第06讲 一元二次方程与分式方程（讲练）（思维导图+13种题型（含8种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 一元二次方程与分式方程（8~12分） （思维导图+4考点+3命题点13种题型（含8种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程的概念与解法 考点二 一元二次方程的应用 考点三 解分式方程 考点四 分式方程的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程的概念与解法 ►题型01 一元二次方程的概念 ►题型02 一元二次方程的解法 ►题型03 一元二次方程根的判别式 ►题型04 与一元二次方程有关的规律探究 ►题型05 一元二次方程根与系数的关系 命题点二 解分式方程 ►题型01 分式方程的概念 ►题型02 分式方程的解法 ►题型04 与分式方程有关的规律探究 命题点三 一元二次方程、分式方程的应用 ►题型01 传播问题 ►题型02 增长率问题 ►题型03 行程和工程问题 ►题型04 营销问题 ►题型05 动态几何问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一元二次方程的概念与解法 理解一元二次方程的相关概念。 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 了解一元二次方程的根与系数的关系。 10年4考 本考点内容以考查一元二次方程的一元二次方程的解法、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，中考中对分式方程的考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主。既有单独考查，也有和二次函数、几何结合进行综合考察，有时也会以规律探究的形式进行考察，考查频率较高，分值为10分左右. 预计2025年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了.解分式方程要注意检验，理解增根的含义。为避免丢分，学生应扎实掌握。 一元二次方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 10年4考 解分式方程 能解可化为一元一次方程的分式方程 10年2考 分式方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性． 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程的概念与解法 1.正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省 1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式： ，其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 3.一元二次方程的解：一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 4.一元二次方程的解法 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 5.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 6.一元二次方程根的判别式 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 方程有两个不相等的实根: 方程有两个相等的实根： 方程无实根 7.一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：；； 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 6. 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根. 7. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 8. 求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0. 9. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值. 10. 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程： 1）有两个不相等的实数根时, >0; 2）有两个相等的实数根时, =0; 3）没有实数根时, <0. 11. 一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 12. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝. 13. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0. 14. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值. 15. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 考点二 一元二次方程的应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 点三 解分式方程 1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2.解分式方程 3.增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 考点四 分式方程的应用 1.用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 2.与分式方程有关应用题的常见类型： 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程的概念与解法 ►题型01 一元二次方程的概念 例题1．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 1.先将一元二次方程化成一般形式。 2.注意二次项系数不为0； 1．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 2．（2024·云南昆明·一模）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）将一元二次方程化成一般形式后，则一次项的系数是（    ） A． B．2 C． D．4 4．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型02 一元二次方程的解法 例题2．（2024·云南怒江·一模）解方程： (1)； (2)． 1.直接考评方法：根据平方根的含义，一个正数的平方根有两个，他们互为相反数；等号的右边要大于等于0. 2.配方法： ①先化成一般形式； ②二次项系数化成1 ③等式两边都加上一次项系数一般的平方； ④开平方，写出方程的解。 3.公式法： ①将方程化成一般形式； ②确定a、b、c ③计算判别式 ④代入公式进行计算 4.因式分解法：将等号右边化成0，对等号左边进行因式分解。分别令每个因式等于0，求出方程的解。 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程： 2．（2024·福建宁德·一模）解方程：； 3．（2024·甘肃·模拟预测）解方程：． 4．（2024·云南曲靖·一模）解下列方程： (1)； (2)； (3)． ►题型03 一元二次方程根的判别式 例题3．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 判别式： 1.时，方程有两个不等的实根； 2.时，方程有两个相等的实根； 2.时，方程无解； 1．（2024·四川达州·一模）对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则满足条件的实数（　　） A．0 B．或1 C．1 D．或2 3．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）小莹在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是，则原方程的根的情况是（  ） A．有一个实数根是 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．（2024·新疆克孜勒苏·一模）已知关于的方程．求证：方程总有两个不相等的实数根 题型04 与一元二次方程有关的规律探究 例题4．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 2．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 3．（2024·安徽六安·三模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……， 我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第n个数记为． (1)根据这列数的规律， ， (2)这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由． 4．（2024·安徽·一模）【观察思考】下列是由空白长方形和阴影长方形构成的图案： 【规律发现】请用含n的式子填空： 图1中有块阴影长方形，空白长方形有（块）； 图2中有块阴影长方形，空白长方形有（块）； 图3中有块阴影长方形，空白长方形有（块）； …… （1）图n中有______块阴影长方形，空白长方形有______＝______（块）； 【规律应用】 （2）在图n中，是否存在空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块？若存在，通过计算求出n的值；若不存在，请说明理由． 题型05 一元二次方程根与系数的关系 例题5．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 1.熟记一元二次方程根与系数的关系：；； 2.掌握根与系数的推广，例如：； 3.对所求代数式进行化简或降次，使出现根与系数的关系式。 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知，是关于的一元二次方程两个实数根，则 ． 