第07讲 平面直角坐标系与函数的概念（讲练）（思维导图+10种题型（含7种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第三章 函数 第07讲 平面直角坐标系与函数的概念（5-8分） （思维导图+2考点+2命题点10种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平面直角坐标系 考点二 函数的概念 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 点的坐标表示 ►题型02 点所在的象限 ►题型03 坐标系中平移、对称与旋转 ►题型04 坐标系中的动点问题 ►题型05 坐标与图形综合 ►题型06 点坐标规律探究 命题点二 函数的概念 ►题型01 函数的概念 ►题型02 函数的解析式 ►题型03 函数的自变量的取值范围 ►题型04 函数的图像问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 平面直角坐标系 1.理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系。 2.在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标； 3.对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形； 4.在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系； 5.在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系； 6.在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置； 7.在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。 10年2考 平面直角坐标系与函数的概念是初中数学的最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为5-8分左右.多以选择题或填空题进行考察，有时会以规律探究、作图的形式进行考查；预计2025年各地中考还将出现，考生要做好基础复习，尤其是点的坐标规律和函数的概念． 函数的概念 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; 4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; 5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 10年3考 考点一 平面直角坐标系 1.有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 2.平面直角坐标系的定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 3.平面直角坐标系的两轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向. 4.原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 5.象限：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 6.点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b). 7.点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 8.点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 9.点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 （1）点P到轴的距离为； （2）点P到轴的距离为； （3）点P到原点O的距离为P＝ . 10.坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： （1）若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； （2）点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： （1）求什么找什么的规律； （2）变化规律最好用算式而不是得数表示； （3）找算式中数字与序号间的变化规律； （4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 5.原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 6.点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 7.已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 8.点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 9.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 考点二 函数的概念 1.函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 2.函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数自变量取值范围的方法： （1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； （2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； （3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； （4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； （5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 3.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 4.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 5.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： （1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. （2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 6.函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 点的坐标表示 例题1．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为 ． 点的坐标表示方法： （1）先过点作x轴的垂线，垂足对应的数是该点的横坐标； （2）再过点作y轴的垂线，垂足对应的数为该点的纵坐标； 1．（2024·贵州铜仁·一模）点P在第三象限，且它到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州贵阳·一模）中国象棋趣味浓厚，基本规则简明易懂，而棋子活动的场所，叫作“棋盘”．观察如图所示象棋盘，以“炮”为原点，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，请写出“馬”的坐标是 ． 4．（2024·重庆长寿·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，则点的横坐标是 ． 题型02 点所在的象限 例题2．（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限． 1.横纵坐标都大于0，则该点在第一象限； 2.横坐标小于0，纵坐标大于0，则该点在第二象限； 3.横纵坐标都小于0，则该点在第三象限； 4.横坐标大于0，纵坐标小于0，则该点在第四象限； 1．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 2．（2024·湖北·模拟预测）点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·湖南衡阳·二模）若点在第二象限，则x的取值范围是 ． 4．（2024·贵州六盘水·二模）二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 题型03 坐标系中的平移、对称和旋转 例题3．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到（点、、分别与点、、对应），请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到（点、、分别与、、点对应），请在图中画出． 1.关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数； 2.关于y轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数； 3.关于原点对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)作出关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标； (2)若是由绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标为______． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）在小正方形边长为1的网格图中，画有，，，． (1)画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形． (2)若点坐标为，在图中画出相应的直角坐标系． (3)若是点关于原点的对称点，则点的坐标为________． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图．的顶点坐标分别为． (1)请画出以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的． (2)直接写出的面积 4．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． ►题型04 坐标系中的动点问题 例题4．（24-25九年级上·江西吉安·期中）如图，已知点，点，点分别在轴，轴正半轴上运动，且，当时，求点坐标 ． 1.坐标系中的动点问题一般涉及到面积和线段长度的问题； 2.面积问题：关键是用一个字母表示出面积公式中的各要素，不能直接表示出来的，可以运用割补法； 3.线段长度的问题一般是用一个字母表示出线段的端点坐标，运用勾股定理表示出线段长度，再根据图形性质列出方程进行解答。 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别和，动点P从点A开始在线段上以每秒2个位长度的速度向原点O运动，点E在线段上，过点E作直线轴交线段于点F，同时点E从原点O以每秒1个单位长度的速度向点B运动，连接，，设点P与点E同时出发，其中一个点到达终点时，两点同时停止运动，运动时间为t秒． (1)当秒时，求的长度； (2)点E、点P在运动过程中，当为何值时，的面积等于； (3)当t为何值时，与相似． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，过点A作．若，x轴上的一点，连接，当点B在y轴上移动时，的最小值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 4．如图，在中，，，，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（   ） A． B． C． D．3 题型05 坐标与图形综合 例题5．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．若点位于以原点为圆心，2为半径的圆的内部，则a的取值范围是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，过格点、、作一圆弧． (1)所在圆的圆心的坐标为______； (2)求的长（结果保留）． 3．（24-25九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，E是边上一点．连接，将沿折叠，点刚好与边上点重合，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，为上在第一象限内的一点，且． (1)求弧的度数． (2)当点的坐标为，求的半径． 题型06 点坐标规律探究 例题6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 规律探究型问题一般包括等差数列和周期性问题： 1.等差数列型问题，要求学生要记住等差数列的通项公式：； 2.周期性的问题：一般要找出周期，有时需要进行分组，有时需要将横坐标和纵坐标分开寻找； 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 2．（2024·湖北恩施·一模）在平面直角坐标系中有三个点、、，点关于A的对称点为，关于B的对称点，关于C的对称点为，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是 ． 3．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 4．（2023·河南新乡·模拟预测）如图，等边三角形的顶点，延长至点，使，以，为邻边作菱形；延长交轴于点，延长至点，使，以，为邻边作菱形；以此类推，依次得到菱形，菱形菱形．则菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 命题点二 函数的概念 ►题型01 函数的概念 例题1．（2022·湖南郴州·中考真题）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流 A． 1．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 2．（2024·广东珠海·三模）下列命题是真命题的是（    ） A．是有理数 B．是负数 C．若，则 D．中，S，π，r均为变量 3．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·北京·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 ►题型02 函数的解析式 例题2．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用字母表示出关键的量； 3.根据数量关系列出代数式并进行化简。 1．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）某函数的图象经过点，请写出一个符合条件的函数表达式为 ． 3．（2024·广东·三模）综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点A的坐标为．点C是边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)当平分时，＝________°； (2)若，求的长； (3)如图2，作点C关于的对称点E，连接，，．设的面积，，求S关于m的函数表达式． 4．（2024·陕西宝鸡·二模）青少年是祖国的未来，增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买品牌的乒乓球拍和品牌的羽毛球拍共副用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知品牌的乒乓球拍的单价为元/副，品牌的羽毛球拍的单价为元/副．设购买品牌的乒乓球拍副，学校购买这些运动器材所需的总费用为（元）． (1)求与之间的函数表达式； (2)若学校此次购买品牌的羽毛球拍的数量比品牌的乒乓球拍的倍少副，求学校购买这些运动器材所需的总费用． 题型03 函数自变量的取值范围 例题3．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.解析式是整式。自变量的取值范围为全体实数； 2.解析式是分式时，分母不为0； 3.解析式是二次根式时，被开方数大于等于0。 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 2．（2024·广东惠州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·三模）函数的自变量的取值范围是 ． 4．（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． ►题型04 函数的图象问题 例题4．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 1．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ） A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 3．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 基础巩固 1．（2024·江苏宿迁·一模）如果点在第二象限，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点B、C的坐标分别为，则顶点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·模拟预测）已知点在第三象限则点在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转后得到点，再将点绕点A顺时针旋转后得到，再将点绕点A顺时针旋转后得到，依此类推，则的坐标是（       ） A． B． C． D． 5．（2024·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交点落在原点处，已知点A的坐标为，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南·模拟预测）下列函数图象中，当时，y随x的增大而减小的函数图象是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）大庆中考体育项目中包括长跑，很多同学跑完后会感到疲劳，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，就基本消除了疲劳，大庆市体育科工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了考生进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ） 图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况；虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况． A．体内血乳酸浓度和时间是变量 B．当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过 C．采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳 D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松 11．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）坐标系中， 点在第三象限， 则m的取值范围是 . 12．（2024·贵州遵义·三模）已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 ． 13．（2024·上海奉贤·三模）函数中，自变量x的取值范围是   ． 14．