5.3 实践与探索（14大题型提分练）（题型专练）数学新教材华东师大版七年级下册

第5章 一元一次方程 5.3 实践与探索（14大题型提分练） 知识点一 列一元一次方程解应用题： (1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. (2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中 相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础 知识点二 解一元一次方程应用题的方法： (1)认真审题 (审题) (2)分析已知和未知量 (3)找一个合适的等量关系 (4)设一个恰当的未知数 (5)列出合理的方程(列式) (6)解出方程(解题) (7)检验 (8)写出答案(作答) 一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题，相遇问题、逆流顺流问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。 题型一 配套问题(一元一次方程的应用) 1．（2024七年级上·云南·专题练习）某工厂有22人，每名工人每天可加工3张桌子或10把椅子，1张桌子与4把椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套，且没有剩余，若设安排名工人加工桌子，则根据题意可列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，若每天做的桌子和椅子完整配套，则名工人加工的椅子数是名工人加工的桌子数的4倍，由此列方程即可． 【详解】解：由题意知， 即， 故选A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）新型冠状肺炎疫情在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有40名工人，每人每天可生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个口罩面需要两根耳绳，为使每天生产的口罩面与耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？（　　） A．15人 B．20人 C．14人 D．30人 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设应安排x名工人生产口罩面，则安排名工人生产耳绳，利用生产耳绳的总数量是生产口罩面总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应安排x名工人生产口罩面，则安排名工人生产耳绳， 根据题意得：， 解得：， ∴应安排15名工人生产口罩面． 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）用张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面个或底面个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设用x张彩纸制作圆柱侧面，则可列一元一次方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据题意可知等量关系为：侧面的数量的2倍等于底面的数量，据此可列出一元一次方程． 【详解】解：设把x张彩纸制作圆柱侧面，则有张纸作圆柱底面， 根据题意可得： 故答案为：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）社会劳动情境·加工生产 某服装厂加工车间有工人54人，每人每天可以加工上衣8件或裤子10条，为使每天生产的上衣和裤子配套，应分配 人生产上衣， 人生产裤子． 【答案】 30 24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．设安排x人生产上衣，人生产裤子，根据每天生产的上衣和裤子配套列方程求解即可． 【详解】解：设安排x人生产上衣，人生产裤子， 根据题意，得， 解得， 则（人）． 故答案为：30，24． 5．（23-24七年级上·重庆大渡口·期末）某工厂一车间有40名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务．每个工人每天能加工甲种零件15个，或加工乙种零件25个． (1)若一辆轿车只需要甲零件1个和乙零件1个使每天能配套生产轿车，问应安排多少工人加工甲种零件？ (2)若一辆轿车需要甲零件3个和乙零件5个使每天能配套生产轿车，若加工一件甲种零件加工费为10元，加工一件乙种零件加工费为12元，若40名工人正好使得每天加工零件能配套生产轿车，求一天这40名工人所得加工费一共多少元？ 【答案】(1)25 (2)9000 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）设应安排人加工甲零件，则人加工乙零件，由题意列出方程求解即可； （2）设应安排人加工甲零件，则人加工乙零件，根据3个甲种型号的零件和5个乙种型号的零件可搭配成一套列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设应安排人加工甲零件，则人加工乙零件， ， ， ， ． 答：应安排25人加工甲种零件； （2）设应安排人加工甲零件，则人加工乙零件， ， ， ， ， ． ． 答：一天这40名工人所得加工费为9000元． 题型二 工程问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，设每个房间地面面积，根据一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修，可得方程；设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修，根据每个房间的装修面积为：，，可得方程，从而可得答案． 【详解】解：设每个房间地面面积， ∵每一天名熟练的装修工人可装修间房，结果还剩未能装修， ∴一个熟练工人每天装修， ∵每一天名初级装修工人除了能装修间房以外，还可以多装修， ∴一个初级装修工人每天装修， ∵一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修， ∴； 设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修， ∴每个房间的装修面积为：或 ∴； ∴②③正确， 故选：D． 2．（24-25七年级上·吉林四平·期末）一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后甲、乙两人合作天完成这项工程，根据题意下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙两人合作天完成这项工程，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙两人合作天完成这项工程， 由题意得，， 故选：． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）检修一台机器，甲、乙两组单独检修分别需4小时、6小时完成，如果甲组先检修1小时，然后两组合作，还需几小时才能完成这台机器的检修任务？