． 4．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为 点，， 在抛物线上． (1)当时，直接写出m与n的大小关系； (2)若对于 都有 求t的取值范围． 命题点三 二次函数与方程、不等式 ►题型01 求抛物线与坐标轴的交点 例1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ． 1.令，可求出抛物线与y轴的交点坐标； 2.令，解一元二次方程，可求出抛物线与x轴的交点坐标； 1．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 4．（2024·贵州遵义·二模）规定（n为正整数）为二次函数的“函系数”， 如：当时，的“函系数”为； 当时，的“函系数”为； 设二次函数与x轴的交点分别为（点在的左边）． (1)当时，对应的二次函数的解析式为 ； (2)求点的坐标（用含n的式子表示）． (3)当时，二次函数与直线的一个交点为（点不在y轴上）．判断线段和线段的数量关系，并说明理由． ►题型02 根据抛物线确定相应方程根的情况 例2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 4．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，且．下列四个结论： ①方程有两个不相等的实数根； ②若对任意的实数m，都有，则； ③若抛物线经过点，在抛物线上有且仅有2个点到x轴的距离等于n，则； ④点，在抛物线上，且都在y轴右侧，若，则． 其中正确的是 （填写序号）． ►题型03 图象法解一元二次不等式 例3．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）． (1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 1．（2024·广东中山·三模）记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（ ） A．01 B．0或 C．0或 D． 2．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 4．（2024·福建三明·二模）已知抛物线（为常数，且） (1)请直接写出该抛物线的对称轴：直线______． (2)若对于任意实数x，抛物线始终在x轴下方，求a的取值范围； (3)若，设抛物线的顶点为．若直线l与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴相交于点E，且点E在点M的上方，过点A作直线的垂线，垂足为D．若点D、M、B三点共线，那么直线是否经过一个定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． ►题型04 根据交点确定不等式的解集 例4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示，则当时，x的取值范围为（   ） x 3 4 y m 0 m A． B． C．或 D．或 2．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 4．（2024·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，函数值的取值范围是，求和的值； (3)当时，解决下列问题： ①抛物线上一点到轴的距离为6，求点的坐标； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，请求出的取值范围． 基础巩固 1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 3．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 4．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 6．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 7．（2024·广东湛江·模拟预测）若点，在抛物线上，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 8．（2024·安徽合肥·三模）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围为 ． 9．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且． (1)求二次函数的解析式． (2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为7，求的值． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线． (1)方程的解是______； (2)若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点； (3)不等式的解集是______． 11．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 能力提升 1．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的抛物线的顶点C在线段上（不包括点B）． (1)求b，c的值 (2)当时，请直接写出x的取值范围． 2．（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； (3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 3．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． (1)填空：____；____；_____． (2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． (3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． $$第三章 函数 第10讲 二次函数的图像与性质（8~20分） （思维导图+4考点+3命题点17种题型（含14种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次函数的概念 考点二 二次函数的图像与性质 考点三 二次函数与各项系数的关系 考点四 二次函数与方程、不等式 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的概念 ►题型01 列二次函数关系式 ►题型02 二次函数的识别 ►题型03 根据二次函数的定义求参数 命题点二 二次函数的图象与性质 ►题型01 的图象与性质 ►题型02 的图象与性质 ►题型03 的图象与性质 ►题型04 的图象与性质 ►题型05 的图象与性质 ►题型06 二次函数图象与各项系数的关系 ►题型07 一次函数与二次函数图象的综合判断 ►题型08 反比例函数与二次函数图象的综合判断 ►题型09 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ►题型10 根据二次函数的对称性求函数值 命题点三 二次函数与方程、不等式 ►题型01 求抛物线与坐标轴的交点 ►题型02 根据抛物线确定相应方程根的情况 ►题型03 图象法解一元二次不等式 ►题型04 根据交点确定不等式的解集 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次函数的相关概念 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 10年2考 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习. 二次函数的图象与性质 1.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 2.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 近10年连续考查 二次函数与各项系数的关系 理解二次函数与各项系数的关系 10年2考 二次函数与方程、不等式 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 10年3考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次函数的概念 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的结构特征： （1）函数关系式是整式； （2）自变量的最高次数是2； （3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 3.根据实际问题列二次函数关系式的方法： （1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； （2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； （3）列出相应二次函数的关系式. 4.