第08讲 一次函数的图像与性质（讲练）（思维导图+12种题型（含9种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第三章 函数 第08讲 一次函数的图像与性质（5~8分） （思维导图+3考点+3命题点12种题型（含9种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的相关概念 考点二 一次函数的图像与性质 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的相关概念 ►题型01 一次函数的定义 ►题型02 根据一次函数的定义求参数 ►题型03 求一次函数的自变量或函数值 ►题型04 列一次函数的解析式 命题点二 一次函数的图像与性质 ►题型01 判断一次函数的图像 ►题型02 根据一次函数经过的象限求参数 ►题型03 一次函数图像与坐标轴的交点问题 ►题型04 一次函数的图像平移问题 ►题型05 一次函数的增减性 命题点三 一次函数与方程（组）、不等式 ►题型01 一次函数与一元一次方程 ►题型02 一次函数与一元一次不等式 ►题型03 一次函数与二元一次方程组 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次函数的相关概念 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。 10年2考 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。安徽对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数的图象与性质 1.解正比例函数； 2.能画一次函数的图象，根据图象和表达式； 3.y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况； 4.会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 10年4考 一次函数与方程（组）、不等式 体会一次函数与二元一次方程的关系。 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的相关概念 1.正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 2.一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 3.一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1. 一次函数一般形式的特征： （1）k≠0； （2）x的次数为1； （3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： （1）整个分母不能等于0； （2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 考点二 一次函数的图象与性质 1.一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 2.一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) （1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． （2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． （3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 4.两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： （1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； （2） 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； （3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； （4）当k1k2=-1时，两直线垂直； （5）当k1≠k2时，两直线相交. 5.用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法： （1）依据题意中等量关系直接列出解析式； （3）待定系数法； 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： ①设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； ③解方程或方程组求出k，b的值； ④将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 6.正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 （1）正比例函数是特殊的一次函数． （2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． （3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． （4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 点三 一次函数与方程（组）、不等式 1.一次函数与一元一次方程 由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 2.一次函数与二元一次方程组 一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 3.一次函数与一元一次不等式 关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的相关概念 ►题型01 一次函数的定义 例题1．（2020·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（  ） A． B． C． D． 1．（2023·安徽合肥·三模）已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 题型02 根据一次函数的定义求参数 例题2．（2024·广西·模拟预测）点在函数的图象上，则 ． 1.把一次函数化成一般形式； 2.令一次项系数不为0； 3.令自变量x的次数为1； 4.求出参数的值。 1．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 3．（2023·湖南长沙·一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 4．（2022·四川资阳·一模）若点在直线上，则代数式的值为 ． ►题型03 求一次函数的自变量或函数值 例题3．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格： x … 0 1 2 y … 4 1 … 小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（   ） A．1 B． C． D． 1．（2024·全国·模拟预测）已知点在正比例函数的图像上，则 ． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是一次函数图象上两个不同的点，则 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 4．（2024·山东淄博·二模）已知点是一次函数的图象上位于第一象限的点，其中实数，满足，则点的坐标是 ． 题型04 列一次函数解析式 例题4．（2023·上海嘉定·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是 ． 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用自变量表示出关键的量； 3.根据数量关系列出一次函数关系式。 1．（2024·陕西西安·三模）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川成都·一模）已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米． (1)写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式并画出图像； (2)6小时后池中还有多少水？ (3)几小时后，池中还有200立方米的水？ 3．（2023·吉林·一模）甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各件的任务，甲快递站前期先派送了件后，甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送，甲快递站经过a小时后总共派送件，由于人员变化，派送速度变慢，结果小时完成派送任务，乙快递站8小时完成派送任务， 在某段时间内，甲、乙两家快递站的派送件数y (件)与派送时间x (小时)之间的关系如图所示： (1)乙快递站每小时派送 件，a的值为 ； (2)甲快递站派送速度变慢后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数． 4．