4．（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围． 命题点二 解分式方程 ►题型01 分式方程的概念 例题1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 1.分母中含有未知数的方程称为分式方程； 2.判断分式方程时，注意不要约分； 1．下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 3．方程 、 、、中分式方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． ►题型02 分式方程的解法 例题2．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 1.现将分式方程两边都乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程； 2.解整式方程； 3.把方程的解代入最简公分母进行检验。 1.解分式方程时注意分式的分母不为0，一定要对方程的根进行检验； 2.在求与分式方程有关的参数时，也不能忽略分式的分母不为0； 1．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏苏州·一模）解方程： 4．（2024·陕西渭南·三模）解方程：． 题型03 与分式方程有关的规律探究 例题3．（2024·宁夏吴忠·一模）观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解 ． 1．（2024·安徽·二模）观察下列等式： ； ； ； (1)由此可推断：________； (2)根据上述规律，解方程：． 2．（2024·山东青岛·二模）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为，，，，以此类推．请回答下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)的值为______； (3)若（为正整数），则的值为______． 3．（2011·广东·中考模拟）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题． ，，，… (1) ． (2)探究 ．（用含有n的式子表示） (3)若的值为，求n的值． 4．（2022·贵州遵义·二模）阅读下列材料，完成探究与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，…． 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，…． 【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． (1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若，则①____，②______； 【运用】 (2)请用上述规律，解分式方程． 命题点三 一元二次方程、分式方程的应用 ►题型01 传播问题 例题1．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用字母表示出关键的量； 3.根据等量关系列出方程，并解方程。 4.注意分式方程要验根；一元二次方程有两个根，一定要结合实际情况，判断两根是否都满足条件。 5.传播问题一般比较简单，记住传播问题的公式直接套用就可以。 1．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B．10 C．7 D．9 2．（24-25九年级上·天津和平·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后共有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 3．（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 4．（2023·安徽六安·三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． ►题型02 增长率问题 例题2．（2023·辽宁大连·中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 1.增长率问题的模板： 2.表示增长（降低）之前的量，表示增长（降低）之后的量；表示平均增长率（降低率）。 1．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 2．（2024·安徽·模拟预测）今年“五一”假期期间，合肥骆岗公园举办了大型电音节等活动，由此带来旅游热潮，引发酒店预订热．据统计，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日这三天累计入住608人次，求该酒店入住人次的日平均增长率． 3．（2024·安徽淮北·三模）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在淘宝上对一款标价为元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为元/件，并且两次降价的百分率相同．求该商品每次降价的百分率． 4．（2024·安徽阜阳·三模）某健身达人今年2月份在网上开通直播分享健身经验和健康饮食，吸引了大批粉丝．2月份新增关注人数为10万人，4月份新增关注人数为万人． (1)求2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率； (2)如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人？ 题型03 行程和工程问题 例题3．（2021·安徽宣城·一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 1．（2023·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 2．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 3．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 4．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 题型04 营销问题 例题4．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 1．（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 2．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？ 3．（2024·安徽亳州·二模）“七夕节”，又名乞巧节、女儿节，是中国的传统节日，也被称为中国的情人节．某商家在“七夕节”当天对某商品进行打折促销活动，原本销售一件商品成本为元，网上标价元．一周可售出件．活动这天该网店先将该商品网上标价提高，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，当天卖出的该商品数量也比原来一周卖出的商品数量增加了，这样活动当天网店的利润达到了万元，求该网店在购物活动这天的网上标价为多少？ 4．（2024·安徽宿州·一模）某商场经销一种儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是50元，规定销售时单价不能低于进价，每件的售价不能超过70元．试销过程中发现：销售单价是60元时，月销售量是400件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件.设每件玩具的单价上涨x（元）时，月销售量为y（件）． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件玩具的单价上涨多少元时，每月能获得的利润恰好是5250元？ 题型05 动态几何问题 例题5．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 1．（2024·甘肃武威·二模）如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？ 2．（2022·安徽·模拟预测）如图1，在等腰中，，动点从点A出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为与之间关系的图象如图2所示，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·广东湛江·三模）在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒． (1)求为多少秒时，的面积为为 (2)当为多少时，以点为顶点的三角形与相似. 4．（2022·广东湛江·一模）如图，在矩形中，，，动点分别从点 同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动．设移动的时间为． (1)当为何值时，两点的距离最小？最小距离是多少？ (2)当为何值时，两点的距离是 ？ 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·安徽合肥·三模）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 2．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽宣城·三模）某市2022年有人口a万人，2023年人口增长率大约为，预计2024年人口增长率为，若设2023、2024年的平均增长率为x，则（     ） A． B． C． D．不能确定 4．（2024·安徽六安·一模）关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 5．（2024·安徽淮南·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为非负整数，则符合条件的的个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·安徽安庆·三模）已知代数式和的值互为相反数，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 7．