二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 二次函数的特殊形式： （1）当b＝0时， y＝ax²＋c（a） （2）当c＝0时， y＝ax²＋bx （a） （3）当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a） 考点二 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 2.二次函数的图象变换 （1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 （2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 3.二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： （1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； （2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： ①抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； ②若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； ③二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 4.二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 考点三 二次函数与各项系数的关系 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 考点四 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 2.二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1- x2|=） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的概念 ►题型01 列二次函数关系式 例题1．（2023·河南信阳·模拟预测）请写出一个图象经过点的二次函数的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此考查了二次函数的图象和性质，根据条件写出符合题意的解析式即可． 【解析】解：的顶点是，符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用自变量x表示出关键的量； 3.根据数量关系列出函数关系式。 1．（21-22九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，二次函数．熟练掌握一次函数、二次函数的定义是解题的关键． 根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可． 【解析】解：由题意知，， ∴，， ∴y是t的一次函数，S是t的二次函数， 故选：D． 2．（2023·北京·模拟预测）线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【答案】C 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【解析】解：由题意，得 ，属于正比例函数关系， ，属于二次函数关系， 故选：C． 3．（2023·山东淄博·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可. 【解析】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意； 用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故②不符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故③符合题意； 所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是①②． 故选：B． 4．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【解析】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） ►题型02 二次函数的识别 例2．（2024·北京西城·二模）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长y与宽x的关系；②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高x的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系 A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润(售价进价)销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【解析】解：①矩形的长y与宽x的关系式为，因此是的反比例函数，故①不符合题意； ②侧面积与圆柱的高x的关系式为：，因此是的正比例函数，故②不符合题意； ③利润y（元）与每件进价x（元）的关系式为： ，因此是的二次函数，故③符合题意； 故选：C． 1.解析法：列出函数关系式，看是否符合二次函数解析式特征； 2.图像法：画出函数图象，观察是否符合抛物线特征； 1．（2023·福建南平·一模）下列函数中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【解析】解：A，是二次函数，故本项符合题意； B，不是二次函数，故本项不符合题意； C，不是二次函数，故本项不符合题意； D，不是二次函数，故本项不符合题意； 故选：A． 2．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可． 【解析】A. 是反比例函数，不符合题意；     B. ，是一次函数，不符合题意； C. ，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D. 是二次函数，符合题意 故选：D． 3．（2024·广东汕头·二模）若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的交点，分两组情况讨论，当时，两条直线不平行，有交点，当时，抛物线和直线有交点，联立函数得方程有实数解．即，求解即可． 【解析】解：当时，即，，与直线不平行，故有交点， 当时，函数的图象与直线有交点， 即时， ， 综上所述：实数的取值范围是， 故选：B． 4．（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可． 【解析】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意， 则①②符合题意， 故选：A． ►题型03 根据二次函数的定义求参数 例3．（2024·四川内江·二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义等知识．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义是解题的关键． 由题意知，，令，则，由二次函数的图象与轴有公共点，可得，计算求解，然后作答即可． 【解析】解：由题意知，， 令，则， ∵二次函数的图象与轴有公共点， ∴， 解得，， ∴的取值范围是且， 故选：D． 1.将函数解析式化成一般形式； 2.二次项系数不为0； 3.自变量的最高次为1。 4.列出方程求出参数的值。 1．（2024·山东菏泽·一模）若二次函数经过原点，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方． 由题意二次函数的解析式为：知，则，再根据二次函数的图象经过原点，把代入二次函数，解出的值． 【解析】解：二次函数的解析式为：， ∴， ， 二次函数的图象经过原点， ， 或， ∵， ． 故选：B． 2．（2023·广东云浮·一模）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案； 【解析】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， 故选A． 3．（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】3 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论． 【解析】解：点在函数的图象上， ， ， 则代数式， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数是二次函数，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案． 【解析】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：2． 命题点二 二次函数的图象与性质 ►题型01 的图象与性质 例1．（2024·云南昆明·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由题意知，关于轴对称的点坐标为，由，可得． 