（2024·上海·模拟预测）中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． (1)某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ (2)设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 (3)油的原价是元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01 判断一次函数的图象 例题1．（2024·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，直线（）与x轴所夹角为，则在匀速变大的过程中，k关于的变化图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   1.先根据k的正负判断一次函数图象的倾斜方向，k>0时，直线向右上方倾斜，k<0时，直线向右下方倾斜； 2.再根据b的正负确定一次函数图象与y轴的交点位置，b>0，直线与y轴交于y轴正半轴；b=0，直线经过原点，b<0，直线与y轴交于y轴负半轴。 1．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽阜阳·三模）抛物线与双曲线的交点的横坐标为a，则直线的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江丽水·一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时．用表示圆柱体运动时间，表示水面的高度，则与之间函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． ►题型02 根据一次函数经过的象限求参数 例题2．（2024·上海宝山·一模）一次函数不经过第三象限，关于x的方程的解的个数为 ． 1.图象经过一三象限时，；图象经过一、二、三象限时，；图象经过一、三、四象限时，； 2.图象经过二、四象限时，；图象经过一、二、四象限时，；图象经过二、三、四象限时，； 1．（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．（2024·福建南平·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则取值范围为 ． 3．（2024·湖北·模拟预测）已知直线的图象不经过第四象限，请任意写出一个符合条件的的值： ． 4．（2024·四川南充·模拟预测）直线经过点，但不经过第一象限，则的最大值为 ． 题型03 一次函数的图象与坐标轴的交点问题 例题3．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 1.一次函数与y轴的交点横坐标为0，纵坐标为一次函数x=0时的函数值； 2.一次函数图象与x轴的交点纵坐标为0，横坐标为y=0时，一次函数自变量x的值； 1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)求点B、点C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标． 4．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． ►题型04 一次函数图象的平移问题 例题4．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 1．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 2．（2023·湖南娄底·中考真题）将直线向右平移2个单位所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·四川眉山·二模）如图，已知直线经过点A且与直线：平行，直线与轴、轴分别交于点、． (1)求直线的表达式及其与轴的交点的坐标； (2)判断四边形是什么四边形？并证明你的结论． ►题型05 一次函数图象的增减性 例题5．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 1.当时，从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大； 2.当时，从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而减小； 3.根据一次函数的增减性比较大小： （1）先确定一次函数是递增的还是递减的； （2）确定自变量的取值范围； （3）若一次函数是递增的，则自变量x的值越大，函数值y越大； （4）若一次函数是递减的，则自变量x的值越大，函数值y月小。 1．（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 4．（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ． 命题点三 一次函数与方程（组）、不等式 ►题型01 一次函数与一元一次方程 例题1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（    ） A． B． C．0 D． 4．（2024·湖南张家界·一模）已知一次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为 ． ►题型02 一次函数与一元一次不等式 例题2．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 1.联立两个一次函数解析式，求出两条直线的交点坐标； 2.再以交点为分界点，先看交点左边，在上方的一次函数图像对应的函数值大于下方一次函数的函数值；交点右侧同理。 1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 2．（2024·四川眉山·二模）如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 4．（2023·江苏镇江·模拟预测）直线和双曲线相交于点和点，不等式的解集为 ． ►题型03 一次函数与二元一次方程组 例题3．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 二元一次方程组的解实际上是两条直线的交点坐标，因此在求二元一次方程组的解是，可以利用数形结合的方法，同理在求两条直线的交点坐标时，可以将两条直线的解析式联立组成一个二元一次方程组，解出方程组的解即是两条直线的交点。 1．（2024·贵州黔南·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小红根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程的解为； ③； ④方程组的解为，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知一次函数与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 4．（2024·安徽阜阳·模拟预测）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（，为整数），例如：，，．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） ①当时，； ②当时，； ③方程的解为； ④当时，函数的图象与正比例函数的图象有两个交点． 基础巩固 1．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（      ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽宣城·模拟预测）下列函数中，随增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（    ） A． B． C．1 D． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如果将正比例函数的图象向下平移2个单位长度后与一次函数的图象交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·贵州·模拟预测）如图，一次函数和一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 9．（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． 10．（2024·湖南邵阳·二模）已知点，都在直线上，则与的关系是 （填“>”“<”或“=”）． 1．（2024·吉林长春·中考真题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可） 12．（2024·内蒙古包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）画出一次函数的图象． (1)可以先确定这条直线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标是______； (2)请你在图中画出这条直线，并且求这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积． 14．（2023·陕西咸阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称． (1)求点的坐标； (2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平移后的直线的函数表达式． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）近几年，网约车逐步成为人们日常出行的主要方式之一，它大幅度的提高了人们的出行效率，节省了出行时间和金钱成本．图中反映某网约车平台收费（元）与所行驶的路程（千米）的函数关系，根据图中的信息解答下面问题： (1)求直线的表达式； (2)小张乘坐网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），小张从家到机场需要多长时间？ 16．（2024·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为，． (1)求所在直线的解析式； (2)将点向左平移m个单位长度得到点D，若直线恰好经过点D，求m，n之间的数量关系． 能力提升 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·模拟预测）下列函数中，随的增大而减小的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2024·江西九江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点在坐标轴上，点在坐标平面内，若以、、、为顶点的四边形为矩形，则点的坐标为 ． 5．（2024·江苏连云港·模拟预测）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 6．（2024·黑龙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，点，，，，都在直线l上；点，，，，都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的腰长为 ． 7．（2024·北京·模拟预测）如图， (1)【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； (2)【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； (3)【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 8．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，已知直线经过点、点，点P是x轴上一个动点，过点C、P作直线． (1)求直线的表达式； (2)已知点，当时，求点P的坐标； (3)设点P的横坐标为m，点，是直线上任意两个点，若时，有，请直接写出m的取值范围． $$第三章 函数 第08讲 一次函数的图像与性质（5~8分） （思维导图+3考点+3命题点12种题型（含9种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！63 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的相关概念 考点二 一次函数的图像与性质 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的相关概念 ►题型01 一次函数的定义 ►题型02 根据一次函数的定义求参数 ►题型03 求一次函数的自变量或函数值 ►题型04 列一次函数的解析式 命题点二 一次函数的图像与性质 ►题型01 判断一次函数的图像 ►题型02 根据一次函数经过的象限求参数 ►题型03 一次函数图像与坐标轴的交点问题 ►题型04 一次函数的图像平移问题 ►题型05 一次函数的增减性 命题点三 一次函数与方程（组）、不等式 ►题型01 一次函数与一元一次方程 ►题型02 一次函数与一元一次不等式 ►题型03 一次函数与二元一次方程组 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次函数的相关概念 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。 10年2考 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。安徽对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数的图象与性质 1.解正比例函数； 2.能画一次函数的图象，根据图象和表达式； 3.y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况； 4.会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 10年4考 一次函数与方程（组）、不等式 体会一次函数与二元一次方程的关系。 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的相关概念 1.正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 2.一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 3.一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1. 一次函数一般形式的特征： （1）k≠0； （2）x的次数为1； （3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： （1）整个分母不能等于0； （2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 考点二 一次函数的图象与性质 1.一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 2.一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) （1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． （2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． （3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 4.两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： （1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； （2） 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； （3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； （4）当k1k2=-1时，两直线垂直； （5）当k1≠k2时，两直线相交. 5.用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法： （1）依据题意中等量关系直接列出解析式； （3）待定系数法； 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： ①设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； ③解方程或方程组求出k，b的值； ④将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 6.正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 （1）正比例函数是特殊的一次函数． （2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． （3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． （4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 1.一次函数与一元一次方程 由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 2.一次函数与二元一次方程组 一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 3.一次函数与一元一次不等式 关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的相关概念 ►题型01 一次函数的定义 例题1．（2020·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可． 【解析】∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴k﹤0， A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意； B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意； C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意； D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意， 故选：B． 1．（2023·安徽合肥·三模）已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入一次函数，根据可求出的取值范围，再根据不等式的性质即可求解. 【解析】解：将点代入一次函数， ， ， ， ， . ， . 不等式两边同时除以得. 故选：A. 2．