设两组合作还需小时才能完成这台机器的检修任务，根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据甲单独完成的工作量+甲、乙合作完成的工作量，列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海·期末）甲、乙两人共同加工零件270个，甲每小时加工零件10个，乙每小时加工零件15个，甲比乙多用2小时，求甲用了几小时．如果设甲用了x小时，那么可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程是实际应用，设甲用了x小时，则乙用了小时，根据甲、乙两人共同加工零件270个，甲每小时加工零件10个，乙每小时加工零件15个，列出方程即可． 【详解】解：设甲用了x小时，则乙用了小时， 根据题意：， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·广东清远·期末）思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 【答案】(1)思行中学一共有个教室 (2)甲工程队共粉刷天 (3)选择方案一是最省钱的粉刷方案 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设乙工程队要刷天，根据题意房间数量列出方程，再解即可； （2）设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天，根据两队共粉刷间教室列出方程，再解即可； （3）分别计算出三种方案的费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设乙工程队要刷天，则思行中学一共有个教室， 由题意得：， 解得：， ， 答：思行中学一共有个教室； （2）解：设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队共粉刷天； （3）解：方案一：由甲工程队单独完成需（天）， 费用为（元）； 方案二：由乙工程队单独完成需要天， 费用为（元）； 方案三：按（2）方式完成， 费用为（元）， ， 方案一最合适， 答：选择方案一是最省钱的粉刷方案． 题型三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 1．（2024七年级上·全国·专题练习）惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，结账时发现商场推出一种优惠卡，优惠方案：卡售价50元，购物打八折，惠怡妈妈掐指一算，发现使用优惠卡后可以少付10元．则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键理解：“卡售价50元，购物打八折，发现使用优惠卡后可以少付10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解即可． 【详解】解：惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，则有：． 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）一家商店将某种服装按成本价提高标价，又以折优惠卖出，结果每件服装仍可获利元，则这种服装每件的成本价是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这种服装每件的成本价为元，根据成本价成本价利润列出方程，解方程就可以求出成本价．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【详解】解：设这种服装每件的成本价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：这种服装每件的成本为元． 故选：D． 3．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）商店进了一批钢笔，用零售价元卖出支与用零售价元卖出支的利润相同，这批钢笔的进货价是每支 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这批钢笔的进货价是每支元，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这批钢笔的进货价是每支元， 由题意得，， 解得， ∴这批钢笔的进货价是每支元， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）某商品标价为元/件，按标价打八折出售时每件仍可获利，该商品的成本价为每件 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用−销售问题，正确理解题意是解题的关键．设每件商品的成本价为元，根据题意列一元一次方程求解． 【详解】解：设每件商品的成本价为元，由题意得： ， 解得． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/本） 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ 【答案】(1)甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元； (2)甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，准确找到等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元”，列出方程即可； （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，结合“购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元”，列出方程求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ， 答：甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元． （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本， 由题意得，， 解得：， ， 答：甲类书刊购进350本，则乙类书刊购进450本． 题型四 比赛积分(一元一次方程的应用) 1．（2024六年级上·上海·专题练习）一次足球比赛，每队均赛15场，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，某队所胜场数是所负场数的2倍，得了19分，则负的场数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设某队负的场数为场，则所胜场数为场，平场数为场，根据该队得了19分列出方程求解即可． 【详解】解：设某队负的场数为场，则所胜场数为场，平场数为场，即场， 根据题意得，， 解得， 答：负的场数为4场． 故选：D． 2．（2024七年级上·云南·专题练习）某校七年级举行“数学头脑风暴竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，考生李华的成绩为82分，则他答对了（   ）道题． A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，设他答对了x道题，则答错了道题，，进而表示出得分列出方程，进而求出即可． 