【解析】解：∵， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， 由题意知，关于轴对称的点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 1.的正负决定抛物线的开口方向；时开口向上，函数有最小值，时，开口向下，函数有最大值； 2.对称轴为直线； 3.顶点坐标为： 1．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【解析】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 2．（2024·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可得，抛物开口向上，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越大，即可推出与同号或都等于0，据此可得答案． 【解析】解：由题意得，抛物开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当，，当，， ∴与同号或都等于0， ∴ 故选：D． 3．（2024·上海黄浦·三模）下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的性质，根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质逐一判断即可求解，掌握一次函数、反比例函数及二次函数的性质是解题的关键． 【解析】解：、∵， ∴的值随的值增大而增大，该选项不合题意； 、∵， ∴在同一个象限内，的值随的值增大而减小，该选项不合题意； 、∵， ∴的值随的值增大而减小，该选项符合题意； 、∵， ∴当时，的值随的值增大而增大；当时，的值随的值增大而减小，该选项不合题意； 故选：． 4．（2024·广东东莞·模拟预测）已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． 【答案】> 【分析】将和代入中，求出和，再进行比较即可． 本题考查二次函数的图像上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键． 【解析】∵抛物线经过点和， ， ， ． 故答案为：> ►题型02 的图象与性质 例2．（2023·江苏镇江·中考真题）二次函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值． 【解析】解：∵二次函数的表达式为， ∴当时，二次函数取得最大值，为． 故答案为：． 1.的正负决定抛物线的开口方向；时开口向上，函数有最小值，时，开口向下，函数有最大值； 2.对称轴为直线； 3.顶点坐标为： 1．（2024·云南怒江·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出、、的值，比较即可得解． 【解析】解：∵点，，都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出当经过、、、时的图象，再由图象判断出函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，即可解答此题． 【解析】解：当函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 如图， 可以看出经过的和经过的，与函数的图象在有两个交点， ， 故选：． 3．（2013·湖北省直辖县级单位·一模）如图，抛物线交x轴于点G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧，于点A，于点C，四边形与四边形的面积分别为6和10，则与的面积之和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象关于对称轴对称是解题的关键；由抛物线的对称性知：四边形的面积等于四边形的面积，从而可求得阴影部分面积． 【解析】解：∵抛物线的对称轴为y轴， ∴点G、F关于y轴对称； ∵点B、E关于y轴对称， ∴四边形的面积等于四边形的面积，即为10； ∴与的面积之和为：四边形的面积四边形的面积 即， 故答案为：4． 4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的图象与二次函数的图象进行解答即可； （2）根据二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出答案即可． 【解析】（1）解：二次函数的图象与二次函数的图象： 相同点是：①开口向上，②对称轴都是y轴， 不同点：①二次函数的图象的顶点是，二次函数的图象的顶点是，②开口大小不同，二次函数的图象的开口大于二次函数的图象的开口； （2）解：二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限， 则即可满足题意． ►题型03 的图象与性质 例3．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【解析】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 1.的正负决定抛物线的开口方向；时开口向上，函数有最小值，时，开口向下，函数有最大值； 2.对称轴为直线； 3.顶点坐标为： 1．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【解析】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 2．（2023·广东广州·一模）已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】将，代入，求出和的值作比较即可． 【解析】解：将，代入， 得：，， ∴． 故选A． 3．（2023·上海崇明·一模）已知点、为二次函数图像上的两点，那么 ．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】< 【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点的横坐标代入二次函数解析式求出、值，再比较即可 【解析】解：当时， ， 当时， ， ． 故答案为：<． 4．（22-23九年级上·山东济南·期末）二次函数的图像的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数表达式为，是顶点式，直接根据二次函数图像与性质得到二次函数的图像的顶点坐标是，从而得到答案 【解析】∵二次函数的解析式的顶点式为， ∴二次函数的图像的顶点坐标是 故答案为： ►题型04 的图象与性质 例4．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【解析】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 1.的正负决定抛物线的开口方向；时开口向上，函数有最小值，时，开口向下，函数有最大值； 2.对称轴为直线； 3.顶点坐标为： 1．（2024·四川乐山·模拟预测）二次函数的顶点坐标为（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将二次函数解析式化成顶点式，利用配方法将二次函数解析式化成顶点式，得出顶点坐标即可，熟练掌握将二次函数解析式化成顶点式是解题的关键． 【解析】解： ∴二次函数的顶点坐标为． 故选：B． 2．（2024·云南昆明·一模）关于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是(   ) A．对称轴是直线，最小值是 B．对称轴是直线，最大值是 C．对称轴是直线，最小值是 D．对称轴是直线，最大值是 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质解答． 【解析】解：二次函数， 对称轴为直线，开口向下，最大值为， 故选：D． 3．（2024·云南曲靖·一模）设，，是抛物线图象上的三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【解析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴关于称轴是直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）抛物线经过点和，若，则b的值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，得出的值是解题关键． 把看作，再根据求解即可． 【解析】把看作 令 解得 又 故 故选A． ►题型05 的图象与性质 例5．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【解析】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 1.的正负决定抛物线的开口方向；时开口向上，函数有最小值，时，开口向下，函数有最大值； 2.对称轴为直线； 3.顶点坐标为： 1．（2023·四川达州·模拟预测）已知三点，，均在抛物线上，且，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为直线，结合即可得解． 