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【解析】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A 3．（2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 【答案】D 【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可． 【解析】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系； 故选：D． 4．（2024·贵州遵义·一模）下列函数中，是的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形如，这样的函数叫做一次函数，据此判断即可． 【解析】解：A、是反比例函数，不符合题意； B、是二次函数，不符合题意； C、是一次函数，符合题意； D、是二次函数，不符合题意； 故选C． ►题型02 根据一次函数的定义求参数 例题2．（2024·广西·模拟预测）点在函数的图象上，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是一次函数的性质，解一元一次方程，先根据点在函数的图象上，即可得出，然后解一元一次方程即可得出m的值． 【解析】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：0． 1.把一次函数化成一般形式； 2.令一次项系数不为0； 3.令自变量x的次数为1； 4.求出参数的值。 1．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查根据一次函数的定义求参数，判断直线经过的象限，根据是y关于x的一次函数，得到，求出的值，进而判断直线经过的象限即可． 【解析】解：由题意，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， ∴直线经过一、二、四象限，不经过第三象限； 故选C． 2．已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键． 根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可． 【解析】解：是关于的一次函数， 且， 解得：， 一次函数解析式是， 故答案为：． 3．（2023·湖南长沙·一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将图像上的点代入解析式求解即可． 【解析】一次函数的图像经过点， ， 解得． 故选B． 4．（2022·四川资阳·一模）若点在直线上，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】把点P代入一次函数解析式，可得，化简带值可求出结论． 【解析】解：∵点在直线上， ∴，变形得：， 代数式； 故答案为：6． ►题型03 求一次函数的自变量或函数值 例题3．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格： x … 0 1 2 y … 4 1 … 小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论． 【解析】解：设该一次函数的解析式为（）， 将，代入得，， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 当时，； 当时，； 当时，． 故选：B． 1．（2024·全国·模拟预测）已知点在正比例函数的图像上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求正比例函图象上的点的坐标，将点的坐标代入关系式，求出答案即可． 【解析】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得． 故答案为：． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是一次函数图象上两个不同的点，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题关键是熟练运用待定系数法列出含参数的方程组，准确求解． 把代入中，作差求解即可． 【解析】解：把代入得， ， ， ∴， ， ∴， 故答案为：2． 3．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解． 【解析】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：， 代入得：， 整理得：， 由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，． 故答案为：0或4． 4．（2024·山东淄博·二模）已知点是一次函数的图象上位于第一象限的点，其中实数，满足，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元二次方程，根据题意已知等式可得，根据点是一次函数的图象上位于第一象限的点，得出，且，，联立解方程，即可求解． 【解析】， 化简，得， 点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ， ， 解得，或， 点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ，， 故点的坐标为， 故答案为． ►题型04 列一次函数解析式 例题4．（2023·上海嘉定·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是 ． 【答案】4 【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可． 【解析】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， 当时，， ∴一次函数的“特征值”为4， 故答案为：4． 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用自变量表示出关键的量； 3.根据数量关系列出一次函数关系式。 1．（2024·陕西西安·三模）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【解析】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 2．（2023·四川成都·一模）已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米． (1)写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式并画出图像； (2)6小时后池中还有多少水？ (3)几小时后，池中还有200立方米的水？ 【答案】(1)，图见解析 (2)500立方米 (3)12小时 【分析】（1）根据函数的概念和已知条件即可列出关系式：，再结合实际即可得出时间t的取值范围，画出图像即可； （2）根据（1）中的函数关系式，将代入计算即可得出池中的水； （3）把，代入函数关系式中即可得出时间t． 【解析】（1）解：由题意得：． 画出函数图像如下: （2）解：当时，（立方米）． 答：6小时后，池中还剩500立方米的水． （3）解：当时，，解得． 答：12小时后，池中还有200立方米的水． 3．（2023·吉林·一模）甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各件的任务，甲快递站前期先派送了件后，甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送，甲快递站经过a小时后总共派送件，由于人员变化，派送速度变慢，结果小时完成派送任务，乙快递站8小时完成派送任务， 在某段时间内，甲、乙两家快递站的派送件数y (件)与派送时间x (小时)之间的关系如图所示： (1)乙快递站每小时派送 件，a的值为 ； (2)甲快递站派送速度变慢后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数． 【答案】(1)，4 (2) (3)乙快递站完成派送任务时，甲快递站未派送的快递有件 【分析】（1）根据题意和函数图像信息即可求得； （2）设y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （3）把代入，解得已派送的快递件数，再求未派送的快递件数即可． 【解析】（1）解：（件）， 因为甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送， 所以（小时）， 所以乙快递站每小时派送件，a的值为4， 故答案为：，4； （2）解：设，将，代入解析式， 得：， 解得：， ∴， （3）解：把代入， 得， 那 (件) ， 答：乙快递站完成派送任务时，甲快递站未派送的快递有件． 4．（2024·上海·模拟预测）中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． (1)某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ (2)设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 (3)油的原价是元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 【答案】(1)900元 (2) (3)元 【分析】本题主要考查了有理数乘法应用、一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，理解题意、正确的列出算式和一次函数解析式是解题的关键． （1）根据打九折列出算式计算即可； （2）根据每一升油，油的单价降低元,然后根据题意列出函数关系式即可； （3）当可得，根据优惠后油的单价比原价便宜元，据此计算即可解答． 