（2024·安徽·模拟预测）某班共买了铅笔和橡皮两种文具．已知每种文具各花了60元，铅笔比橡皮少10个，铅笔单价是橡皮的1.5倍．若设橡皮的单价为元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·安徽·二模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周2800件提高到4000件，平均每人每周比原来多投递40件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·河北秦皇岛·一模）秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（    ） A． B． C． D． 11．（2013·江苏扬州·一模）方程的解是 ． 12．（2023·四川甘孜·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 13．（2024·安徽六安·模拟预测）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 14．（2024·安徽宿州·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数可取的最小整数值是 ． 15．（2024·安徽滁州·一模）若，则代数式的值是 ． 16．（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于的方程：有增根，则 ． 17．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）（1）解方程：（公式法） （2）解方程：（配方法） 18．（2024·青海西宁·三模）解分式方程：． 19．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 20．（2024·湖北随州·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围． 21．（2024·广东·模拟预测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 22．（2024·重庆南岸·模拟预测）某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 23．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 能力提升 1．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 2．（2024·广东·模拟预测）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根； (3)已知两个不相等的实数满足，求的值． 3．（2023·河北衡水·模拟预测）某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元． (1)嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：．” 请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； (2)该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．” ①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由； ②试分析指出采纳谁的意见更合适． 4．（2024·山东日照·二模）我们知道，对于关于x的一元二次方程，如果该方程有两个实数根和，那么这两个根与方程的系数之间满足以下关系：①；②．此外，根与方程的系数的关系还可以推广到一元n次方程：对于方程，其中是方程的n个实数根，其中所有根的和为；所有根的积为，请结合上述材料，解答下列问题： (1)方程的一个实数根是，则________；方程的两个根，，则第三个根________． (2)若m，n是关于x的一元二次方程两个实数根，且m，n满足，求k的值． (3)在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数（，）图象的两个交点A、B的横坐标分别是、，设的面积是S．当t取何值时，S有最大值． $$第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 一元二次方程与分式方程（8~12分） （思维导图+4考点+3命题点13种题型（含8种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！77 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程的概念与解法 考点二 一元二次方程的应用 考点三 解分式方程 考点四 分式方程的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程的概念与解法 ►题型01 一元二次方程的概念 ►题型02 一元二次方程的解法 ►题型03 一元二次方程根的判别式 ►题型04 与一元二次方程有关的规律探究 ►题型05 一元二次方程根与系数的关系 命题点二 解分式方程 ►题型01 分式方程的概念 ►题型02 分式方程的解法 ►题型04 与分式方程有关的规律探究 命题点三 一元二次方程、分式方程的应用 ►题型01 传播问题 ►题型02 增长率问题 ►题型03 行程和工程问题 ►题型04 营销问题 ►题型05 动态几何问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一元二次方程的概念与解法 理解一元二次方程的相关概念。 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 了解一元二次方程的根与系数的关系。 10年4考 本考点内容以考查一元二次方程的一元二次方程的解法、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，中考中对分式方程的考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主。既有单独考查，也有和二次函数、几何结合进行综合考察，有时也会以规律探究的形式进行考察，考查频率较高，分值为10分左右. 预计2025年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了.解分式方程要注意检验，理解增根的含义。为避免丢分，学生应扎实掌握。 一元二次方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 10年4考 解分式方程 能解可化为一元一次方程的分式方程 10年2考 分式方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性． 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程的概念与解法 1.正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省 1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式： ，其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 3.一元二次方程的解：一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 4.一元二次方程的解法 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 5.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 6.一元二次方程根的判别式 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 方程有两个不相等的实根: 方程有两个相等的实根： 方程无实根 7.一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：；； 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 6. 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根. 7. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 8. 求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0. 9. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值. 10. 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程： 1）有两个不相等的实数根时, >0; 2）有两个相等的实数根时, =0; 3）没有实数根时, <0. 11. 一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 12. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝. 13. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0. 14. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值. 15. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 考点二 一元二次方程的应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 考点三 解分式方程 1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2.解分式方程 3.增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 考点四 分式方程的应用 1.用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 2.与分式方程有关应用题的常见类型： 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程的概念与解法 ►题型01 一元二次方程的概念 例题1．