【解析】解：∵， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象逐一进行判断即可． 【解析】解：观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上，故A选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数图象与x轴交于点， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴和3是方程的两个根，故B选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故C选项错误，符合题意； ∵抛物线经过点 ∴， 解得，， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与轴交点的纵坐标是，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．（2022·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)①7  ②或 【分析】（1）根据抛物线方程，配方即可求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴方程，结合的取值范围，可确定在对称轴处取得最小值，代入即可求解；②根据题意，先表示出，结合的取值范围，解不等式即可求解． 【解析】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为； （2）①由（1）知， 抛物线开口向上，其对称轴为， ， 当时，取得最小值为， 又的最小值是， ， ， 抛物线表达式为， 又， ； ②因为点在抛物线上， 所以， 因为对于，都有， 所以， 或， 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 综上所述，t的取值范围是或． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，），当时，随的增大而增大，下列结论：当时，随的增大而减小；若图象经过点，则；若，是函数图象上的两点，则；若图象上两点，对一切正数n，总有，则其中结论正确的是 填序号． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【解析】解：∵二次函数（为非零常数，）， ∴当时，，，． 又∵当时，随的增大而增大， ∴，开口向下， ∴当时，随的增大而减小，故正确； 又∵对称轴为直线，， ∴， 若，是函数图象上的两点，离对称轴近些， 又∵抛物线开口向下， 则，故正确； 若图象上两点，对一切正数，总有，， 又该函数与轴的两个交点为，， ∴， 解得，故正确； ∵二次函数（为非零常数，），当时，随的增大而增大， ∴． 若图象经过点，则，得． ∵，， ∴，故错误； ∴正确，错误， 故答案为：． ►题型06 二次函数图象与各项系数的关系 例6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【解析】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 1.的正负决定抛物线的开口方向； 2.表示抛物线与y轴交点的纵坐标； 3.同号时，对称轴在y轴左侧，异号时，对称轴在y轴右侧； 4.当时，；当时，； 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①；②；③方程的两个根为；④抛物线上有两点和，若且，则 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【解析】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确； 抛物线对称轴为直线，时，， 时，， ，故②正确； 由可得方程的解，， 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴另一个交点为， 方程的两个根为，6， ，， ， 而若方程的两个根为，， 则，，故③错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且， 则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ，故④错误． 故选：D． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【解析】解：观察图象，可知， ∴，故①符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴点，点， ∴当时，，即，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若m为任意实数，则，故④不符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且，下列结论中正确的是 （填写正确结论的序号）． ①；②；③若，则；④关于x的方程有一个根为． 【答案】②③④ 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴的交点问题，一元二次方程根于系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据题意画出图象，然后得到，由对称轴得到，进而判断①；然后由图象可判断②；然后求出，然后得到，然后得到，求解即可判断③；首先由得到关于x的方程有一个根为，然后利用根于系数的关系求解即可． 【解析】①∵二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且， ∴如图所示， ∴抛物线开口向下， ∴，对称轴为 ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②正确； ③∵当时， ∴ ∴ ∴ ∴将代入得， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴关于x的方程有一个根为 设另一个根为x ∴ ∴，故④正确； 综上所述，正确的是②③④． 故答案为：②③④． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不等的实数根； ④． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式，熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析结论的正误是解题的关键．①当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；②由，，可判断的正负，即可判断；③将，代入方程，根据根的判别式即可判断；④将，代入，求解后即可判断． 【解析】解：①抛物线（，，是常数，）经过点，， ，， ， 当时，与其对应的函数值， ， ， 解得：， ， ，故①正确； ②， ， ， ，故②错误； ③，， ，即， ， ， ， 关于的方程有两个不等的实数根，故③正确； ④，， ， ， ， ． 故④正确； 故答案为：①③④． ►题型07 一次函数与二次函数图象的综合判断 例7．（2024·河南周口·三模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【解析】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 1.先跟据一次函数图象确定系数的符号； 2.再根据二次函数的图象判断出系数的符号； 3.对比是否相等。 1．（2024·云南昆明·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【解析】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴， ∴， 则一次函数经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 2．（2023·山东青岛·一模）在同一坐标系下，函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为，根据二次函数的图象与性质以及一次函数的图象与性质，采用数形结合的方法，逐项判断即可得出答案． 【解析】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，交于轴的负半轴，与图象相符，故选项正确； B．由函数的图象可知，且与交轴的交点为，即函数开口方向朝下，经过点，则， 所以， 所以函数， 所以函数与轴有一个交点，与图象不符，故选项错误． C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，交于轴的正半轴，与图象不符，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数交于轴的负半轴，与图象不符，故选项错误； 故选：A． 3．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合，根据函数图象可得，再由当时，，得到，则二次函数与y轴交于，再求出，即可得到答案． 