（2024·河北唐山·模拟预测）如图①所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图②（曲线为抛物线的一部分），则： （1） ； （2）当 时，． 15．（2024·安徽蚌埠·一模）在平面直角坐标系中的位置如图，将绕点逆时针旋转，得到． (1)画出旋转后的； (2)分别写出，，的坐标． 16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)画出与关于y轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为； (2)求（1）中得到的的面积． 17．（2024·宁夏银川·一模）平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点逆时针旋转后的图形． 能力提升 1．（2024·江西南昌·模拟预测）2023年12月27日南昌东站通车运营，南昌东站以“霞鹜齐飞，祥瑞绽放”为设计理念，展现出了新时代高铁客运枢纽的活力，东站通车后旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候安检．经调查发现，某天开始安检时，已有200人排队等候，此后每分钟又增加10位旅客排队安检，而一个安检门每分钟只能办理5位旅客的安检工作．此时间段内东站排队等候安检的人数（人）与车站开放后的时间（分钟）的关系如图所示，其中前分钟只开放了4个安检门． (1)求的值； (2)由于突发情况，要求在候检旅客在13分钟内（含13分钟）动态清零，如图中点所示，求在分钟后至少要增设多少个安检门． 2．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)作出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 4．（2024·广东·模拟预测）综合运用 对于平面直角坐标系中点，和图形W，给出如下定义：过点P，Q都分别作x轴和y轴的垂线，四线的另两个交点分别为M，N．若图形W中的任意一点 满足且，则称四边形是图形W的一个覆盖，称P，Q为图形W的覆盖点．若：，取满足条件的最大值，，取满足条件的最小值，此时称P，Q 为图形W的最小覆盖点．例：已知，，则点， 为线段的最小覆盖点． (1)已知点，点，点． ①的最小覆盖点为 ． ②若的其中一个覆盖点在直线上，求m的取值范围． (2)以点为圆心，半径为3作圆，的最小覆盖点均在抛物线 上，求该抛物线的顶点坐标． 5．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题 材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长． 材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下： 将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为． 请结合以上两材料求出的最小值 6．（2023·河北秦皇岛·一模）在2012年日市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点的王芳同学所跑的路程 s（米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象为折线OBCD．和她同时起跑的李梅同学前600米的速度保持在5米/秒，后来因为体力下降，速度变慢，但还保持匀速奔跑，结果和王芳同学同时到达终点． (1)直接在图中画出李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象； (2)求王芳同学测试中的最快速度； (3)求李梅同学在起跑后多少秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有多少米？ 7．（2023·重庆潼南·模拟预测）如图，在梯形中，，，，现有一动点从点出发沿的方向移动到点（含端点和点），设点经过的路程为，经过的路线与，围成的封闭图形面积为．若点是射线上一点，且，连接、，记． (1)求出，与的函数关系式，并注明的取值范围； (2)在的取值范围内画出，的图象； (3)写出函数的一条性质：的一条性质　　； (4)结合，的函数图象，求出时，的取值范围．（结果保留根号）． $$第三章 函数 第07讲 平面直角坐标系与函数的概念（5-8分） （思维导图+2考点+2命题点10种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！68 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平面直角坐标系 考点二 函数的概念 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 点的坐标表示 ►题型02 点所在的象限 ►题型03 坐标系中平移、对称与旋转 ►题型04 坐标系中的动点问题 ►题型05 坐标与图形综合 ►题型06 点坐标规律探究 命题点二 函数的概念 ►题型01 函数的概念 ►题型02 函数的解析式 ►题型03 函数的自变量的取值范围 ►题型04 函数的图像问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 平面直角坐标系 1.理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系。 2.在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标； 3.对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形； 4.在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系； 5.在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系； 6.在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置； 7.在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。 10年2考 平面直角坐标系与函数的概念是初中数学的最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为5-8分左右.多以选择题或填空题进行考察，有时会以规律探究、作图的形式进行考查；预计2025年各地中考还将出现，考生要做好基础复习，尤其是点的坐标规律和函数的概念． 函数的概念 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; 4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; 5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 10年3考 考点一 平面直角坐标系 1.有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 2.平面直角坐标系的定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 3.平面直角坐标系的两轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向. 4.原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 5.象限：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 6.点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b). 7.点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 8.点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 9.点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 （1）点P到轴的距离为； （2）点P到轴的距离为； （3）点P到原点O的距离为P＝ . 10.坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： （1）若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； （2）点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： （1）求什么找什么的规律； （2）变化规律最好用算式而不是得数表示； （3）找算式中数字与序号间的变化规律； （4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 5.原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 6.点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 7.已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 8.点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 9.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 考点二 函数的概念 1.函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 2.函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数自变量取值范围的方法： （1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； （2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； （3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； （4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； （5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 3.