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【解析】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 1.先将一元二次方程化成一般形式。 2.注意二次项系数不为0； 1．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【解析】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 2．（2024·云南昆明·一模）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【解析】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得，， 故选：A． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）将一元二次方程化成一般形式后，则一次项的系数是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【解析】解：把化为一般式为， ∴一次项系数为， 故选：C． 4．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可解答． 【解析】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：A． ►题型02 一元二次方程的解法 例题2．（2024·云南怒江·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 1.直接考评方法：根据平方根的含义，一个正数的平方根有两个，他们互为相反数；等号的右边要大于等于0. 2.配方法： ①先化成一般形式； ②二次项系数化成1 ③等式两边都加上一次项系数一般的平方； ④开平方，写出方程的解。 3.公式法： ①将方程化成一般形式； ②确定a、b、c ③计算判别式 ④代入公式进行计算 4.因式分解法：将等号右边化成0，对等号左边进行因式分解。分别令每个因式等于0，求出方程的解。 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程： 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把原式变形配方为，开平方即可求出方程的解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 2．（2024·福建宁德·一模）解方程：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用公式法解一元二次方程即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·甘肃·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：， ∴或 解得，． 4．（2024·云南曲靖·一模）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． （1）方程整理后用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用配方法求解即可． 【解析】（1）解：， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． ►题型03 一元二次方程根的判别式 例题3．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【解析】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 判别式： 1.时，方程有两个不等的实根； 2.时，方程有两个相等的实根； 2.时，方程无解； 1．（2024·四川达州·一模）对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可． 【解析】解：∵，， ∴， 即， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且，故C正确． 故选：C． 2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则满足条件的实数（　　） A．0 B．或1 C．1 D．或2 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求解即可． 【解析】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）小莹在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是，则原方程的根的情况是（  ） A．有一个实数根是 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，先将代入方程得，求出从而得出a的正确值为，根据根的判别式得出原方程有两个不相等的实数根，求出方程的解，逐项进行判断即可． 【解析】解：将代入方程得， ， 解得， 所以a的正确值为， 则原方程为， 所以， 所以原方程有两个不相等的实数根，且方程的两个根为：． 故选：D． 4．（2024·新疆克孜勒苏·一模）已知关于的方程．求证：方程总有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，求出，再判断即可． 【解析】解：∵ ∴ ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． ►题型04 与一元二次方程有关的规律探究 例题4．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120； (2)不能 (3)一共能摆放20排． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【解析】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； （2）解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键． 【解析】解：（）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， ∴第个图案中“”的个数是个， 故答案为：； （）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数是个， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中“○”的个数是， ∴第个图案中“○”的个数是， 故答案为：，； 由题意可得，， 整理得，， 解得：（舍去）或． 2．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 【答案】（1）；（2）；（3）n的值为2或7 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“▲”的个数为，即可作答． （2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列式计算，即可作答． 【解析】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； 第4个图案中，“▲”的个数为； 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为， 第2个图案中，“★”的个数可表示为， 第3个图案中，“★”的个数可表示为， …， 第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4 ∴ ∴ 解得 ∴n的值为2或7 3．（2024·安徽六安·三模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……， 我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第n个数记为． (1)根据这列数的规律， ， (2)这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)45， (2)有66这个数，是第11个数，理由见解析． 【分析】本题主要考查找规律和解一元二次方程： （1）根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到的值； （2）当时，得一元二次方程，求解方程即可． 【解析】（1）解：由题意可得，， ， ， ， ， …， ∴， ∴当时，， 故答案为：45；； （2）解：当时，即：， 整理得， 解得，（舍去） 所以，这列数中有66这个数，此时． 4．（2024·安徽·一模）【观察思考】下列是由空白长方形和阴影长方形构成的图案： 【规律发现】请用含n的式子填空： 图1中有块阴影长方形，空白长方形有（块）； 图2中有块阴影长方形，空白长方形有（块）； 图3中有块阴影长方形，空白长方形有（块）； …… （1）图n中有______块阴影长方形，空白长方形有______＝______（块）； 【规律应用】 （2）在图n中，是否存在空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块？若存在，通过计算求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）存在， 【分析】本题考查图形类规律探究、整式的加减、解一元二次方程，找到变化规律是解答的关键． （1）根据题干中数据，得出每个图形中阴影长方形个数和空白长方形个数与图形个数之间的变化规律即可求解； （2）先假设存在，根据列出方程求解，进而可得结论． 【解析】解：（1）根据题意，图n中有块阴影长方形，空白长方形有块， 故答案为：，，； （2）存在，理由如下： 假设存在空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块， 则． 整理，得，解得（舍去），． 即存在第6个图形中，空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块． ►题型05 一元二次方程根与系数的关系 例题5．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【解析】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 1.