【详解】解：设他答对了x道题，则答错了道题， 根据题意可得：， 解得：， 故选：B． 3．（2024六年级上·上海·专题练习）学校组织了一次知识竞赛，共有25道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明得了85分，那么他答对的题数是 道． 【答案】20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小明答对了道题，则答错或不答道题，利用总分答对题目数答错或不答题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解得：， 小明答对了20道题． 故答案为：20． 4．（24-25七年级上·陕西安康·期末）实验中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分．七（1）班参加12场比赛始终保持不败的记录，共积19分，则七（1）班胜了 场．（列一元一次方程求解） 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设七（1）班胜了场，则平了场，根据积分规则建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设七（1）班胜了场，则平了场， 由题意得：， 解得， 故答案为：7． 5．（22-23七年级上·广西南宁·阶段练习）某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 24 21 18 据表格提供的信息解答下列问题： (1)列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设胜一场积分，则负一场积分，根据队的积分建立方程，解方程即可得； （2）设胜场数为场，则负场数为场，根据某队的胜场总积分等于负场总积分建立方程，解方程求出的值，根据为整数即可得出答案． 【详解】（1）解：设胜一场积分，则负一场积分， 由题意得：， 解得， 则， 答：胜一场积2分，负一场积1分． （2）解：某队的胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下： 设胜场数为场，则负场数为场， 由题意得：， 解得，不是整数，不符合题意， 所以某队的胜场总积分不能等于负场总积分． 题型五 方案选择(一元一次方程的应用) 1．（2024七年级上·全国·专题练习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本， 故选：． 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）为迎接学校举办的传统文化节，初一年级某班计划做一批“中国结”，若每人做6个，则比计划多做9个，若每人做4个，则比计划少7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找出等量关系是解答本题的关键．根据人数不变列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选B． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置 台电脑时，两种方案的费用相同． 【答案】3 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式． 设学校添置x台电脑，根据“两种方案的费用相同”列出方程并解答． 【详解】解：设学校添置x台电脑， 由题意，得， 解得：， 答：当学校添置3台电脑时，两种方案的费用相同； 故答案为：3． 4．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）国家发展改革委表示，今年国庆中秋小长假中，居民消费需求集中释放，进一步巩固了消费回升的好势头．小长假期间，某商场推出回馈消费者的打折活动，具体优惠情况如下表： 购物总金额（原价） 折扣 超过元且不超过元 全部商品打九折 超过元且不超过元 全部商品打八五折 超过元 全部商品打八折 某市民在该商场购买了一件原价元的商品和一件原价元的商品，实际付费元，则的值可能为 ．（注：两件商品可以单独付款或一起付款）． 【答案】； 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是进行分类讨论，根据不同情况列式求出的值．分情况讨论，分两件商品一起付款或单独付款两种情况分别列方程即可； 【详解】解：当两件商品分别付款时，第二件商品实际付款为：（元）， ，，， 或 解得：或（不合题意，舍去）， 当两件商品一起付款时， 解得： 故答案为：； 5．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ， 解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算； 题型六 数字问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头．在如图所示的九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则下列说法（   ）． ①三个空白方格中的数字之和等于； ②n是这九个数字中最小的数． A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】A 【分析】本题考查的是数字推理问题，一元一次方程的应用等知识点，根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则由第1列三个已知数可知每行、每列、每条对角线上三个数字之和为，于是可分别求出未知的各数，从而对两个选项进行判断，抓住条件利用一元一次方程进行逐一求解是解决此题的关键． 【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， 从而可求出三个空格处的数为16、、7， ∴，①错误， ∵， ∴②正确， 故选：A． 2．（22-23七年级上·四川成都·期末）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位和个位上的数交换位置后，新数比原数大18，则原数的个位数与十位数的和为（  ） A．8 B．10 C．12 D．21 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设原来数字个位上的数是，那么十位上数字是，根据“把十位和个位上的数交换位置后，新数比原数大18”列方程求解即可． 【详解】解：设原来数字个位上的数是，那么十位上数字是，则原来的数为，把十位上的数字与个位上的数字交换后的数为， 由题意得：， 解得， 所以原数的个位数与十位数的和为， 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，即在正方形网格中填上个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设第一行第三列的方格中的数字为，由每行及对角线上的数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，由每行、每列上的数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设第一行第三列的方格中的数字为，如图所示， ∵每行及对角线上的数字之和都相等， ∴， 解得：， ∵每行、每列上的数字之和都相等， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·天津南开·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x，列方程求出的值x，再根据题意得出的值即可． 