【解析】解：∵一次函数的函数图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于， ∴， ∵当时，， ∴， ∴二次函数与y轴交于， ∵， ∴二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴只有B选项的函数图象符合题意， 故选：B． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，熟练掌握二次函数与一次函数的性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．分别讨论a的情况，再根据一次函数与二次函数的图象分布，比较看是否一致即可得到答案． 【解析】解：根据题意得：， 当时，则，， 一次函数的图象过一、二、三象限， 二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，且关于y轴对称， 当时，则，， 一次函数的图象过二、三、四象限， 二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且关于y轴对称， 只有A选项符合题意， 故选：A． ►题型08 反比例函数与二次函数图象的综合判断 例8．（2024·江苏淮安·一模）如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题．根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集． 【解析】解：从图象得出当时，二次函数的图象在双曲线的上方， ∴不等式的解集为． 故选：C． 1.先跟据反比例函数图象确定系数的符号； 2.再根据二次函数的图象判断出系数的符号； 3.对比是否相等。 1．（2024·山东济宁·二模）已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【解析】解：二次函数图象开口方向向下， ， 对称轴为直线， ， ， 与轴的正半轴相交， ， 的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数的图象在第一三象限， 只有C选项图象符合． 故选：C． 2．（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图象，根据二次函数的图象确定，，，再去判断一次函数与反比例函数的图象即可． 【解析】∵二次函数的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点， ∴，， ∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C； 由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方， ∴， ∴的图象位于第一，三象限， 据此可知，符合题意的是B， 故选：B． 3．（2024·山东潍坊·二模）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．分与两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【解析】解：当时，函数的图象位于一、三象限，的开口向上，交y轴的负半轴，故选项B符合题意； 当时，函数的图象位于二、四象限，的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项． 故选：B． 4．（2024·安徽·二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过函数图像判断二次函数的各项系数，一次函数与反比例函数图像的综合判断．观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，可得，，再根据一次函数和反比例函数的图象，即可求解． 【解析】解：观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象进过第一、三、四象限，反比例函数的图象为第二、四象限． 故选：C ►题型09 已知抛物线上对称的两点求对称轴 例9．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解． 【解析】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且． ∴对称轴为直线， ， ∵， ∴，故①错误， ∵ ∴，即，两点之间的距离大于 又∵ ∴时， ∴若，则，故②正确； ③由①可得， ∴，即， 当时，抛物线解析式为 设顶点纵坐标为 ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴ ∴ ∴ ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为，而， ∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确； ④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有， 又， ∴点离较远， ∴对称轴 解得：，故④正确． 故答案为：②③④． 1.先判断两点的纵坐标是否相等，若相等，则可判断两点关于对称轴对称； 2.对称轴为两点横坐标的和的一搬； 1．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键． 根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案． 【解析】解：∵当时， 或， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小， ∵， 又， 是抛物线上的两点， 且， ∴， ∴， ∴， ， 故选： A． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知的对称轴为直线，根据函数的性质可知当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，进而可排除A、B选项，对于C选项可看作直线与的交点问题，对于D选项可通过图象进行求解． 【解析】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误； 由图象可知当时，其对称轴为直线，则有当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，故B选项错误； 如图， 由图可知：与，与分别关于对称轴对称，根据对称性可知：，，所以关于的方程的所有实数根的和为4，故C选项正确； 如图，明显当直线与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误； 故选C． 3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线经过和两点，则值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线经过和两点可得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【解析】解：∵抛物线经过和两点 ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得． 故答案为：5． 4．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）． (1)若，求的值； (2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像上的点的坐标特征，解题的关键是掌握时，离对称轴越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案； （1）由可得对称轴是直线，解得：； （2）由，可知离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案； 【解析】（1）解：由题意得， ，点，是抛物线上的两点， 对称轴是直线， ， （2）抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 点在抛物线上，且对于， 点在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点为， 当时， ， ， 当时， ，则，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 ►题型10 根据二次函数的对称性求函数值 例10．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ． 【答案】4 【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案． 【解析】解：∵抛物线与x轴相交于点、点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，，即， ∵轴， ∴，关于直线对称， ∴， ∴； 故答案为：4 1.平行于x轴的直线与抛物线的两交点关于对称轴对称； 2.先求出抛物线的对称轴； 3.再根据对称性，即两点关于对称轴对称，则两点到对称轴的距离相等，求出对应函数值。 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．