熟记一元二次方程根与系数的关系：；； 2.掌握根与系数的推广，例如：； 3.对所求代数式进行化简或降次，使出现根与系数的关系式。 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【解析】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后代入求值即可． 【解析】解：方程的两根分别为、， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知，是关于的一元二次方程两个实数根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由，是关于的一元二次方程两个实数根，得，，而，再代入求值即可． 【解析】解：∵，是关于的一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：2． 4．（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)m的取值范围是； (2)m的取值范围． 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式等知识点， （1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可； （2）求出，，再代入计算即可解答； 熟练掌握一元二次的根与系数的关系是解决此题的关键． 【解析】（1）方程 整理得， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 即m的取值范围是； （2）∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故m的取值范围． 命题点二 解分式方程 ►题型01 分式方程的概念 例题1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【解析】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 1.分母中含有未知数的方程称为分式方程； 2.判断分式方程时，注意不要约分； 1．下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程； 【解析】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程． 故选：B． 2．下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【解析】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 3．方程 、 、、中分式方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义﹣﹣分母里含有字母的方程叫做分式方程判断． 【解析】解：中的分母中不含表示未知数的字母；故不是分式方程； 、 、的方程分母中含未知数x，所以是分式方程． 故选：C． 4．下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【解析】①是整式方程，故①不符合题意； ②是整式方程，故②不符合题意； ③是整式方程，故③不符合题意； ④是分式方程，故④符合题意； ⑤是分式方程，故⑤符合题意； ⑥是分式方程，故⑥符合题意； ⑦是分式方程，故⑦符合题意； ⑧是整式方程，故⑧不符合题意； ⑨是分式方程，故⑨符合题意； 故答案为：④⑤⑥⑦⑨． ►题型02 分式方程的解法 例题2．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解析】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 1.现将分式方程两边都乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程； 2.解整式方程； 3.把方程的解代入最简公分母进行检验。 1.解分式方程时注意分式的分母不为0，一定要对方程的根进行检验； 2.在求与分式方程有关的参数时，也不能忽略分式的分母不为0； 1．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【解析】解：， ， ， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解， 故选：A． 2．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母． 【解析】解：方程两边同乘，得， 整理可得： 故选：A． 3．（2023·江苏苏州·一模）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解析】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即分式方程的解是． 4．（2024·陕西渭南·三模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握将分式方程化为整式方程，运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根的方法计算即可求解． 根据题意，等式两边同时乘以公分母，化为整式方程，再根据解整式方程的方法计算，注意要检验根是否符合题意． 【解析】解： 等式两边同时乘以公分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解 ． ►题型03 与分式方程有关的规律探究 例题3．（2024·宁夏吴忠·一模）观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解 ． 【答案】第n个方程为，其解为 【分析】本题主要考查了与分式方程有关的规律探索，观察可得规律，第n个方程左边的式子的分子为n，分母为，方程右边的式子，第一项分子为，分母为，第二项为，其解为，据此规律求解即可． 【解析】解：①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是； ……， 以此类推，可知，第n个方程为，其解为， 故答案为：第n个方程为，其解为． 1．（2024·安徽·二模）观察下列等式： ； ； ； (1)由此可推断：________； (2)根据上述规律，解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探究，解分式方程： （1）根据已有等式，推出结论即可； （2）方程左边裂项相加后，再解分式方程即可． 【解析】（1）解：由题意，可知：； 故答案为：； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：． 2．（2024·山东青岛·二模）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为，，，，以此类推．请回答下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)的值为______； (3)若（为正整数），则的值为______． 【答案】(1)6； (2) (3) 【分析】本题考查了图形的规律探究，解分式方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知， ，，计算求解即可； （2）由题意知，，，则，进而可得； （3）由题意知，，则，由，可得，计算求解，然后作答即可． 【解析】（1）解：由题意知，，，，， ∴， 故答案为：6，； （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即， 故答案为：； （3）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴， 解得，， 经检验是原分式方程的解，且符合要求； 故答案为：． 3．（2011·广东·中考模拟）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题． ，，，… (1) ． (2)探究 ．（用含有n的式子表示） (3)若的值为，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到规律，据此求解即可； （2）利用（1）的规律将各分数进行分解，进而化简求出答案； （3）仿照题意可得，进而分解各数，即可求解． 【解析】（1）解：， ， ， …… 以此类推可得， ∴ ， 故答案为：； （2）解： ； 故答案为：； （3）解： ． ∵的值为， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解 ∴． 4．（2022·贵州遵义·二模）阅读下列材料，完成探究与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，…． 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，…． 【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． (1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若，则①____，②______； 【运用】 (2)请用上述规律，解分式方程． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据阅读材料和探究材料可直接得出答案； （2）直接利用（1）中发现的规律解分式方程即可． 【解析】（1）解：小恒同学发现的规律为：已知a，b，c，d均不为0， 若，则①，②； 故答案为：； （2）解：， 从而可得：， ∴， ∴， ∴， 解得，， 经检验，都是原方程的解， 故原方程的解为，． 命题点三 一元二次方程、分式方程的应用 ►题型01 传播问题 例题1．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【解析】由题意得：， 故选：C． 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用字母表示出关键的量； 3.根据等量关系列出方程，并解方程。 4.注意分式方程要验根；一元二次方程有两个根，一定要结合实际情况，判断两根是否都满足条件。 5.传播问题一般比较简单，记住传播问题的公式直接套用就可以。 1．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B．