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 4.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 5.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： （1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. （2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 6.函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 点的坐标表示 例题1．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案． 【解析】解：∵点P的坐标为， ∴点Q的坐标为， 故答案为：． 点的坐标表示方法： （1）先过点作x轴的垂线，垂足对应的数是该点的横坐标； （2）再过点作y轴的垂线，垂足对应的数为该点的纵坐标； 1．（2024·贵州铜仁·一模）点P在第三象限，且它到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标．根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【解析】解：点是第三象限内的点，且点到轴的距离是4，到轴的距离是3， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标是． 故选：C． 2．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标的特征．设点A的坐标是，根据点M在第二象限内，可得，，再由点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6，可得，，即可求解． 【解析】解：设点A的坐标是， ∵点M在第二象限内， ∴，， ∵点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是． 故选：B． 3．（2024·贵州贵阳·一模）中国象棋趣味浓厚，基本规则简明易懂，而棋子活动的场所，叫作“棋盘”．观察如图所示象棋盘，以“炮”为原点，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，请写出“馬”的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解题意是解题关键．根据题意画出坐标系，进而确定公园的坐标． 【解析】解：如图所示：“馬”的坐标是：． 故答案为：．    4．（2024·重庆长寿·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理以及坐标与图形，由勾股定理求出的长，进而得到的长，再求出的长，即可得出点的坐标．掌握勾股定理是解题的关键． 【解析】解：∵点，的坐标分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，以长为半径画弧， ∴， ∴， ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为． 故答案为：． ►题型02 点所在的象限 例题2．（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解析】解：点的横坐标，纵坐标， 点在第四象限． 故答案为：四． 1.横纵坐标都大于0，则该点在第一象限； 2.横坐标小于0，纵坐标大于0，则该点在第二象限； 3.横纵坐标都小于0，则该点在第三象限； 4.横坐标大于0，纵坐标小于0，则该点在第四象限； 1．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【解析】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 2．（2024·湖北·模拟预测）点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了判断点所在的象限，掌握各象限的符号特征是解题的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【解析】解：， ，， 点在第一象限， 故选：A． 3．（2024·湖南衡阳·二模）若点在第二象限，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查象限内的坐标特征，以及求一元一次不等式组的解集，根据第二象限内横坐标小于零，纵坐标大于零，建立一元一次不等式组求解，即可解题． 【解析】解：点在第二象限， ， 解①得：， 解②得：， 则x的取值范围是， 故答案为：． 4．（2024·贵州六盘水·二模）二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，以及象限内点的坐标特征，根据图像可知，，，即可判断点所在象限，即可解题． 【解析】解：由图知，，，， 点在第三象限． 故答案为：三． ►题型03 坐标系中的平移、对称和旋转 例题3．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到（点、、分别与点、、对应），请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到（点、、分别与、、点对应），请在图中画出． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移和旋转： （1）先找到点A，B，C平移后的对应点、、，再顺次连接，即可求解； （2）先找到点A，B，C旋转后的对应点、、，再顺次连接，即可求解． 【解析】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，即为所求． 1.关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数； 2.关于y轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数； 3.关于原点对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)作出关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标； (2)若是由绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标为______． 【分析】本题主要考查作图-旋转变换、旋转的性质、中心对称的性质等知识点，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可解答； （2）如图：连接，并分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则是由绕着点P逆时针旋转得到的，然后得到点P的坐标即可． 【解析】（1）解：如图：即为所求．由图可得：． （2）解：如图：连接，并分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则是由绕着点P逆时针旋转得到的， ∴这个点的坐标为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）在小正方形边长为1的网格图中，画有，，，． (1)画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形． (2)若点坐标为，在图中画出相应的直角坐标系． (3)若是点关于原点的对称点，则点的坐标为________． 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可； （2）利用点坐标建立平面直角坐标系； （3）根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【解析】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图； （3）解：如图，点的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图．的顶点坐标分别为． (1)请画出以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的． (2)直接写出的面积 【分析】本题考查坐标与旋转，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）分割法求出三角形的面积即可。 【解析】（1）解：如图，即为所求； （2）的面积为. 4．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【分析】本题主要考查作图—旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可； （2）利用中心对称的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可； （3）结合图形并根据平移的性质、中心对称的性质求出点的坐标，连接，则的交点，即为旋转中心的坐标． 【解析】（1）如图所示， （2）如图所示， （3）由图可知，，， ，， 则的中点为，即， 则的中点为，即， 的中点均为， 与 是以点为对称中心的中心对称图形， 旋转中心的坐标为． ►题型04 坐标系中的动点问题 例题4．（24-25九年级上·江西吉安·期中）如图，已知点，点，点分别在轴，轴正半轴上运动，且，当时，求点坐标 ． 【答案】或． 【分析】本题考查的是坐标与图形，一元二次方程的解法，如图，过作轴于，设，利用面积公式可得，再解方程即可． 【解析】解：如图，过作轴于， ∵，设， 而，， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或． 1.坐标系中的动点问题一般涉及到面积和线段长度的问题； 2.面积问题：关键是用一个字母表示出面积公式中的各要素，不能直接表示出来的，可以运用割补法； 3.