求得抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线的对称点为，求得，根据抛物线开口向下，即可求解d的取值范围，据此即可判断． 【解析】解：∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴或， 观察四个选项，d的值可能为，，4，不可能是， 故选：B． 2．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【解析】解：A、由表格中点，，可知对称轴是直线，故此选项不符合题意； B、根据对称轴是直线，图象过点，则根据二次函数的对称性得当时，，故此选项符合题意； C、由表格数据可得，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； D、根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，得出抛物线开口向下，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解． 【解析】解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 当时，， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵， 当点在对称轴的左侧时，； 当点在对称轴的右侧时，，且， 解得：； 综上所述，k的取值范围为或． 故答案为：或． 4．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为 点，， 在抛物线上． (1)当时，直接写出m与n的大小关系； (2)若对于 都有 求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键． （1）由，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，对称轴为，，，由，可得； （2）分当，，， 四种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，确定关于的不等式，然后求出满足要求的解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 当时，对称轴为，，， ∵， ∴； （2）解：当时，如图1， ∴在抛物线段上，在段上，在上， ∵对于，都有， ∴且， 且， 解得：； 当时，如图2， ∵对于，都有， ∴且， 解得：； 当时，如图3， ∵对于，都有， 又∵在图象中已包含最小值， ∴不存在的情况，即此种情况舍去； 当时，如图4， ∵对于，都有， 又∵， ∴，即此种情况与题意不符，舍去； 综上所述，t的取值范围为或． 命题点三 二次函数与方程、不等式 ►题型01 求抛物线与坐标轴的交点 例1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【解析】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 1.令，可求出抛物线与y轴的交点坐标； 2.令，解一元二次方程，可求出抛物线与x轴的交点坐标； 1．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题； 由抛物线的对称性求得对称轴为直线，即可得到，求得，即可求得，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为． 【解析】解：和两点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为直线， ， 解得， ， 二次函数与y轴的交点坐标为． 故选：B． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，令，即可求解． 【解析】解：当时， ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是， 故选：A． 3．（2024·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的图像与性质，解题的关键在于分类讨论，借助于图象及不等式的性质进行求解． （1）根据对称点即可求对称轴； （2）由题意可知，抛物线与轴的交点为，①当时，抛物线开口向上，不成立；②当时，抛物线开口向下，且经过，，若抛物线经过点，则，若抛物线经过点，则，（i）当时，或，不合题意，（ii）当时，，因此对于，存在，对于，都有，所以成立；（iii）当时， 不合题意，故． 【解析】（1）解：由题意得与 对称轴对称， ∴； （2）解：由题意可知，抛物线与轴的交点为， ①当时，抛物线开口向上， 当时，有最小值，没有最大值， 与“对于，都有”不符，所以不合题意， 不成立． ②当时，抛物线开口向下，且经过，， 若抛物线经过点，则， 若抛物线经过点，则， （i）当时，或， 对于，都有， 与“对于，存在”不符，所以不合题意， （ii）当时，， ∴对于，存在， 对于，都有， 成立； （iii）当时， 当时，， 与“对于，都有”不符，所以不合题意， 综上所述：． 4．（2024·贵州遵义·二模）规定（n为正整数）为二次函数的“函系数”， 如：当时，的“函系数”为； 当时，的“函系数”为； 设二次函数与x轴的交点分别为（点在的左边）． (1)当时，对应的二次函数的解析式为 ； (2)求点的坐标（用含n的式子表示）． (3)当时，二次函数与直线的一个交点为（点不在y轴上）．判断线段和线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了新定义，抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，当时，“函系数”为，进而可以得解； （2）依据题意，当 时，，从而解得：，，进而得解； （3）依据题意，由（2）知，则，从而，又当 时，故，，又点 不在轴上，故，，最后可得，进而可以得解． 【解析】（1）解：由题意，当时，“函系数”为， ． 故答案为：． （2）解：由题意，当时，． 解得：，． 点， 的坐标分别为，． （3）解：，理由如下： 由（2）知，则． ． 当 时， ，． 点 不在轴上， ． ． ． ． ►题型02 根据抛物线确定相应方程根的情况 例2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【解析】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键， 根据题意得到抛物线的解析式为，即可得到，，代入即可判断①；根据判断②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把，代入解方程求出m的值判断④． 【解析】解：设抛物线的解析式为：， ∴，， ∴，故①正确； ∵点C的纵坐标在～之间， ∴，即， ∴，故②正确； ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故③错误； ∵令相等，则 ∴，解得（舍），， ∴，故④正确； 故选A． 2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤； 【解析】解：①抛物线开口向上，，， ∴当时，，故①不符合题意； ②∵抛物线过点， ∴函数的最小值， ∴有两个不相等的实数根； ∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意； ③∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴，而， ∴， ∴，故③不符合题意； ④∵抛物线过点， ∴， ∵时，， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤∵，， ∴， 由根与系数的关系可得：，， ∴ ∴， ∴，故⑤符合题意； 故选：C． 3．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【解析】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④ 4．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，且．下列四个结论： ①方程有两个不相等的实数根； ②若对任意的实数m，都有，则； ③若抛物线经过点，在抛物线上有且仅有2个点到x轴的距离等于n，则； ④点，在抛物线上，且都在y轴右侧，若，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； 根据对称轴公式可求出，进而可判断①正确；由题意可得，可得对称轴为，再由可得，再根据c的范围即可判断②正确；根据对称性可得对称轴为，再由抛物线经过点和可求得顶点的纵坐标为，由抛物线上有且仅有2个点到到x轴的距离等于n，可得n大于顶点的纵坐标，进而可判断③正确，由可得对称轴为，再根据增减性求解即可判断④错误． 