【解析】（1）解：由题意知，（元）， 答：实际花了900元购买会员卡． （2）解：由题意知，，整理得． ∴y关于x的函数解析式为． （3）解：当时，， ∵． ∴优惠后油的单价比原价便宜元． 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01 判断一次函数的图象 例题1．（2024·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，直线（）与x轴所夹角为，则在匀速变大的过程中，k关于的变化图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图像性质；熟练掌握k与函数图像的关系是解题的关键．直线中，k的正负决定直线的倾斜方向，k的绝对值的大小决定直线的倾斜程度． 【解析】解：直线（） y随x 的增大而增大，k值变大，直线变陡，直线与x轴所夹角也在变大． 故选B． 1.先根据k的正负判断一次函数图象的倾斜方向，k>0时，直线向右上方倾斜，k<0时，直线向右下方倾斜； 2.再根据b的正负确定一次函数图象与y轴的交点位置，b>0，直线与y轴交于y轴正半轴；b=0，直线经过原点，b<0，直线与y轴交于y轴负半轴。 1．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的相关性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质进行分析即可得到答案． 【解析】解：∵， ， ∴一次函数的图象在第一、二，四象限． 故选：B． 2．（2024·安徽阜阳·三模）抛物线与双曲线的交点的横坐标为a，则直线的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． 先求出抛物线与轴的交点坐标，根据二次函数和反比例函数的性质画出图象，结合图象得出，即可解答． 【解析】解：把代入， 则， 解得：， ∴抛物线与轴相交于，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线图象经过第一、二、四象限， ∵，， ∴双曲线图象位于一、三象限， ∴抛物线与双曲线交点位于第一象限，即， ∴必过一、三象限， ∵抛物线与轴相交于， ∴由图可知，抛物线与双曲线交点在右边， ∴， ∴， ∴直线的图象经过一、三、四象限， 故选：A． 3．（2024·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图像，分和两种情况分类讨论进行解题即可. 【解析】当时，一次函数图象经过一、三、四象限， 当时，一次函数图象经过一、二、四象限， 故选A. 4．（2023·浙江丽水·一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时．用表示圆柱体运动时间，表示水面的高度，则与之间函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设刚开始时水高为，大水桶底面积为，圆柱体底面积为，速度为，当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，，当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，，整理得，，根据函数解析式确定函数图象即可． 【解析】解：设刚开始时水高为，大水桶底面积为，圆柱体底面积为，速度为， 当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，， 当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，，整理得，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴可知与之间函数关系的图象大致为先保持不变，然后随的增大而减小， 故选：C． ►题型02 根据一次函数经过的象限求参数 例题2．（2024·上海宝山·一模）一次函数不经过第三象限，关于x的方程的解的个数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象的分布，一元二次方程的根的判别式，准确判断图象不过第三象限的条件，直线不经过第三象限，则或，分这两种情形判断方程的根，灵活运用根的判别式是解题的关键． 【解析】解：∵直线不经过第三象限， ∴或， 或 当时，原方程为是一元一次方程，故有一个实数根； 当时，方程是一元二次方程， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上，方程有1个或2个解， 故选：D． 1.图象经过一三象限时，；图象经过一、二、三象限时，；图象经过一、三、四象限时，； 2.图象经过二、四象限时，；图象经过一、二、四象限时，；图象经过二、三、四象限时，； 1．（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．熟记相关结论即可求解． 【解析】解：∵直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限， ∴，； ∴ ∴反比例函数的图象位于第二、四象限 故选：C 2．（2024·福建南平·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，由题意可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象特点是解题的关键． 【解析】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·湖北·模拟预测）已知直线的图象不经过第四象限，请任意写出一个符合条件的的值： ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可知，该直线不经过第四象限，可知，即可求解； 【解析】解：由题意可知，， ∴的值可以为． 故答案为：（答案不唯一） 4．（2024·四川南充·模拟预测）直线经过点，但不经过第一象限，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，求不等式组的解集，根据一次函数的性质列出关于a的不等式组是解答本题的关键．由直线经过点得，由直线不经过第一象限得，得出，进而可求出的最大值． 【解析】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵直线不经过第一象限， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． ►题型03 一次函数的图象与坐标轴的交点问题 例题3．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【解析】解：∵随着的增大而减小， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴正半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 1.一次函数与y轴的交点横坐标为0，纵坐标为一次函数x=0时的函数值； 2.一次函数图象与x轴的交点纵坐标为0，横坐标为y=0时，一次函数自变量x的值； 1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 【解析】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∴，，，， 正确的结论是A，符合题意， 故选A． 2．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【解析】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意； 故选：． 3．（2024·广东广州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)求点B、点C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)存在，点M的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分别将和代入直线，即可求出点B、点C的坐标； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出，再设点的坐标为，进而表示出，再根据的面积是的面积的，列方程求解即可． 【解析】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于点B、C， 令，则，解得：， 令，则， ，； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 即直线的解析式为； （3）解：存在，理由如下： ，， ， 点M在射线上， 设点的坐标为， ， 的面积是的面积的， ， 解得：， 当时，， 当时，， 点M的坐标为或． 4．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)；点A的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象解不等式，数学结合是解答本题的关键． （1）当时，把点C的坐标代入，即可求得的k值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可． （2）根据图象得到不等式，解不等式即可． 