5.1 从实际问题到方程（6大题型提分练）（题型专练）数学新教材华东师大版七年级下册

第5章 一元一次方程 5.1 从实际问题到方程（6大题型提分练） 知识点一. 等式的定义 用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。 温馨提示： ① 等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。 ② 不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。如才是等式。 知识点二 等式的性质 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果，那么。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即如果，那么；如果，那么。 知识点三 方程 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。 温馨提示： 方程有两层含义： ① 方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。 ② 方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。如。 2. 方程与等式的区别与联系 概念及其特点 区别 联系 方程 含有未知数的等式叫做方程。一个式子是方程，要满足两个条件：一是等式，二含有未知数。 方程一定是等式，并且是含有未知数的等式。 方程是特殊的等式。 等式 用等号来表示相等关系的式子叫做等式。等式的主体是相等关系。 等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数。 方程和等式的关系式从属关系，且有不可逆性。 3. 方程的解与解方程 内容 实质 方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 具体的数值 解方程 求方程的解的过程叫做解方程 变形的过程 温馨提示： ① 检验一个数是否是方程的解，只要用这个数代替方程中的未知数，如果方程两边的值相等，那么这个数就是方程的解；如果不相等，这个数就不是方程的解。 ② 方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。 ③ 等式的基本性质是解方程的依据。 ④ 方程的解是结果，而解方程是得到这个结果的一个过程。 题型一 方程的解 1．（2024七年级上·全国·专题练习）是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程解的定义，根据一元一次方程解的定义“使一元一次方程等式成立的未知数的值叫一元一次方程的解”，将代入选项中的一元一次方程验证即可得到答案，熟记一元一次方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、将代入，可知，不是方程的解，不符合题意； B、将代入，可知，是方程的解，符合题意； C、将代入，可知，不是方程的解，不符合题意； D、将代入，可知，不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式． 【详解】、是一元一次方程，符合题意； 、中等号左边不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 、不是等式，则不是方程，不符合题意； 、是二元一次方程，不符合题意； 故选：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）是方程的解，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，把代入方程中，求出的值，根据绝对值的定义，得出m的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 则． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，根据题意可得，且． 【详解】根据题意，得 可得 根据题意，得 可得 所以， 故答案为： 5．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）是方程的解吗？ （2）是方程的解吗？ 【答案】（1）不是，是；（2）不是，是 【分析】本题主要考查方程解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． （1）分别将代入方程，看是否符合方程解得定义即可解答； （2）分别将代入方程，看是否符合方程解得定义即可解答． 【详解】解：（1）当时，方程的左边，右边，方程左，右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 当时，方程的左边，右边，方程左、有两边的值相等， 所以是方程的解． （2）当时，方程的左边，右边，方程左，右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． 题型二 一元一次方程的定义 1．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是关于x的一元一次方程，则a是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：：依题意可知：且 解得：且， 所以， 故选：D． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键：含有未知数的等式叫做方程，方程的定义有两层含义：方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必有若干个待确定的数，即未知的字母，这些字母就是未知数．方程与等式的区别与联系如下： 概念及其特点 区别 联系 方程 含有未知数的等式叫做方程．一个式子是方程，要满足两个条件：一是等式，二是含有未知数 方程一定是等式，并且是含有未知数的等式 方程是特殊的等式 等式 用等号来表示相等关系的式子叫做等式．等式的主体是相等关系 等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数 方程和等式的关系是从属关系，且有不可逆性 根据方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：是方程； 是不等式，不是方程； 是方程； 是方程； 可化简为，化简后不含有未知数，不是方程； 是方程； 是方程，共个， 故选：． 3．（22-23七年级上·北京昌平·期末）若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， 解得 故答案为：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值， 根据一元一次方程的定义列出，，即可求出m的值．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 【答案】(1) (2)，不是方程的解；是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0是关键． （1）根据一元一次方程的定义，x的二次项系数是0，且一次项系数不等于0，据此即可求得m的值； （2）把m的值代入求得方程，然后把每个解代入方程中，如果使方程左右两边相等，这是方程的解，否则不是方程的解． 【详解】（1）解：由题意，得，， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为，所以方程为，即． 把代入方程得，则不是方程的解； 把代入方程得，则是方程的解； 把代入方程得，则不是方程的解． 