【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x， 根据题意列方程得，， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）观察下列三列数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…；③ (1)第①行第10个数是 第②行第10个数是 (2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ (3)若在每行取第k 个数，这三个数的和正好为，求k的值． 【答案】(1)； (2)第②行中的数是第①行中相应的数；第③行中的数是第①行中相应的数 (3)50 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，解题的关键是找出数字规律． （1）根据第①和②行规律进行解答即可； （2）根据给出的数字，得出规律进行解答即可； （3）设所选第一行的数为x，则第二行的数为，第三行的数为，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是； 第②行第10个数是； （2）解：第②行中的数是第①行中相应的数；第③行中的数是第①行中相应的数； （3）解：设所选第一行的数为x，则第二行的数为，第三行的数为，根据题意得： ， 解得：， 令， 解得：． 题型七 几何问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为和1．现将纸片按如下方式操作：第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次操作后恰好能把这个长方形分割成四个正方形且无剩余，则a的值为（   ）．    A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确的画出图形，进行分类讨论是解题的关键．根据长方形的长和宽分别为a（）和1，第一次分割出边长1的正方形，第二次分割出边长的正方形，并进行分类讨论，画出几何图形，利用边长的关系即可得出的值． 【详解】解：①如图：   根据题意得：，， ， ， ∴， ∴， ②如图：   根据题意得：，， ∴， ， ∴， ∴， 综上所述：或． 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·科学  在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，熟知两个两桶内的水的体积相同是解本题的关键．根据两个两桶的水的体积相同列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得： ； 故选：A． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为和1．现将纸片进行分割，每次割一刀且每次分割都能产生至少一个正方形，现分割三次后恰好能把这个长方形全部分割成正方形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据分割三次后恰好能把这个长方形全部分割成正方形，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 的值为． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·天津河东·期中）在数轴上与相距3个单位长度的点有 个，它们分别是 和 ． 【答案】 2 1/ / 【分析】 本题考查的是数轴上两点间的距离，即数轴上两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值．设数轴上与表示的点相距3个长度单位的点表示的数是，再由数轴上两点间距离的定义得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：设轴上与表示的点相距3个长度单位的点表示的数是，则， 故或， 解得或． 故答案为：2；1，． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为线段的中点，点分线段的长度为．已知，求的长． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的性质，线段的和差．根据线段中点得，结合题意可设．则，则，根据，建立方程，解方程，进而根据，即可求解． 【详解】解：设．则．因为是中点， 所以． 那么， 又因为， 所以，解得， 那么，， 所以． 题型八 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用剩下的部分铁丝原来的长度第一次用去的长度第二次用去的长度，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵第一次用去它的一半少1米，即米， ∴第一次剩余米， ∵第二次用去剩下的一半多1米， ∴第二次用去米， 根据题意，得， 故选：B． 2．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）某班同学参加搬花瓶劳动，搬大花瓶人数比搬小花瓶人数的一半多3人，若从搬小花瓶人员中抽出6人搬大花瓶，则搬小花瓶和搬大花瓶的人数相等，则原来搬小花瓶有（　　）人． A．18 B．21 C．30 D．36 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键的找到等量关系，列出方程并解答． 设原来搬小花瓶人数是人，根据从搬小花瓶人员中抽出6人运土，则搬小花瓶和搬大花瓶的人数相等列出方程，进而求出即可． 【详解】解：设原来搬小花瓶人数是人，则搬大花瓶人数是人， 由题意，得， 解得． 则 故选：A 3．（2024七年级上·吉林·专题练习）强强今年15岁，王飞今年9岁，当强强在 岁时，强强的年龄是王飞的2倍． 【答案】12 【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据设年前强强的年龄是王飞年龄的2倍，表示出两人的年龄即可得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：年前强强的年龄是王飞年龄的2倍， 则， 解得：， 则（岁）． 故答案为：12． 4．（24-25七年级上·全国·期末）甲队有100人，乙队有170人，在总人数不变的情况下，如果要求甲队人数是乙队人数的，应从甲队调多少人去乙队，如果设应从甲队调x人到乙队，列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据调配后甲队人数是乙队人数的，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 5．