【解析】（1）解：∵ ∴把点C的坐标代入， 解得， ∴一次函数表达式为， 当时，， 解得， ∵一次函数的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为． （2）作如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知， 当时，， 解得． ∴． ►题型04 一次函数图象的平移问题 例题4．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【解析】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 1．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【解析】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 2．（2023·湖南娄底·中考真题）将直线向右平移2个单位所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据“左加右减，上加下减” 的平移规律求解即可. 【解析】解：将直线向右平移2个单位， 所得直线的解析式为， 即， 故选：B. 3．（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律求出直线向上平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入与，验证即可． 【解析】解：直线向上平移个单位后，得到， A．把代入得，， ∴交点不可能是，故A不合题意； B．把代入得，， ∴交点不可能是，故B不合题意； C．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点可能是，故C符合题意； D．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点不可能是，故D不合题意； 故选：C． 4．（2024·四川眉山·二模）如图，已知直线经过点A且与直线：平行，直线与轴、轴分别交于点、． (1)求直线的表达式及其与轴的交点的坐标； (2)判断四边形是什么四边形？并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)矩形，证明见解析 【分析】（1）根据两直线平行值相等，设直线的表达式为，把代入，进行求解即可； （2）分别求出点的坐标，进而求出的长，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得到四边形是平行四边形，再根据勾股定理逆定理，推出，即可得出结论． 【解析】（1）解：由题意，设直线的表达式为， 把代入，得：，解得：， ∴； 当时，，解得：， ∴， （2）四边形是矩形，证明如下： 当时，， 当时，，解得：； ∴ ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． ►题型05 一次函数图象的增减性 例题5．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【解析】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 1.当时，从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大； 2.当时，从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而减小； 3.根据一次函数的增减性比较大小： （1）先确定一次函数是递增的还是递减的； （2）确定自变量的取值范围； （3）若一次函数是递增的，则自变量x的值越大，函数值y越大； （4）若一次函数是递减的，则自变量x的值越大，函数值y月小。 1．（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可解决问题． 【解析】 随的增大而增大， 又点在正比例函数的图象上，且 ． 故选：B 2．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 【答案】< 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【解析】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数，且，得出随的增大而减小，令，得出一次函数与轴交于点，它的图象经过第一、二、四象限，当时，则，即可作答． 【解析】解：∵一次函数，且， ∴随的增大而减小，故B选项不符合题意； 令时，则，即一次函数与轴交于点， 故A选项符合题意； 则一次函数经过第一、二、四象限，故D选项不符合题意； ∵一次函数的随的增大而减小， ∴令时，则， ∴当时，则，故C选项不符合题意； 故选：A． 4．（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】由与的范围，确定出点坐标，代入一次函数解析式求出与的值，即可确定出所求．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【解析】解：当时，随的增大而增大， ∵当时，， 一次函数图象上的点坐标为和， 代入得：， ②①得：， 解得：， 把代入①得：， 此时； 当时，随的增大而减小， 一次函数图象上的点坐标为和， 代入得：， 解得：， 此时， 故答案为：2或． 命题点三 一次函数与方程（组）、不等式 ►题型01 一次函数与一元一次方程 例题1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【解析】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 2．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了对高斯函数的理解，以及对方程的解和函数图象交点之间联系的理解，解题的关键在于利用数形结合的方式找出临界点．根据题意可得与有三个不同的交点，恒过点，画出函数图象，找出临界点，即可求出实数的取值范围． 【解析】解：关于的方程有三个不同的实根， 与有三个不同的交点， 有恒过点， 如下图： 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是或 ． 故选：D． 3．（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的综合应用，正确解得直线函数解析式是解题关键．首先根据待定系数法解得直线解析式，再令，解得的值，即可获得答案． 【解析】解：由图像可知，直线经过点，， 将点，代入， 可得，解得， ∴该直线解析式为， 令，可得， 解得， ∴关于的方程的解是． 故选：A． 4．（2024·湖南张家界·一模）已知一次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法，一次函数与一元一次方程，根据一次函数所经过点的坐标就是相对应一元一次方程的解即可解答． 利用待定系数法求函数解析式，然后解方程． 【解析】解：将，代入中， ，解得， ∴一次函数解析式为 当时，，解得， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． ►题型02 一次函数与一元一次不等式 例题2．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【解析】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 1.联立两个一次函数解析式，求出两条直线的交点坐标； 2.再以交点为分界点，先看交点左边，在上方的一次函数图像对应的函数值大于下方一次函数的函数值；交点右侧同理。 1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【解析】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 2．（2024·四川眉山·二模）如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求的解集，即为，就是求函数值小于0时，x的取值范围，解题时应结合函数和不等式的关系找出正确的答案． 【解析】∵要求的解集，即为求的解集， ∴从图象上可以看出等时，， 故选：C． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图象的位置关系和交点坐标写出直线在下方所对应的自变量的范围即可． 【解析】解：由，得到：． 根据图象可知：两函数的交点为， ∴关于的一元一次不等式的解集是， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 4．（2023·江苏镇江·模拟预测）直线和双曲线相交于点和点，不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 先把代入直线求出的值，再代入双曲线求出的值即可，把一次函数求出的值，故可得出其坐标，利用函数图象可直接得出不等式的取值范围． 【解析】解：点是直线与双曲线的交点， ，解得， ， ∴一次函数和反比例函数解析式为， 点在直线上， ， 解得， ， 由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 故答案为：或． ►题型03 一次函数与二元一次方程组 例题3．