线段长度的问题一般是用一个字母表示出线段的端点坐标，运用勾股定理表示出线段长度，再根据图形性质列出方程进行解答。 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别和，动点P从点A开始在线段上以每秒2个位长度的速度向原点O运动，点E在线段上，过点E作直线轴交线段于点F，同时点E从原点O以每秒1个单位长度的速度向点B运动，连接，，设点P与点E同时出发，其中一个点到达终点时，两点同时停止运动，运动时间为t秒． (1)当秒时，求的长度； (2)点E、点P在运动过程中，当为何值时，的面积等于； (3)当t为何值时，与相似． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由题意得，，，求得，证得，可得，再求解即可； （2）由题意可知，，则，，证得，可得，求得，从而可得，再求解即可； （3）由题意可知，，，，分类讨论：当时，；当时，，分别进行求解即可． 【解析】（1）解：当秒时，由题意得，，， ∵、， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：由题意可知，，则，， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当，， 即， 解得，， 当时，，故舍去， ∴秒时，的面积等于； （3）解：由题意可知，，，， 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上所述，当或秒时，与相似． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，过点A作．若，x轴上的一点，连接，当点B在y轴上移动时，的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判断与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质得出点C的运动轨迹是解本题的关键．本题过点作轴于点D，根据“”证明，从而得到，进而得出点在平行于x轴与x轴距离为4的直线上运动，则当垂直于这条直线时，最短，求解即可． 【解析】解：过点作轴于点，如图， ， ， ， ， ， ∵， ， 点在平行于轴与轴距离为4的直线上运动， 当垂直于这条直线时，最短，此时， 故答案为：4． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点E作轴于点F，易证，得出，，从而证明为等腰直角三角形，即得出点E在的平分线所在的直线上运动，再结合垂线段最短可知当时，最小，最后根据勾股定理求解即可． 【解析】解：如图，过点E作轴于点F，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即平分， ∴点E在的平分线所在的直线上运动， ∴当时，最小，如图． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，在中，，，，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，三角形三边关系，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用它们的性质是解决本题的关键． 作 的中点D，连接 、 ，根据三角形两边之和大于第三边，，当O、D、B三点共线时取得最大值． 【解析】解：作的中点D，连接、， ∵， ∴当O、D、B三点共线时取得最大值， ∵，，， ∵D是中点，为直角三角形，， ， ， 在中 ， ∴点B到原点O的最大距离为． 故选：C． ►题型05 坐标与图形综合 例题5．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，勾股定理和含度的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理的推论得到为的直径，则点为的中点，接着利用含度的直角三角形三边的关系得到，，所以，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标． 【解析】解：∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴点为的中点， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，， ∴点坐标为， 即， 故选：B． 1．若点位于以原点为圆心，2为半径的圆的内部，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，过点作轴于点，得出，在勾股定理得出，求得，根据点与圆的位置关系，即可求解． 解：如图所示，当在上时，过点作轴于点， ∴ 在中， ∴ ∴当点位于以原点为圆心，2为半径的圆的内部时，， 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，过格点、、作一圆弧． (1)所在圆的圆心的坐标为______； (2)求的长（结果保留）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了弧长的计算、垂径定理、坐标与图形性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，即可得出答案； （2）根据扇形的面积公式，即可求解． 【解析】（1）解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， ∴作弦、的垂直平分线，交点即为圆心，如图所示，    则圆心的坐标为， 故答案为：； （2）解：连接、，如图所示：    由题意可得： 是等腰直角三角形，且 ∴的长为： 3．（24-25九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，E是边上一点．连接，将沿折叠，点刚好与边上点重合，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质和勾股定理，解题关键是求出的长，设未知数，利用勾股定理列出方程． 根据勾股定理求出的长，再设，利用勾股定理列出方程即可求解． 【解析】解：∵矩形的顶点B坐标为， ∴，，， 由折叠可知，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得； 的长为． 故答案为． 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，为上在第一象限内的一点，且． (1)求弧的度数． (2)当点的坐标为，求的半径． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了度角所对的弦是直径，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角度数相等可得的度数，进而判定为等边三角形即可求解； （2）根据为等边三角形结合点坐标即可求解 【解析】（1）解：连接，如图所示， ， 是的直径， ， ， ， 为等边三角形， 弧的度数为； （2）解：点的坐标为 ， 为等边三角形， ， 的半径为 ►题型06 点坐标规律探究 例题6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标． 【解析】解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ∵， ∴的坐标为． ∴的坐标为 故答案为：． 规律探究型问题一般包括等差数列和周期性问题： 1.等差数列型问题，要求学生要记住等差数列的通项公式：； 2.周期性的问题：一般要找出周期，有时需要进行分组，有时需要将横坐标和纵坐标分开寻找； 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接，求得，，，分别得到，， ，，推导得到，滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，由此得到滚动2024次后停止滚动，则，据此求解即可． 【解析】解：连接， 由题意得，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ， 同理， ……， ， 滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到， ∴滚动2024次后停止滚动，则时，， 故答案为：． 2．（2024·湖北恩施·一模）在平面直角坐标系中有三个点、、，点关于A的对称点为，关于B的对称点，关于C的对称点为，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 设，再根据中点的坐标特点求出、的值，找出循环的规律即可得出点的坐标． 【解析】解：设， 点、、，点关于A的对称点为，关于的对称点， ，， 解得，， ∴． 同理可得，，，，，，，， 每6个操作循环一次． ∵， 点的坐标与相同，即． 故答案为：． 3．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的坐标的变化探究出其变化规律是每个一循环，再根据相应位置上的点找到规律解答即可．能根据机器人的运动方式发现点（为正整数）的坐标可表示为是解题的关键． 【解析】解：由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， ∴（为正整数）的坐标可表示为， 当时，，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 4．（2023·河南新乡·模拟预测）如图，等边三角形的顶点，延长至点，使，以，为邻边作菱形；延长交轴于点，延长至点，使，以，为邻边作菱形；以此类推，依次得到菱形，菱形菱形．则菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形等知识点，正确的识别图形，找出规律是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，推出和是等边三角形，求得菱形的面积，同理，菱形的面积，菱形的面积，菱形的面积于是得到结论． 【解析】解：∵是等边三角形， ， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴和是等边三角形， ， ∴菱形的面积， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 同理，菱形的面积， 菱形的面积， 菱形的面积 ∴菱形的面积， 故选：C． 