题型三 判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·四川广安·阶段练习）下列式子不是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．方程就是含有未知数的等式，依据定义即可判断． 【详解】解：A、不是方程，故本选项符合题意； B、符合方程的定义，故本选项不符合题意； C、符合方程的定义，故本选项符合题意； D、符合方程的定义，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据式的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：A．若，则，故不正确；     B．若，当时，则，故不正确； C．若，则，正确；     D．若，则，故不正确； 故选C． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦．其中 是方程， 是一元一次方程． 【答案】 ②④⑤⑦ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查了方程的定义以及一元一次方程的定义，正确理解方程的定义和一元一次方程的定义是解决问题的关键．含有未知数的等式叫方程；若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程． 【详解】解：根据方程的定义得：②④⑤⑦是方程， 根据一元一次方程的定义得：④⑤是一元一次方程. 故答案为：②④⑤⑦；④⑤． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 题型四 列方程 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为x，，面积为6， 则， 故选：D． 2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式性质，方程的移项等．根据题意逐一对选项进行分析即可求出本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即A选项不正确， ∴，即B正确， ∴，即C选项不正确， ∴，即D选项不正确， 故选：B． 3．（24-25七年级上·四川广安·阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x少3”可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程即可． 【详解】解：依题意，得 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列方程，找到等量关系是本题关键． （1）根据全校人数女生人数，女生人数—男生人数＝80建立等量关系即可； （2）根据扩大部分面积为5x，通过原来面积加上扩大部分面积等于现在总面积可建立等量关系． 【详解】（1）设这所学校的学生数为，那么女生数为， 男生数为． 根据“女生比男生多80人”， 列得方程． （2）设正方形绿地的边长为m， 扩大部分面积为：5x 那么扩大后的绿地面积为． 根据“扩大后的绿地面积是”． 列得方程． 题型五 等式的性质1 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由，应得，故原变形错误，不符合题意； B、由，应得，故原变形错误，不符合题意； C、由，得，变形正确，符合题意； D、由，应得，故原变形错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则等式两边同时加上c，可得，故本选项的变形正确，不符合题意； B、若，则等式两边同时乘，可得，故本选项的变形正确，不符合题意； C、若，则等式两边同时除以c，可得，故本选项的变形错误，符合题意； D、若，则等式两边同时乘，可得，故本选项的变形正确，不符合题意； 故选：C ． 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）由，得到的依据是 ． 【答案】等式性质一 【分析】此题考查了等式的性质，熟悉掌握等式的性质是解答本题的关键． 根据等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个式子，等式仍成立可求解． 【详解】由，得到的依据是等式性质一． 故答案为：等式性质一． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）填写下列各等式变形的依据及方法： （1）若，则，应用的是等式的性质 ，变形的方法是 ． （2）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是 ． 【答案】 【分析】题目考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的性质1，2是解题的关键． （1）中应用的是等式的性质1； （2）中应用的是等式的性质2． 【详解】（1）若，则，应用的是等式的性质1，变形的方法是． 故答案为：，． （2）若，则，应用的是等式的性质，变形的方法是． 故答案为：，，． 5．（2024七年级上·吉林·专题练习）利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质． （1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】（1） 两边加5，得， 解得． （2）， 两边除以，得， 解得． （3） 两边减2，得， ， 两边除以，得， 得． （4）， 两边加2，得， ， 两边除以4，， 解得． 题型六 等式的性质2 1．（23-24七年级上·山东日照·期末）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、如果，那么，因此选项不符合题意； 、如果，那么，因此选项符合题意； 、如果，，那么，因此选项不符合题意； 、如果，那么，因此选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）若是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：D． 3．（2024七年级上·吉林·专题练习）有下列变形：若，则；若，则；若，则；若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，解决本题的关键是根据等式的两边同时乘以同一个数或除以同一个不为的数等式仍成立进行判断． 【详解】解：若，根据等式的基本性质可得：，故正确； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若，则，根据等式的基本性质成立，故正确． 故答案为： ． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是 ．（写编号） ①几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数； ②已知为有理数，若，则； ③已知为有理数，若，则； ④已知为有理数，若，则． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查多个有理数的乘法、绝对值的性质及等式的性质，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多个有理数的乘法、绝对值的性质及有理数除法的运算法则逐一判断即可得答案． 【详解】解：几个不等于的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故①说法错误， ∵， ∴ ∴已知为有理数，若，则，故②说法正确， 已知为有理数，若，则或；故③说法错误， ∵， ∴已知为有理数，若，则说法正确，故④说法正确， ∴正确的说法为②④． 