10 C．7 D．9 【答案】B 【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可． 【解析】设有x支队伍，根据题意，得， 解方程，得x1=10，x2=-9（舍去）， 故选B． 2．（24-25九年级上·天津和平·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后共有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D 3．（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 【答案】一个人每节课手把手教会了6名同学 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解析】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：一个人每节课手把手教会了6名同学． 4．（2023·安徽六安·三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． 【答案】每轮每人传染的人数为15人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程并解答是解题关键．设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染后有人患病，第二轮传染后有人患病，据此列出方程求解即可 【解析】解：设每人每轮传染的人数为x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴每轮每人传染的人数为15人． ►题型02 增长率问题 例题2．（2023·辽宁大连·中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 【答案】 【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得． 【解析】解：设年买书资金的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：年买书资金的平均增长率为． 1.增长率问题的模板： 2.表示增长（降低）之前的量，表示增长（降低）之后的量；表示平均增长率（降低率）。 1．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【解析】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 2．（2024·安徽·模拟预测）今年“五一”假期期间，合肥骆岗公园举办了大型电音节等活动，由此带来旅游热潮，引发酒店预订热．据统计，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日这三天累计入住608人次，求该酒店入住人次的日平均增长率． 【答案】该酒店入住人次的日平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该酒店入住人次的日平均增长率为，则5月2日入住人次，5月3日入住人次，根据该酒店1日、2日、3日这三天累计入住608人次，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解析】设日平均增长率为． 根据题意，得： 解得：，（不合题意，舍去） 答：该酒店入住人次的日平均增长率为． 3．（2024·安徽淮北·三模）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在淘宝上对一款标价为元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为元/件，并且两次降价的百分率相同．求该商品每次降价的百分率． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设每次降价的百分率为x，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【解析】解：设每次降价的百分率为x， 依题意得，， ∴， 或， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 4．（2024·安徽阜阳·三模）某健身达人今年2月份在网上开通直播分享健身经验和健康饮食，吸引了大批粉丝．2月份新增关注人数为10万人，4月份新增关注人数为万人． (1)求2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率； (2)如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人？ 【答案】(1)2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率为 (2)6月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人 【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． （1）设新增关注人数的月平均增长率为x，根据“2月份新增关注人数为10万人，4月份新增关注人数为万人”列出方程求解即可； （2）根据（1）中求出的增长率，分别求出后面几个月的新增关注人数即可解答． 【解析】（1）解：设新增关注人数的月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， 答：2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率为． （2）解：5月份新增关注人数为：（万人）， 6月份新增关注人数为：（万人）， 答：6月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人． ►题型03 行程和工程问题 例题3．（2021·安徽宣城·一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【解析】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 1．（2023·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【解析】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 2．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【解析】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 3．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【解析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 4．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解析】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． ►题型04 营销问题 例题4．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【解析】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 1．（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 【答案】(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元 (2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；② 【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意列一元一次方程即可求解； （2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解； ②根据销售额=销售单价销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值． 【解析】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元， 依题意得， 解得； 则； 所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元； （2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元， 依题意得，解得， 所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元； ②依题意得， 解得或， ， ∴， ． 2．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？ 【答案】下调后每辆汽车的售价为21万元． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设下调后每辆汽车的售价万元，售价降低万元，则平均每周多售出辆，根据总利润=每辆汽车的销售利润×销售量建立方程，求解即可 【解析】解：设下调后每辆汽车的售价万元，每辆汽车的销售利润为万元时， ， 整理可得：，解得：，， 因为要尽量让利顾客，所以． 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 3．（2024·安徽亳州·二模）“七夕节”，又名乞巧节、女儿节，是中国的传统节日，也被称为中国的情人节．某商家在“七夕节”当天对某商品进行打折促销活动，原本销售一件商品成本为元，网上标价元．一周可售出件．活动这天该网店先将该商品网上标价提高，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，当天卖出的该商品数量也比原来一周卖出的商品数量增加了，这样活动当天网店的利润达到了万元，求该网店在购物活动这天的网上标价为多少？ 【答案】该网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据总利润每件的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出的值，再将其代入中即可求出结论，读懂题意，列出等量关系是解题的关键． 