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 【解析】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 二元一次方程组的解实际上是两条直线的交点坐标，因此在求二元一次方程组的解是，可以利用数形结合的方法，同理在求两条直线的交点坐标时，可以将两条直线的解析式联立组成一个二元一次方程组，解出方程组的解即是两条直线的交点。 1．（2024·贵州黔南·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小红根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程的解为； ③； ④方程组的解为，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【解析】解：由图象可知：的值随着值的增大而减小， 故结论①错误； 一次函数的图象过点， ， ， ， 当时，， ∴， 方程的解为， 故结论②错误； 直线过， ， ， ； 故结论③错误； 由图象可知：方程组的解为， 故结论④正确 正确的结论有1个； 故选：A． 2．（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知一次函数与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【解析】解：一次函数与交于点， 则关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．依据题意，两个函数图象的交点横坐标为，则可得纵坐标为，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 【解析】解：由题意，一次函数与为常数，的图象的交点的横坐标是， 交点的纵坐标为． 方程组的解为． 故答案为：． 4．（2024·安徽阜阳·模拟预测）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（，为整数），例如：，，．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） ①当时，； ②当时，； ③方程的解为； ④当时，函数的图象与正比例函数的图象有两个交点． 【答案】③ 【分析】本题考查了一次函数的交点及有理数的加法，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据定义依次代入数据即可判断①②，当时，代入求解即可判断③，分时，当时，当时，，当时，当时，等集中情况求解判断④． 【解析】解：①当时， ，故①错误； ②当时， ，故②错误； ③当时， ，故③正确； ④∵时， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∵，则时，得；时，得；当时，， ∴当时，函数的图象与正比例函数的图象有三个交点，故④错误， 故答案为③． 基础巩固 1．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可． 【解析】解：∵由已知，得：， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴图象不经过第四象限． 故选：D． 2．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键． 先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可． 【解析】解：令，则， 解得：， 即点为， 则点A关于y轴的对称点是． 故选：A． 3．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数解析式的求解，根据题干信息得出，再利用待定系数法求解． 【解析】解：点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点， 设直线的表达式为，则 ， 解得：， ， 故选：B． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的增减性即可判断，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 5．（2024·安徽宣城·模拟预测）下列函数中，随增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键．根据一次函数、反比例函数以及二次函数的性质逐项判断即可． 【解析】解：A、∵，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、∵，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； C、∵，∴当时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意； D、∵，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了直线的平移．直线的平移规律遵循：上加下减，左加右减，据此分别求出平移后直线、的解析式，结合与直线恰好重合可得关于的方程，解方程即得答案． 【解析】解：直线向下平移2个单位长度后得到直线， 直线的解析式为， 将直线向左平移个单位长度后得到直线， 直线的解析式为， 直线和直线恰好重合， ， 解得：， 故选：A． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如果将正比例函数的图象向下平移2个单位长度后与一次函数的图象交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式．根据题中所给条件，可求出和的值，再解不等式即可． 【解析】解：由题知， 点在一次函数的图象上， 所以， 解得． 将点向上平移2个单位后的点在函数图象上， 即点在函数的图象上， 所以， 则不等式可化为， 解得． 故选：D． 8．（2024·贵州·模拟预测）如图，一次函数和一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，两条直线的交点，解决问题的关键是掌握一次函数图象和性质．根据一次函数的性质即可判断A、B；根据两条直线交点的横坐标即可判断C、D． 【解析】解：A．∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴，故A错误； B．∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴，故B错误； C．∵两条直线交点的横坐标为， ∴， ∴， 即，故C正确； D．∵当时，一次函数的图象在一次函数的图象上面， ∴时，，故D错误． 故选：C． 9．（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的值，即可求出结果． 【解析】解：将点代入， 得到：， 即：， 两边乘2得：， ∴． 故答案为：． 10．（2024·湖南邵阳·二模）已知点，都在直线上，则与的关系是 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【解析】解：， 随的增大而减小， 又点，都在直线上，且， ． 故答案为：． 1．（2024·吉林长春·中考真题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可． 【解析】解：∵直线（k、b是常数）经过点， ∴． ∵y随x的增大而减小， ∴， 当时，， 解得：， ∴b的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一） 12．（2024·内蒙古包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k、b的符号是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过一、二、三象限判断出函数k及b的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可． 【解析】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）画出一次函数的图象． (1)可以先确定这条直线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标是______； (2)请你在图中画出这条直线，并且求这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； (2)图见解析，面积为． 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． （1）令，可得，即可得这条直线与轴的交点坐标；令，可得，即可得这条直线与轴的交点坐标． （2）利用描点法画出一次函数图象即可；根据三角形面积公式计算即可． 【解析】（1）解：令，可得， 这条直线与轴的交点坐标为． 令，可得， 与轴的交点坐标是． 故答案为：；； （2）解：画出这条直线如图所示． 这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积为． 14．（2023·陕西咸阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称． (1)求点的坐标； (2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，轴对称的性质，三角形的面积，正确把握变换规律是解题关键． （1）把代入直线的解析式求得A的坐标，然后根据轴对称的性质求得点B的坐标； （2）由的面积为3，求得，从而求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式． 