命题点二 函数的概念 ►题型01 函数的概念 例题1．（2022·湖南郴州·中考真题）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流 A． 【答案】4 【分析】由表格数据得到定值V，代入电阻值即可求解； 【解析】解：∵ ∴V ∴当电阻时，A， 故答案为：4． 1．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，二次函数，反比例函数的定义，正确把握它们的区别与联系是解题的关键． 直接利用一次函数，二次函数，反比例函数的定义判断即可． 【解析】解：A、任何函数都不一定与x轴有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． B、一次函数，二次函数都与y轴有交点，原说法正确，故此选项符合题意． C、反比例函数与y轴不会有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． D、原点是坐标轴上的点，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024·广东珠海·三模）下列命题是真命题的是（    ） A．是有理数 B．是负数 C．若，则 D．中，S，π，r均为变量 【答案】C 【分析】本题考查判断真假命题．根据有理数的定义，负数的定义，绝对值，常量与变量分别判断即可． 【解析】解：A．是无理数，故本选项的命题是假命题； B．有可能是负数，有可能是正数，也有可能是0，故本选项的命题是假命题； C．若，则，故本选项的命题是真命题； D．中，，均为变量，为常量，故本选项的命题是假命题． 故选：C 3．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可． 【解析】解：（1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且，说法正确； （2）单曲线不是反比例函数，说法错误； （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数，说法正确； （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误； （5）直线是常值函数，常值函数是函数，说法错误； （6）直线不是函数，说法错误． 综上，错误的有4个． 故选：D． 4．（2024·北京·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，常量和变量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数的定义可以判断变量是的函数，）根据图象可以得到摩天轮的直径． 【解析】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数； 由图象可得，摩天轮的直径为：． 故选C． ►题型02 函数的解析式 例题2．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式． 【解析】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度， ∴． 故选：D． 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用字母表示出关键的量； 3.根据数量关系列出代数式并进行化简。 1．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可． 【解析】解：由题意，得：； 故答案为：． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）某函数的图象经过点，请写出一个符合条件的函数表达式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据图象与点的关系，选择正比例函数即可． 本题考查了图象与点的关系，正确理解图象与点的关系，选择适当函数求解即可． 【解析】解：设函数的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024·广东·三模）综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点A的坐标为．点C是边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)当平分时，＝________°； (2)若，求的长； (3)如图2，作点C关于的对称点E，连接，，．设的面积，，求S关于m的函数表达式． 【答案】(1)22.5 (2) (3) 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，列函数的解析式，掌握旋转变换的特征是解题的关键． （1）根据旋转的性质和角平分线的定义求解即可； （2）根据旋转的性质证，根据相似三角形的性质求解即可； （3）根据等腰直角三角形的性质证，根据全等三角形的性质，结合三角形的面积公求解即可． 【解析】（1）解：由旋转性质，得，， ∴， ∵平分， ∴， 由题意，得， ∴． 故答案为：22.5； （2）∵，， ∴，， 由旋转性质，得，， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即． 由题意知，， ∵， ∴； （3）如图，设与交于点F，连接，由对称性质，得，． 由题意，得是等腰直角三角形， ∴F为中点，即． 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． ∵，， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴． 过点D作轴于点G， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ． 4．（2024·陕西宝鸡·二模）青少年是祖国的未来，增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买品牌的乒乓球拍和品牌的羽毛球拍共副用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知品牌的乒乓球拍的单价为元/副，品牌的羽毛球拍的单价为元/副．设购买品牌的乒乓球拍副，学校购买这些运动器材所需的总费用为（元）． (1)求与之间的函数表达式； (2)若学校此次购买品牌的羽毛球拍的数量比品牌的乒乓球拍的倍少副，求学校购买这些运动器材所需的总费用． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查一次函数及一元一次方程的应用， （1）设购买品牌的乒乓球拍副，则购买品牌的羽毛球拍副，根据费用＝单价×数量，即可得解； （2）先根据“学校此次购买品牌的羽毛球拍的数量比品牌的乒乓球拍的倍少副”得到关于的一元一次方程，求解后得到的值，再代入（1）中所得的函数表达式求解即可； 正确理解题意，得到与之间的函数表达式是解题的关键． 【解析】（1）解：设购买品牌的乒乓球拍副，则购买品牌的羽毛球拍副， 由题意可得：， ∴与之间的函数表达式为； （2）设购买品牌的乒乓球拍副，则购买品牌的羽毛球拍副， 则：， 解得：， 当时，． 答：学校购买这些运动器材所需的总费用为元． ►题型03 函数自变量的取值范围 例题3．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题． 【解析】解：由题知，， 解得， 故答案为：C． 1.解析式是整式。自变量的取值范围为全体实数； 2.解析式是分式时，分母不为0； 3.解析式是二次根式时，被开方数大于等于0。 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【解析】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 2．（2024·广东惠州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查当函数是二次根式时自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数，再列不等式求解即可． 【解析】解：由题意可得：，解得：， 故选 A． 3．（2024·安徽·三模）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质、函数自变量的取值范围，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式中被开方数不能小于零即可求解． 【解析】解：根据二次根式的性质可得：中， 解得， 函数中自变量的取值范围是． 故答案为：． 4．（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】且 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据，二次根式有意义以及分式有意义的条件，进行求解即可． 【解析】解：由题意，得：，解得：且； 故答案为：且． ►题型04 函数的图象问题 例题4．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 根据函数图象分析即可． 【解析】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 1．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 【解析】解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 2．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ） A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 【答案】D 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可． 【解析】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意； B、乙全程共用，原说法错误，不符合题意； C、乙比甲早到B地，原说法错误，不符合题意； D、甲的速度是，原说法正确，符合题意； 故选D． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度． 【解析】解：由图像可知，在时提取率最高， 时提取率最高， 故最佳的提取时间和提取温度分别为， 故选B． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息解决问题即可． 【解析】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确； 该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确； 该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误； 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确， 故选：C． 基础巩固 1．（2024·江苏宿迁·一模）如果点在第二象限，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．根据点在第二象限，可得、的符号，进而可得的符号，据此可判断其所在的象限． 【解析】解：∵在第二象限， ∴，， ∴， ∴点在第一象限， 故选：A． 2．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点B、C的坐标分别为，则顶点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质．正确计算出正方形的边长是本题的关键． 由题意知，轴，，则正方形的边长为2，可求，求解作答即可． 【解析】解：由题意知，∵顶点B、C的坐标分别为， ∴轴，， ∴正方形的边长为2， ∴，即， 故选：A． 3．（2024·湖北·模拟预测）已知点在第三象限则点在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所在象限的关系是解题的关键．根据点在第三象限，得到，，即可得到点所在的象限． 【解析】解：点在第三象限内， ，， ，， 点在第四象限． 故选：D． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转后得到点，再将点绕点A顺时针旋转后得到，再将点绕点A顺时针旋转后得到，依此类推，则的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标规律探索，全等三角形的判定与性质； 过点P作轴，过点作轴，根据条件证明，即可求得，同理可得：，，即可求解． 【解析】过点P作轴，过点作轴，如图， ∵点绕点顺时针旋转后得到点 ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∴； 同理可得：，，……. ∵ ∴ 故选：C． 5．（2024·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交点落在原点处，已知点A的坐标为，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系． 要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键． 根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A和点C关于原点对称，即可求解． 【解析】解：∵在平行四边形中，点A和点C关于原点对称，点A的坐标为， ∴点C的坐标为． 故选：B． 6．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题.根据图象可得移动 次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标． 【解析】解：半径为个单位长度的半圆的周长为：， 点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点秒走个半圆， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， ， ， 的坐标是， 故选：． 7．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 【解析】解：由题意得，树苗每个月增长的高度是， 故该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为， 故选：． 8．（2024·湖南·模拟预测）下列函数图象中，当时，y随x的增大而减小的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂图象． 根据函数的图象得出函数增减性以及所在象限分别分析得出即可． 【解析】解：A、当时，y随x的增大而减小，该选项符合题意； B、当时，y随x的增大而增大，该选项不符合题意； C、当时，y随x的增大而增大，该选项不符合题意； D、当时，y随x的增大不发生变化，该选项不符合题意； 故选：A． 9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【解析】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 10．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）大庆中考体育项目中包括长跑，很多同学跑完后会感到疲劳，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，就基本消除了疲劳，大庆市体育科工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了考生进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ） 图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况；虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况． A．体内血乳酸浓度和时间是变量 B．当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过 C．采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳 D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【解析】解：A、体内血乳酸浓度和时间均是变量，原说法正确，故选项A不合题意； B、当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过，原说法正确，故选项B不合题意； C、采用静坐方式放松时，运动员大约后才能基本消除疲劳，原说法错误，故选项C符合题意； D、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，原说法正确，故选项D不合题意； 故选：C． 11．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）坐标系中， 点在第三象限， 则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中象限中点的特征，以及解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，再解不等式组即可． 【解析】解：由题意得，， 解得，， 得，， 原不等式组的解集为：， 故答案为：． 12．（2024·贵州遵义·三模）已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据第一象限的点的横纵坐标均为正数，且点到两个坐标轴的距离相等得出，求解即可得出答案． 【解析】解：∵点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．（2024·上海奉贤·三模）函数中，自变量x的取值范围是   ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件，从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 【解析】解：根据题意得到：， 解得． 故答案为：． 14．（2024·河北唐山·模拟预测）如图①所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图②（曲线为抛物线的一部分），则： （1） ； （2）当 时，． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了余弦的求解，相似三角形的性质，根据图象确定动点的运动位置是解题关键． （1）由图可知：秒后，动点Q运动到点，动点P运动到点；秒后，动点P运动到点，据此即可求解； （2）若，则动点Q运动到点的位置，动点P在段运动；根据即可求解； 【解析】（1）解：由图可知：秒后，动点Q运动到点，动点P运动到点；秒后，动点P运动到点， ∴， 当动点Q运动到点，动点P运动到点时，的高为（或）的长度， ∴ ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴若， ∴动点Q运动到点的位置，动点P在段运动 ∵， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 15．（2024·安徽蚌埠·一模）在平面直角坐标系中的位置如图，将绕点逆时针旋转，得到． (1)画出旋转后的； (2)分别写出，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查旋转作图，写出点的坐标； （1）分别作出，，的对应点，，． （2）根据点的位置写出坐标即可． 【解析】（1）如图，即为所求． （2）根据坐标系可得：，，，． 16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)画出与关于y轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为； (2)求（1）中得到的的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4.5 【分析】本题考查了利用轴对称变换在坐标系中作图，利用网格求面积： （1）直接利用关于y轴对称的性质得出对应点位置，顺次连接各个对应点即可； （2）利用割补法求解即可． 