故答案为：②④ 5．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了利用分数的运算解方程． （1）先根据乘法分配律化简方程，再把方程两边同时除以求解； （2）先计算，再把方程两边同时乘以求解； （3）先整理左面的部分，方程两边先同时除以求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，根据一元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵是关于y的一元一次方程， ∴， 解得：． 故选：C． 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，“含有未知数的等式叫做方程”，据此可得答案． 【详解】解：根据方程的定义可知，四个选项中只有D选项中的式子是方程， 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义， 根据数学语言转化为等式即可得解． 【详解】解：设某数为x，则某数的相反数为， 根据题意，则， 故选：A． 4．（24-25七年级上·北京·期中）下列变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变，等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果不变，可得答案． 【详解】解：．若，则，原变形正确，故该选项不符合题意； ．若，则，原变形正确，故该选项不符合题意； ．若，则，原变形正确，故该选项不符合题意； ．若，则，原变形错误，故该选项符合题意． 故选：D． 5．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）在0，，，中，属于单项式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的识别，理解单项式的定义是解题的关键．根据单项式的定义逐个分析判断即可． 【详解】在0，，，中， 属于单项式的有0，，共3个， 故选：C． 6．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习） ．（填“是”或“不是”）方程的解． 【答案】是 【分析】本题考查方程的解，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把代入方程的左边，判断等式是否仍然成立即可． 【详解】解：把代入方程 左边， 右边 左边=右边 所以是方程的解 故答案为：是 7．（天津市河东区2024-2025年七年级上学期期末考试数学试题）若是关于x的一元一次方程，则 ， 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值的性质，根据一元一次方程的定义，即含有一个未知数，并且未知数次数为1的整式方程计算即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·天津·阶段练习）在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为 （填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②不含未知数，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤不是等式，不是方程； 故是方程的为③④． 故答案为：③④ 9．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）用等式表示“a的3倍与4的差等于5”为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列方程，根据等量关系列出等式即可，解题的关键是理解题意． 【详解】解：用等式表示“a的3倍与4的差等于5”为． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则m的值为 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据未知数的次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：2． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）检验下列各数是不是方程的解． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查了方程的解． （1）将代入，看左边是否等于右边，即可判断； （2）将代入，看左边是否等于右边，即可判断； （3）将代入，看左边是否等于右边，即可判断． 【详解】（1）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是方程的解； （2）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以是方程的解； （3）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是方程的解． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）是方程的解吗？ 【答案】不是方程的解；是方程的解 【分析】本题主要考查方程解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 分别将代入方程，看是否符合方程解的定义即可解答． 【详解】解：当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值不相等，所以不是方程的解； 当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值相等，所以是方程的解． 13．（2022七年级上·全国·专题练习）下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ ①3a+4；②x+2y＝8；③5－3＝2；④；⑤y＝10；⑥；⑦3y2+y＝0；⑧2a2－3a2；⑨3a＜－2a． 【答案】等式有：②③④⑤⑥⑦；方程有：②④⑤⑥⑦． 【分析】根据等式及方程的定义进行判断即可． 【详解】解：由等式的定义“含有等号的式子叫做等式”可知，等式有：②③④⑤⑥⑦； 由方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”可知，方程有：②④⑤⑥⑦． 【点睛】本题考查了等式及方程的判断，熟练掌握等式和方程的定义是解题的关键． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列等式，找到对应的等量关系是关键． （1）根据题意列出相应的等式即可； （2）根据题意和图示列出相应的等式即可； （3）根据图示列出相应的等式即可． 【详解】（1）解：根据题意列出等式为：； （2）解：根据题意列出等式为：； （3）解：根据长方形面积和图示，列出的等式为． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 【答案】(1)，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 (2)5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等 (3)，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等 (4)2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【详解】（1）解：如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）解：如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 3 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程 5.1 从实际问题到方程（6大题型提分练） 知识点一. 