【解析】（1）解：把代入直线l： 得：， 点， A与点B关于y轴对称， 点 B 的坐标为； （2）由，可知 ， 如图，设与y轴的交点为D，得． ， ， ， ， 直线是由直线l平移得到， 可设直线的函数表达式为， ①当点C在上方时，点C的坐标为， 将代入，得， 直线的函数表达式为； ②当点C在下方时，点的坐标为， 将代入，得， 直线的函数表达式为． 综上，平移后的直线的函数表达式为：或． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）近几年，网约车逐步成为人们日常出行的主要方式之一，它大幅度的提高了人们的出行效率，节省了出行时间和金钱成本．图中反映某网约车平台收费（元）与所行驶的路程（千米）的函数关系，根据图中的信息解答下面问题： (1)求直线的表达式； (2)小张乘坐网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），小张从家到机场需要多长时间？ 【答案】(1)直线的表达式为； (2)小张从家到机场需要30分钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法即可求得； （2）把代入函数关系式求出的值，然后根据网约车的速度可得答案． 【解析】（1）解：设直线为， 把，代入得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米， 把代入得，， 解得， （分钟）． 故小张从家到机场需要30分钟． 16．（2024·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为，． (1)求所在直线的解析式； (2)将点向左平移m个单位长度得到点D，若直线恰好经过点D，求m，n之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，点的平移． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用平移的性质求得点D的坐标为．再代入，计算即可求解． 【解析】（1）解：设所在直线的解析式为， 把，及，代入，得， 解得， ∴所在直线的解析式为； （2）解：∵将点向左平移m个单位长度得到点D， ∴点D的坐标为． ∵直线恰好经过点D， ∴把，代入， 得，整理得． 能力提升 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先利用一次函数解析式求出点坐标，再证明，得到，即得点的坐标，最后根据一次函数平移的性质即可求出直线的函数解析式． 【解析】解：对于直线， 当时，， ∴， ∵直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴平移以后的函数解析式为． 故选：． 2．（2024·安徽·模拟预测）下列函数中，随的增大而减小的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，二次函数的性质，根据一次函数和二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解析】A、是一次函数，，随的增大而减小，故该选项符合题意； B、是一次函数，，随的增大而增大，故该选项不符合题意； C、是二次函数，开口向上，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D、是二次函数，开口向下，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意． 故选：A． 3．（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图像与性质．根据函数图像的增减性，判断选项A、B；利用两个函数图像的位置关系，取横坐标相同的点和，利用纵坐标的大小列出不等式，即可判断选项C、D． 【解析】解：由图像可知，随的增大而减小，随的增大而减小， 所以，故选项A、B错误，不符合题意； 如下图，在两个图像上分别取横坐标为的两个点和（）， 则，， ∵，即 ∴， 又∵， ∴，，故选项C错误，不符合题意，而选项D正确，符合题意． 故选：D 4．（2024·江西九江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点在坐标轴上，点在坐标平面内，若以、、、为顶点的四边形为矩形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数与矩形的综合题型，涉及矩形的性质、一次函数的性质、平移的性质和相似三角形的性质．解题关键是分类讨论和利用相似三角形的性质得到对应线段之间的关系．分类讨论：①点M在原点；②点M在x轴上；③点M在y轴上，利用相似及平移规律即可求解． 【解析】解：直线分别与轴、轴交于点A、， 当时，，时，， 点坐标，B点坐标， 分三种情况：①点在原点上， 矩形中，如图， ， 点坐标为； ②如图，点在轴上，如图， 矩形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 点坐标为， 将点向右平移8个单位，向下平移4个单位得到点， ∴N的坐标为； ③如图2，点在轴上，如图， 矩形中，，由②同理可得： ， ∴ ∴， 点坐标为， 将点向左平移8个单位，向上平移4个单位得到点， 的坐标为， ∴点坐标为或或， 故答案为：或或． 5．（2024·江苏连云港·模拟预测）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，确定的符号是解题的关键．根据题意得到，求出的值，即可得到结论． 【解析】解：一次函数的图像经过第二、三、四象限， ， ， ， 故与x轴的交点有个． 故答案为：． 6．（2024·黑龙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，点，，，，都在直线l上；点，，，，都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的腰长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过罗列计算得到规律是关键．根据题意，分别计算、、、可得边长规律，据此计算即可． 【解析】解：在函数中，令，则；令，则， ，， 是等腰直角三角形， ， 设代入直线解析式得，解得， ， 设代入直线解析式得，解得， ， 设代入直线解析式得，解得， ， ， ． 故答案为：． 7．（2024·北京·模拟预测）如图， (1)【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； (2)【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； (3)【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)，， (3)①；②；③ 【分析】（1）由函数图象的平移法则求解即可得到答案； （2）利用点的平移法则得到、，利用待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案； （3）由对称性质、旋转性质，结合待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案． 【解析】（1）解：利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：，， 将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ，解得， 过点、的直线对应的函数表达式为； （3）解：，当时，，即点；当时，，，即点， ①如图， 一次函数的图象关于轴对称，， ∴点A关于x轴的对称点， 设将一次函数的图象关于轴对称所得到的图象对应的函数表达式为， 将代入得，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ②设点绕点逆时针旋转到点，过点作轴于点，如图， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设将直线绕点逆时针旋转所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ③过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，如图， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设将直线绕点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为． 8．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，已知直线经过点、点，点P是x轴上一个动点，过点C、P作直线． (1)求直线的表达式； (2)已知点，当时，求点P的坐标； (3)设点P的横坐标为m，点，是直线上任意两个点，若时，有，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识． （1）由待定系数法可求解析式； （2）求出，设点，由面积公式可求解； （3）结合图象可求解． 【解析】（1）解：设直线的表达式为， ∵、点在直线上， ∴ 解得 ∴； （2）∵，， ∴， 过点C作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点， ∴， ∴或， ∴P的坐标为或； （3）过点C作轴于E， ∵， ∴， ∵的图象是y随x的增大而减小，经过， ∴当点P在的左侧时，符合题意， ∴． $$