【解析】（1）如图所示，即为所求． （2）的面积． 17．（2024·宁夏银川·一模）平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点逆时针旋转后的图形． 【分析】本题主要考查作图-旋转变换和轴对称变换，解题的关键是 （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）分别作出点A、B、 C绕点顺时针旋转后得到的对应点，再首尾顺次连接即可得． 【解析】（1）解∶如图，即为所求， ∴； （2）解：如图，即为所求． 能力提升 1．（2024·江西南昌·模拟预测）2023年12月27日南昌东站通车运营，南昌东站以“霞鹜齐飞，祥瑞绽放”为设计理念，展现出了新时代高铁客运枢纽的活力，东站通车后旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候安检．经调查发现，某天开始安检时，已有200人排队等候，此后每分钟又增加10位旅客排队安检，而一个安检门每分钟只能办理5位旅客的安检工作．此时间段内东站排队等候安检的人数（人）与车站开放后的时间（分钟）的关系如图所示，其中前分钟只开放了4个安检门． (1)求的值； (2)由于突发情况，要求在候检旅客在13分钟内（含13分钟）动态清零，如图中点所示，求在分钟后至少要增设多少个安检门． 【答案】(1)5 (2)至少要增设2个安检门 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并得到“等候安检的人数=原有排队人数+新增排队人数-办理安检的人数”是解题的关键． （1）根据“等候安检的人数=原有排队人数+新增排队人数-办理安检的人数”列关于m的方程并求解即可； （2）设在m分钟后增设a个安检门，当时实现动态清零，根据等候安检的人数为0列方程并求出t（关于a的代数式），令，求出a的取值范围并取其最小整数值即可． 【解析】（1）解：根据题意，得， 解得． （2）设在分钟后增设个安检门，当时实现动态清零． 根据题意，得， 将代入并整理，得， 解得， 当时，解得， 为整数， 在分钟后至少要增设2个安检门． 2．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为，由于返回时间与去时行驶时间相同，可以得到小丽在景区游玩时间； （2）先求出汽车行驶时每小时的耗电量，可知到达景点时汽车剩余电量为； （3）用待定系数法可得线段所表示的与之间的函数表达式． 【解析】（1） 电动汽车每小时的充电量为 小丽往返均匀速行驶 返回时间与去时行驶时间相同，即为： 段占用时间为 段时间为： 故答案为：； （2）汽车每小时的耗电量均相同，且到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同 耗电量为： 到达景点时汽车剩余电量为： （3）段时间为：，且到达景点时汽车剩余电量为： 汽车每小时的耗电量为，返回时间为 当小丽回家时，剩余电量为： 设段的函数表达式为： 将代入可得： 解得： 段的函数表达式为： 3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)作出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【分析】此题考查轴对称的作图、点的坐标、利用网格面积等知识． （1）找到关于y轴的对称点，顺次连接得到，再写出点的坐标即可； （2）利用梯形面积公式计算即可． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求．则点的坐标为． （2）解：四边形的面积 4．（2024·广东·模拟预测）综合运用 对于平面直角坐标系中点，和图形W，给出如下定义：过点P，Q都分别作x轴和y轴的垂线，四线的另两个交点分别为M，N．若图形W中的任意一点 满足且，则称四边形是图形W的一个覆盖，称P，Q为图形W的覆盖点．若：，取满足条件的最大值，，取满足条件的最小值，此时称P，Q 为图形W的最小覆盖点．例：已知，，则点， 为线段的最小覆盖点． (1)已知点，点，点． ①的最小覆盖点为 ． ②若的其中一个覆盖点在直线上，求m的取值范围． (2)以点为圆心，半径为3作圆，的最小覆盖点均在抛物线 上，求该抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①首先根据题意画出图形，然后根据最小覆盖点的概念求解即可； ②根据题意分当左下方覆盖点在直线上时和当右上方覆盖点在直线上时两种情况讨论，然后分别求解即可； （2）首先求出的最小覆盖点为，，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，然后转化成顶点式求解即可． 【解析】（1）①如图所示，分别过点A，B，C作x轴和y轴的垂线， ∴围成的矩形的左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为 ∴由最小覆盖点的概念可得，的最小覆盖点为，； ②当左下方覆盖点在直线上时， 分情况如下： a．当时， ， ∵，m随x增大而增大， ∴； b．当时，， ∵， ∴， ∴当左下方覆盖点在直线上时，； 当右上方覆盖点在直线上时，分情况如下：a．当时，， ∵，m随x增大而增大， ； b．当时，， ∵， ； ∴当右上方覆盖点在直线上时，； 综上所述，当时，的其中一个覆盖点在直线上； （2）如图所示，由题意得的最小覆盖点为，， 代入，得 解得 ∴该抛物线顶点坐标为 ． 5．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题 材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长． 材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下： 将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为． 请结合以上两材料求出的最小值 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，将原式转化为，构造直角三角形，，，以为坐标原点构造直角坐标系，设为，进而得到，，，将绕点点逆时针旋转得到，并做，根据旋转的性质，含30度角的性质，求出的长，根据，进行求解即可． 【解析】解：原式 可看做下图中的，其中为 则，， 将绕点点逆时针旋转得到，并做 ，，，，， ，为等边三角形， ，，， 又 ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 的最小值为．    6．（2023·河北秦皇岛·一模）在2012年日市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点的王芳同学所跑的路程 s（米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象为折线OBCD．和她同时起跑的李梅同学前600米的速度保持在5米/秒，后来因为体力下降，速度变慢，但还保持匀速奔跑，结果和王芳同学同时到达终点． (1)直接在图中画出李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象； (2)求王芳同学测试中的最快速度； (3)求李梅同学在起跑后多少秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有多少米？ 【答案】(1)见解析； (2)王芳同学测试中的最快速度为6米/秒； (3)李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，描点法画函数图象的运用，一次函数的交点坐标点的运用，解答本题时正确理解函数图象表示的意义是关键． （1）求出李梅同学前600米的时间就可以确定李梅600米时的图象位置，再连接、就可以画出图象； （2）根据函数图象求出王芳跑，，三段路程的速度，再比较大小就可以求出王芳的最快速度； （3）运用待定系数法求出的解析式和的解析式，再根据一次函数与二元一次方程的关系就可以求出李梅同学在起跑后追上王芳同学的时间和离终点的距离． 【解析】（1）解：由题意，得:， ∴李梅运动中的图象经过， ∴在平面直角坐标系中描出这点，再连接，就可以画出李梅同学所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图象，如图： （2）由图象，得 王芳段的速度为：米/秒； 王芳段的速度为：米/秒； 王芳段的速度为：米/秒； ∴， ∴王芳同学测试中的最快速度为6米/秒； （3）设直线的解析式为，由题意，得， 解得：，即， 设直线的解析式为，由题意，得, 解得：，即， 当时，， ∴， 当时，， 距离终点还有：． 答：李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米． 7．（2023·重庆潼南·模拟预测）如图，在梯形中，，，，现有一动点从点出发沿的方向移动到点（含端点和点），设点经过的路程为，经过的路线与，围成的封闭图形面积为．若点是射线上一点，且，连接、，记． (1)求出，与的函数关系式，并注明的取值范围； (2)在的取值范围内画出，的图象； (3)写出函数的一条性质：的一条性质　　； (4)结合，的函数图象，求出时，的取值范围．（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3)当时，是一次函数 (4)时， 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，熟练掌握一次函数和反比例函数的知识是解题的关键． （1）分段得出，与的函数关系式即可； （2）根据（1）的函数关系式画出图象即可； （3）根据函数图象写出一条性质即可（答案不唯一）； （4）根据图象得出时，的取值范围即可． 【解析】（1）解：由题意知，，，， ，， 点经过的路程为， 当时，， 当时，， 当时，， ， ， ； （2）解：根据（1）的函数关系式画出图象如下： （3）解：由图象知，当时，是一次函数（答案不唯一）， 故答案为：当时，是一次函数（答案不唯一）； （4）解：由图知，当时，， 当时，． $$