【解析】根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴（元）， 答：该网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为元． 4．（2024·安徽宿州·一模）某商场经销一种儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是50元，规定销售时单价不能低于进价，每件的售价不能超过70元．试销过程中发现：销售单价是60元时，月销售量是400件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件.设每件玩具的单价上涨x（元）时，月销售量为y（件）． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件玩具的单价上涨多少元时，每月能获得的利润恰好是5250元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，解答时正确列出一元二次方程是关键． （1）根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式； （2）把代入（1）的解析式就可以求出结论； 【解析】（1）解：由题意得： ∵每件的售价不能超过70元 ∴（元） 故y与x的函数关系式为：； （2）解：由题意，解方程 解这个方程得：（舍去） 所以，每件玩具的销售单价为5元时，每月能获得的利润恰好是5250元； ►题型05 动态几何问题 例题5．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)不会达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由三角形的面积公式可求解； 设点移动经过秒，的面积为，列出方程可求解； 列出方程，由，可得的面积不会达到． 【解析】（1）解：当点移动时间为秒时，，， ∴， ∴的面积； （2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ∴或， 答∶点移动经过秒或秒，的面积为； （3）解：的面积不会达到．理由如下∶ 设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不会达到． 1．（2024·甘肃武威·二模）如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？ 【答案】秒或秒 【分析】可设运动秒时，它们相距，根据题意表示出，的长，再根据勾股定理列出方程求解即可． 本题主要考查了勾股定理与一元二次方程，根据勾股定理列出关于的方程及正确求得方程的解是解决本题的关键． 【解析】解：设运动秒时，它们相距，则，，依题意有 ， 解得，． 故运动秒或秒时，它们相距． 2．（2022·安徽·模拟预测）如图1，在等腰中，，动点从点A出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为与之间关系的图象如图2所示，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论．设，分两种情况：①当点在上运动，即时，②当点运动到点时，点恰好运动到点，当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，分别求出函数关系式，根据时，，列出方程，求出，（舍去），得出的长是即可． 【解析】解：设． ①当点在上运动，即时，由题意知： ， ， ∵在等腰中，， ， ， ∴， ，其函数图象为抛物线对称轴（轴）右侧的一部分； ②当点运动到点时，点恰好运动到点，如图，    当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，， ， 由图2知，当时，， ， 解得，（舍去）， 的长是． 故选：C． 3．（2022·广东湛江·三模）在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒． (1)求为多少秒时，的面积为为 (2)当为多少时，以点为顶点的三角形与相似. 【答案】(1)当为或秒时，的面积为为. (2)或时，以点、、为顶点的三角形与相似 【分析】（1）根据路程速度时间可知，，，再根据三角形的面积公式列方程即可解答； （2）根据根据路程速度时间可知，，，再根据相似三角形的性质列方程即可解答． 【解析】（1）解：设运动时间为t秒， ∵点P的速度是，点Q的速度是， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积为， 即， 解得： ，, ∴当为或秒时，的面积为为； （2）解：设运动时间为秒， ∵点的速度是，点的速度是， ∴，， ∵， ∴， ①当时， ∴， 即， 解得； ②当时， ∴， 即， 解得． ∴或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 4．（2022·广东湛江·一模）如图，在矩形中，，，动点分别从点 同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动．设移动的时间为． (1)当为何值时，两点的距离最小？最小距离是多少？ (2)当为何值时，两点的距离是 ？ 【答案】(1)当时，最小，的最小值为 (2)当或时，两点的距离是 【分析】（1）根据矩形的性质及垂直的定义可知四边形是矩形，再根据路程速度时间列方程解方程即可解答； （2）根据矩形的性质及垂直的定义可知四边形是矩形，再根据路程速度时间及勾股定理列方程解方程即可解答． 【解析】（1）解：∵在矩形中， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点以的速度向点移动， ∴， ∵点以的速度向点移动， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴当时，最小， 的最小值为，    （2）解：过点作，垂足为， ∴， ∵在矩形中， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵点以的速度向点移动， ∴， ∵点以的速度向点移动， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 解得， ， ∵， ∴ 当时，， 当时，， ∴两个解都符合实际 答：当或时，两点的距离是．    05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·安徽合肥·三模）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式即可求出答案． 【解析】解：由题意可知：当时，， ∴， 当时，原方程是一元一次方程，有实数根， ∴ 故选：C． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．先根据得出的取值范围，根据是方程的一个实数根，可得，整体代入，可得的取值范围． 【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 是方程的一个实数根， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（2024·安徽宣城·三模）某市2022年有人口a万人，2023年人口增长率大约为，预计2024年人口增长率为，若设2023、2024年的平均增长率为x，则（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得等量关系为：2012年的人口数增长率）年的人口数，把相关数值代入即可列出方程． 【解析】解：依题意得， 整理，得 ， ， ． 故选：C． 4．（2024·安徽六安·一模）关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可． 【解析】解：根据题意得， 解得：． 故选：B． 5．（2024·安徽淮南·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为非负整数，则符合条件的的个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到确定取值范围，结合k为非负整数，求解即可． 【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵k为非负整数， ∴， 故选：B． 6．（2024·安徽安庆·三模）已知代数式和的值互为相反数，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，先根据代数式和的值互为相反数，建立分式方程，然后 解分式方程的步骤进行解方程，注意要验根，即可作答． 【解析】解：根据题意，， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 故x的值为． 故选：A． 7．（2024·安徽·模拟预测）某班共买了铅笔和橡皮两种文具．已知每种文具各花了60元，铅笔比橡皮少10个，铅笔单价是橡皮的1.5倍．若设橡皮的单价为元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程，设橡皮的单价为元，则铅笔单价为元，根据“每种文具各花了60元，铅笔比橡皮少10个”进行列式，即可作答． 【解析】解：设橡皮的单价为元，则铅笔单价为元， 依题意，得出， 故选：B． 8．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 经检验是该方程的解， 故选：D． 9．（2022·安徽·二模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周2800件提高到4000件，平均每人每周比原来多投递40件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，根据公司投递快件的能力由每周2800件提高到4000件，平均每人每周比原来多投递40件，快递公司的快递员人数不变列分式方程解答． 【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，由题意得 ， 故选：D． 10．（2024·河北秦皇岛·一模）秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程即可． 【解析】解：根据图可知：， 即， 故选：A． 11．（2013·江苏扬州·一模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，进行因式分解，再进行计算即可． 