等式的定义 用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。 温馨提示： ① 等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。 ② 不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。如才是等式。 知识点二 等式的性质 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果，那么。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即如果，那么；如果，那么。 知识点三 方程 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。 温馨提示： 方程有两层含义： ① 方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。 ② 方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。如。 2. 方程与等式的区别与联系 概念及其特点 区别 联系 方程 含有未知数的等式叫做方程。一个式子是方程，要满足两个条件：一是等式，二含有未知数。 方程一定是等式，并且是含有未知数的等式。 方程是特殊的等式。 等式 用等号来表示相等关系的式子叫做等式。等式的主体是相等关系。 等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数。 方程和等式的关系式从属关系，且有不可逆性。 3. 方程的解与解方程 内容 实质 方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 具体的数值 解方程 求方程的解的过程叫做解方程 变形的过程 温馨提示： ① 检验一个数是否是方程的解，只要用这个数代替方程中的未知数，如果方程两边的值相等，那么这个数就是方程的解；如果不相等，这个数就不是方程的解。 ② 方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。 ③ 等式的基本性质是解方程的依据。 ④ 方程的解是结果，而解方程是得到这个结果的一个过程。 题型一 方程的解 1．（2024七年级上·全国·专题练习）是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）是方程的解，那么 ． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）是方程的解吗？ （2）是方程的解吗？ 题型二 一元一次方程的定义 1．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是关于x的一元一次方程，则a是（   ） A． B． C．3 D． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（22-23七年级上·北京昌平·期末）若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）关于x的方程是一元一次方程，则 ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 题型三 判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·四川广安·阶段练习）下列式子不是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦．其中 是方程， 是一元一次方程． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型四 列方程 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·四川广安·阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x少3”可列方程 ． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 题型五 等式的性质1 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）由，得到的依据是 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）填写下列各等式变形的依据及方法： （1）若，则，应用的是等式的性质 ，变形的方法是 ． （2）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是 ． 5．（2024七年级上·吉林·专题练习）利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 题型六 等式的性质2 1．（23-24七年级上·山东日照·期末）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）若是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2024七年级上·吉林·专题练习）有下列变形：若，则；若，则；若，则；若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是 ．（写编号） ①几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数； ②已知为有理数，若，则； ③已知为有理数，若，则； ④已知为有理数，若，则． 5．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·北京·期中）下列变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）在0，，，中，属于单项式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习） ．（填“是”或“不是”）方程的解． 7．（天津市河东区2024-2025年七年级上学期期末考试数学试题）若是关于x的一元一次方程，则 ， 8．（24-25七年级上·天津·阶段练习）在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为 （填序号）． 9．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）用等式表示“a的3倍与4的差等于5”为 ． 10．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则m的值为 11．（2024七年级上·全国·专题练习）检验下列各数是不是方程的解． (1) ； (2) ； (3) ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）是方程的解吗？ 13．（2022七年级上·全国·专题练习）下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ ①3a+4；②x+2y＝8；③5－3＝2；④；⑤y＝10；⑥；⑦3y2+y＝0；⑧2a2－3a2；⑨3a＜－2a． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$