【解析】解：①抛物线经过点， ， ， ， ，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故①正确，符合题意； ②由得， 即对任意的实数m，都有， 又，当时，， 对称轴为， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ③由题意知抛物线开口向下，由①可知抛物线与x轴有两个公共点， 抛物线上有且仅有2个点到到x轴的距离等于n， n大于顶点的纵坐标， 抛物线经过点和， 对称轴为，， 解得，， 顶点的纵坐标为， ， 故③正确，符合题意； ④， 对称轴为， ，， ， 对称轴在y轴左侧， 开口向下，点，在抛物线上，且都在y轴右侧， y轴右侧的图像， y 随x的增大而减小， 当时， ，则， 当时，，则， ， 故④错误，不符合题意， 故答案为：①②③． ►题型03 图象法解一元二次不等式 例3．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）． (1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 【答案】(1)①②或 (2) (3) 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可； （2）求出二次函数的最小值，即可得解； （3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论． 【解析】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：； ②， 列表如下： 1 3 4 5 0 0 5 画出函数图像如下：    由图可知：当时，或； （2）∵， ∴当时，有最小值为； ∵对于一切实数，若函数值总成立， ∴； （3）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， 又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值， ∴．    1．（2024·广东中山·三模）记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（ ） A．01 B．0或 C．0或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式，根据题意列出不等式、再画出对应函数的图像成为解题的关键． 根据题意可得，则x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围；再求得函数的图像与x轴的交点的横坐标为0、1，最后画出函数图像即可解答． 【解析】解：∵函数， ∴， ∴x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围， ∵， ∴函数的图像与x轴的交点的横坐标为0，1， 画出函数图像如下： ∴不等式的x取值范围为：0或． 故选B． 2．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法将二次函数的解析式转化为只含参数的解析式，根据抛物线的开口向上，与轴有两个交点，列出不等式组进行求解即可． 【解析】解：∵抛物线经过和两点， ∴，解得：， ∴， ∵抛物线的开口向上，且与轴有两个交点， ∴，解得：或； 故答案为：或． 3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得到，即得，又根据二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为，得到，由即可得到，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小， 又∵当时，二次函数随增大而减小， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴在中， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴当，时， ， ∵恒成立， ∴， 画出函数和的图象如图所示， 由图象可得，当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2024·福建三明·二模）已知抛物线（为常数，且） (1)请直接写出该抛物线的对称轴：直线______． (2)若对于任意实数x，抛物线始终在x轴下方，求a的取值范围； (3)若，设抛物线的顶点为．若直线l与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴相交于点E，且点E在点M的上方，过点A作直线的垂线，垂足为D．若点D、M、B三点共线，那么直线是否经过一个定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是； 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，以及解不等式组， （1）根据二次函数对称轴的表达式求解即可； （2）结合题意列出不等式，且求解即可； （3）根据题意得抛物线的表达式为：，顶点，设点A、B的横坐标为m，n，直线的表达式为：，则点，联立抛物线和直线的表达式得，则，，直线的表达式为：，将点D的坐标代入直线的表达式得，即，则直线的表达式为：，即可求得定点． 【解析】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：由题意得：，且， 即， 解得：； （3）解：时，抛物线的表达式为：，顶点， 设点A、B的横坐标为m，n，直线的表达式为：， 则点， 联立抛物线和直线的表达式得：，即 则，， 设直线的表达式为：， 则，解得， 直线的表达式为：， 将点D的坐标代入直线的表达式得：， 整理得：， 即， 则直线的表达式为：， 当时，， 即直线过定点． ►题型04 根据交点确定不等式的解集 例4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 【解析】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 1．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示，则当时，x的取值范围为（   ） x 3 4 y m 0 m A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质，认真观察学会利用表格信息解决问题是解题的关键． 根据表格信息找出函数值时x的取值，然后借助函数图象即可得到答案． 【解析】解：由表格数据可得抛物线的对称轴为，开口向下， ∴当时，或， ∴当时，x的取值范围为或， 故选C． 2．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题考查二次函数与不等式（组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【解析】解：由函数图象可知， 当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， 即， ∴不等式的解集为：． 故选：B． 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可． 【解析】解：观察图象得：当或时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方， ∴当时，x的取值范围是或 故答案为：或 4．（2024·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，函数值的取值范围是，求和的值； (3)当时，解决下列问题： ①抛物线上一点到轴的距离为6，求点的坐标； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①或；② 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得抛物线的顶点坐标为，据此可求得解析式；根据当时，即可求解； （3）①由题意可得点在轴上方，令，即可求解；②根据题意画出函数图像，分类讨论点在点下方和上方两种情况即可求解； 【解析】（1）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线 故答案为： （2）解：∵当时，函数值的取值范围是， 且， ∴抛物线的顶点坐标为 将代入得：， 解得：， ∴ ∵ ∴当时，； 解得： （3）解：①当时，； ∵抛物线上一点到轴的距离为6，顶点坐标为 ∴点在轴上方 令，解得： ∴点的坐标为或； ②设图象折叠后，顶点的对称点为， ∴； ∵当时，； ∴ 若点在点下方，则的最高点为，最低点为; ∴，解得：； 若点在点上方，则的最高为，最低点为; ∴，解得：； 综上所述： 基础巩固 1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【解析】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【解析】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 3．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【解析】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 4．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解析】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 5．