【解析】解：， ∴； 故答案为：． 12．（2023·四川甘孜·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【解析】解：根据题意得， 解得． 故答案为4． 13．（2024·安徽六安·模拟预测）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【解析】∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．（2024·安徽宿州·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数可取的最小整数值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可． 【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即，解得： ∴k的最小整数值为． 故答案为：． 15．（2024·安徽滁州·一模）若，则代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值．先对已知去分母变形，得到，再对所求式子变形为，整体代入即可求解． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 16．（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于的方程：有增根，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解． 【解析】解∶方程两边同乘以，得， 整理得， ∵原方程有增根， ∴， ∴， 当时， ，解得； 当时， ，解得； ∴a的值为或， 故答案为：或． 17．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）（1）解方程：（公式法） （2）解方程：（配方法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）利用解一元二次方程---公式法进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程---配方法进行计算即可解答． 【解析】解：（1）， ， ∵ ， ∴， ∴，； （2）， ， ， ， ， ， 或， ∴， 18．（2024·青海西宁·三模）解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【解析】解： 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即原分式方程无解． 19．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【解析】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 20．（2024·湖北随州·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再由，，可得，据此求解即可． 【解析】（1）证明：由题意得，． ∴该方程总有实数根； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 21．（2024·广东·模拟预测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【答案】(1)甲单价为55元，乙单价为50元 (2)40个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解析】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元． （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． 答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器． 22．（2024·重庆南岸·模拟预测）某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 【答案】(1)纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元 (2)每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元 【分析】本题考查了一元一次方程和分式方程的实际应用． （1）设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元，根据花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯，列出方程求解即可； （2）设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元，根据骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个列出分式方程求解，检验即可． 【解析】（1）解：设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元， 由题意： 解得： 元 答：纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元． （2）解：设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元， 由题意：，解得 经检验，为所列方程的根且符合题意． 元 答：每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元． 23．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解析】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 能力提升 1．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【解析】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 2．（2024·广东·模拟预测）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根； (3)已知两个不相等的实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查解一元二次方程及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． （1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【解析】（1）解：由题意，将代入，得， ． 黄金分割数大于0， 黄金分割数为； （2）证明：， ． ． 又， 是一元二次方程的两个根； （3）解：由题意，令①，②， ①②得， ． ①②得． 为两个不相等的实数， ． ， ， 又， ． ， ， ． 3．（2023·河北衡水·模拟预测）某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元． (1)嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：．” 请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； (2)该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．” ①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由； ②试分析指出采纳谁的意见更合适． 【答案】(1)嘉嘉的说法不正确，理由见解析； (2)①两人的说法都正确，理由见解析；②采取王经理的意见，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程中的销售问题， 一元二次方程的应用，掌握利润、售价、进价之间的关系是解题的关键． （1）根据已知的方程可求出具体降价金额， 从而可求出售价， 将售价与进价比较即可求解； （2）①根据题意列出方程，整理得到，求解即可得出结论； ②从增加销售量可以减少库存，可得结论． 【解析】（1）解：嘉嘉的说法不正确，理由如下： ， 解得：， 元， ∵15元16元， ∴亏本， ∴小宇的说法不正确． （2）解：①两人的说法都正确，理由如下： 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴降价元或元都能达到期望目标， ∴两人的说法都正确； ②由于增加销售量可以减少库存， ∴应采取王经理的意见． 4．（2024·山东日照·二模）我们知道，对于关于x的一元二次方程，如果该方程有两个实数根和，那么这两个根与方程的系数之间满足以下关系：①；②．此外，根与方程的系数的关系还可以推广到一元n次方程：对于方程，其中是方程的n个实数根，其中所有根的和为；所有根的积为，请结合上述材料，解答下列问题： (1)方程的一个实数根是，则________；方程的两个根，，则第三个根________． (2)若m，n是关于x的一元二次方程两个实数根，且m，n满足，求k的值． (3)在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数（，）图象的两个交点A、B的横坐标分别是、，设的面积是S．当t取何值时，S有最大值． 【答案】(1)，2 (2)4 (3) 【分析】（1）由，可得，计算求解即可；由，可得，计算求解即可； （2）由题意知，，，则，整理得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可知，则反比例函数图象在第一、三象限，如图，设一次函数与轴的交点为，则，联立得，整理得，，则，，，由，可得，当时，，求最大值；当时，，求最大值，然后判断作答即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：，2； （2）解：由题意知，，， ∴，整理得，， ∴， 解得，（此时方程无解，舍去）或； ∴的值为4； （3）解：∵， ∴，反比例函数图象在第一、三象限， 如图，设一次函数与轴的交点为，则， 联立，得，整理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，； 综上所述，当时，有最大值4． $$