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 【解析】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 6．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【解析】解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2024·广东湛江·模拟预测）若点，在抛物线上，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据，且，利用二次函数的性质可求解． 【解析】解：，对称轴为y轴， ∴当时函数值随自变量的增大而增大； ∵， ， 故答案为：． 8．（2024·安徽合肥·三模）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可 【解析】解：根据题意得，， 解得，， 所以，的取值范围为， 故答案为： 9．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且． (1)求二次函数的解析式． (2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为7，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解∶当时， 即，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 当时，． ∵， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为． （2）由题意可知， ， ∵将函数图象平移后，顶点坐标为， ∴平移后的函数解析式为， ∴平移后的函数的对称轴为直线． 当，时函数取得最大值， 即，解得或，均不符合题意，舍去； 当，时函数取得最大值， 即，解得，符合题意． 综上所述，的值为． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线． (1)方程的解是______； (2)若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点； (3)不等式的解集是______． 【答案】(1) (2)2，两 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性，则，得出二次函数与轴的另一个交点为，故方程的解是， （2）作图，得出直线与有两个交点，运用数形结合，即可作答． （3）运用图象性质以及二次函数与轴的交点，开口方向，即可作答． 【解析】（1）解：结合图象，设二次函数与轴的另一个交点为， ∵对称轴为直线，二次函数与轴的一个交点为， ∴， ∴， ∴二次函数与轴的一个交点为， ∴方程的解是； 故答案为：； （2）解：如图所示： 直线与有两个交点， ∴方程的解有2个； ∴抛物线与直线有两个公共点； 故答案为：2，两； （3）解：由（1）得二次函数与轴的交点坐标为和 ∵二次函数的开口方向向下， ∴结合图象，得不等式的解集是. 11．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 【答案】(1)k的值为 (2)h的最大值为 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图形上点坐标的特征，解题的关键是用含m的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入得，解得k的值为． （2）根据题意，轴且在抛物线上，设，则，求出，根据二次函数性质可得答案． （3）求出，，把M向上平移个单位得到点，由线段与二次函数的图象有公共点，知，即可解得答案． 【解析】（1）解：把代入得：， 解得， ∴k的值为． （2）根据题意，轴且在抛物线上，如图： 由（1）知直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，h取最大值， ∴h的最大值为． （3）由得或， ∴，， 同（2）当M的横坐标为m时，， ∵把M向上平移个单位得到点， ∴， ∵线段与二次函数的图象有公共点， ∴， ∴， 解得或， ∵点M在线段上，， ∴或． 能力提升 1．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的抛物线的顶点C在线段上（不包括点B）． (1)求b，c的值 (2)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，将点B代入得，，则，故，由于顶点C在线段上（不包括点B），则，解方程即可； （2）把b，c代入，得：，即，转化为或，解不等式组即可． 【解析】（1）解：当，则， 解得，， ∴， 当，， ∴， 将点B代入 得，， ∴， ∴， ∵顶点C在线段上（不包括点B）， ∴， 解得：或（舍）； （2）解：把b，c代入， 得：， ∴， ∴或， 分别解得：或． 2．（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； (3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将点代入二次函数的解析式即可得的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得； （2）先求出，从而可得抛物线的对称轴，再求出，得出点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得； （3）先分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证． 【解析】（1）解：∵抛物线经过点，且， ∴将点代入得：， 解得， 则化成顶点式为， 故答案为：2，． （2）解：，理由如下： ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， 二次函数的对称轴为直线， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又∵抛物线的开口向上， ∴． （3）证明：若，则， 将向上平移4个单位得到新抛物线， ∵抛物线与直线交于点， ∴设点的坐标为， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴． 3．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 【答案】(1) (2)2或1 (3)整数a有4个 【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程． 根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可； 结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离； 结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数． 【解析】（1）解：有题意知 ， 当时，y取得最小值8； （2）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴，化解得，解得或， 则点或， ∴点P到y轴的距离为2或1； （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 则整数a有4个． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． (1)填空：____；____；_____． (2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． (3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出，根据二次函数的对称轴和经过点得到方程组，解方程即可求出、； （2）将抛物线化为顶点式，平移后得到平移后的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线求解； （3）先求出平移后的解析式，设抛物线对称轴与轴交于点，根据题意易得到外接圆的圆心必在边的中垂线上，设该中垂线交抛物线于点，，进而求出点，的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，得到这两点的横坐标，进而求出和的横坐标，即可求出的取值范围． 【解析】（1）解：点坐标为，直线经过点， ， ． 二次函数图象的对称轴是直线，是二次函数图象是的点， ，， 联立组成方程组为， 解得． 故答案为：；；． （2）解：由题意知：抛物线解析式为，即． 将的图象向右平移个单位后得到， 其顶点坐标为． ∵顶点恰好落在直线上， ， ． （3）解：由题意知：平移后的抛物线解析式为，顶点． 设抛物线对称轴与轴交于点． ， 为等腰直角三角形． 点在轴上， 则外接圆的圆心必在边的中垂线上． 设该中垂线交抛物线于点，． 由可知线段的中点坐标为， ，故可求得该中垂线解析式为． ∴解方程组 解得：． 即，两点的横坐标分别为． 过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，， 则，两点的横坐标分别为． ． ． 从而点的横坐标为． 同理． ． 从而点的横坐标为． 的取值范围是． $$