（22-23七年级上·四川成都·期末）解应用题 (1)甲、乙两人到书店买书，两人所带钱数总和为138元，甲买一本英汉词典用去所带钱的，乙买一本同步练习册花了18元钱，这样两人剩下的钱一样多，问：甲、乙两人买书各带了多少钱？ (2)甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，两车的速度比是，甲车行了全程的后再行2千米，正好与乙车相遇，问两地相距多少千米？ 【答案】(1)甲带了84元，则乙带了54元 (2)两地相距176千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲带了元，则乙带了元，根据两人剩下的钱一样多列方程，然后进行计算即可解答； （2）设两地相距千米，根据“甲车行了全程的后再行2千米，正好与乙车相遇”列方程，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设甲带了元，则乙带了元， 由题意得：， 解得：， 当时，（元）， ∴甲带了84元，则乙带了54元； （2）解：设两地相距千米， 由题意得：， 解得：， 答：两地相距176千米． 题型九 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·全国·期末）某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系∶不超过标准量的部分的水费超过标准量的部分的水费元列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设该市每户的月用水标准量为x吨， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 故选C． 2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某城市按以下规定收取每月的天然气费：如果用气量不超过立方米，按每立方米元收费；如果用气量超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．若某用户月份交的天然气费平均每立方米元，该用户月份的天然气用气量是多少？设该用户月份的用气量为立方米，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列关于的一元一次方程，理清题意，找到等量关系列出一元一次方程是解答本题的关键． 先判断出月份的用气量一定超过立方米，等量关系为：超过立方米的立方数所用的立方数，即可得出关于的一元一次方程． 【详解】解：因为， 所以该用户月份的用气量一定超过了立方米，即， 根据等量关系：超过立方米的立方数所用的立方数， 所以可得方程：， 故选：A． 3．（21-22七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：居民每户每月用水不超过10吨，每吨按元收费，超过10吨的部分按每吨元收费，王老师家三月份平均水费为每吨元，则王老师家三月份用水 吨． 【答案】14 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，设王老师家三月份用水x吨，根据水费作为等量关系列方程整理，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：设王老师家三月份用水x吨， 根据题意有：， 整理得， 解得：． 故答案为：14． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）某地为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方式收取水费：若每月用水不超过 则按2元收费：若每月用水超过，则超过部分按2.5元 收费．如果某户居民今年5月份缴纳了24元水费，那么这户居民今年5月份的用水量为 【答案】11 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是等量关系，列出方程．先判断该户居民5月用水量是否超过，因为，所以该户居民缴纳水费按两部分计算，设该户居民5月份用水量为，则其中有按照2元/收费，按照元/收费，按此计算即可． 【详解】解：当用水量为时，水费为：， ∵， ∴这户居民5月份用水量超过， 设该户居民5月份用水量为， ∴， 解得：， 故答案为：11． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 【答案】(1)0.5 (2)该居民家9月份的用电量为度 (3)10月份的电量为度 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方法，用8月份的电费除以用电量求出的值即可； （2）根据收费方法，列出算式进行计算即可； （3）设10月份的电量为度，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.5； （2）， ∴该居民家9月份的用电量为：度； 答：该居民家9月份的用电量为度． （3）设10月份的电量为度，由题意，得： ， 解得：， 答：10月份的电量为度． 题型十 行程问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）一艘船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回到甲码头共用．若设甲、乙两码头的距离为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，列出方程．根据顺流速度船在静水中的速度水流速度，逆流速度船在静水中的速度水流速度，根据等量关系代入相应数据列出方程即可． 【详解】解：从甲到乙是顺流，速度为，时间为； 从乙到甲是逆流，速度为，时间为．总时间为， 所以可列方程， 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘轮船从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时．若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求港和港相距多少千米．设港和港相距千米．根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 顺流行驶的速度为（千米时），逆流行驶的速度为：（千米时）．根据“轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时”，得出等量关系：轮船从港顺流行驶到港所用的时间它从港返回港的时间小时，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，可列出的方程是：． 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）运动场环形跑道周长为米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为米/秒，与此同时小红在爷爷后面米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，若两人第一次相遇所用的时间为秒，则小红的速度为 米/秒． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小红的速度为米/秒，然后分两种情况：，，分别建立方程求解即可．正确理解题意，找出等量关系列出方程时解题的关键． 【详解】解：设小红的速度为米/秒， ①当时， 依题意，得：， 解得：； ②当时， 依题意，得：， 解得：， 综上所述，小红的速度为米/秒或米/秒． 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·全国·期末），两地间的路程为千米，一列慢车每小时行驶千米，一列快车每小时行驶千米．若两车分别从，两地同时开出，相向而行，则 小时后相遇；若慢车从地先开出小时，快车再从地同向开出，则快车经过 小时可追上慢车． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据等量关系列出正确的方程等式是解题的关键． 对于相向而行的两车，相遇时两成形式的路程之和等于两地的距离，根据路程速度时间来求解相遇时间；对于同向而行的两车，快车追上慢车时快车比慢车多行驶的路程等于慢车先开出1小时行驶的路程，同样根据路程速度时间来求解即可． 【详解】解:设小时后两车相遇，快车行驶的路程慢车行驶的路程千米， 则有：， 解得：． 设快车经过小时后可追上慢车，快车行驶的路程慢车行驶的路程千米， 则有：， 解得: ． 故答案为：3，2． 5．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）小明和小丽同时从甲村出发去乙村，小明的速度为，小丽的速度为，小丽比小明晚到．求甲、乙两村之间的路程． 【答案】甲、乙两村之间的路程为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲，乙两村之间的路程为，由题意列出方程，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲，乙两村之间的路程为， 由题意得：， 解得， 答：甲、乙两村之间的路程为． 题型十一 比例分配(一元一次方程的应用) 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由甲、乙、丙三村按出工，可得出工人数之间的关系，再根据计划出工84人列出方程，注意所设未知数不同时，所列方程也不同． 【详解】解：①正确， ②应得方程， ③应得， ④应得． 故选：A． 2．（23-24七年级下·福建·期末）美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【答案】B 【分析】设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数），得出.由每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完），得出必是15的倍数，求出或28或13，再由于每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完），得出必是14的倍数，即可得出结论． 此题主要考查了整除问题，得出或30或45是解本题的关键． 【详解】解：设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数）， 所以，， 因为每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完）， 所以必是15的倍数， 所以或30或45， ∴或28或13， 又因为每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）， 所以必是14的倍数， 所以， 即美食俱乐部的成员中胖子的人数是28， 故选：B． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】②③ 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键．根据总的人数不变及总的客车数量，分别列方程，然后逐一判断即可． 【详解】解：根据人数相等列方程为：； 根据车数相等列方程为：， 即正确的是②③， 故答案为：②③． 4．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 元． 【答案】1380 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．设原来甲有元，原来乙有元，根据题意列出方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设原来甲有元，原来乙有元， ， ， ， ∴， 故答案为：1380． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 【答案】1500人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【详解】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． ∴． ∴（人． 答：高、初中毕业班学生一共有1500人． 题型十二 日历问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）在排成每行七天的日历表中取下一个方块，若所有个日期数之和为，则最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设最中间的数为，则它数分别为，，，，，，，，根据题意列出方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设最中间的数为，则它数分别为，，，，，，，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴最大的数是， 故选：． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出个数，它们的和为．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设中间的数为，根据题意得上方两个数为，，上方两个数为，，求出它们的和为，再结合选项中的数，进行判断即可，解题的关键是正确的表示出五个数的和． 【详解】解：设中间的数为，根据题意得上方两个数为，，上方两个数为，， 则， 、若，解得：，不是整数，不符合题意； 、若，解得：，是整数，符合题意； 、若，解得：，不是整数，不符合题意； 、若，解得：，不是整数，不符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）小红在某月的日历中任意框出如图所示的四个数，但不小心将墨水滴在上面遮盖了其中的两个数，用含字母的代数式表示的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．设阴影部分上面的数字为x，下面为，根据日历中数字特征确定出a与b的关系式即可． 【详解】解：设阴影部分上面的数字为x，下面为， 根据题意得：，，即， 整理得：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）在某月的月历表中，用如图所示的“S”型框任意框出表中四个数，若框出的四个数的和是58，则框中最小的数是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为，，，进而可得出四个数之和，求出x的值即可得出结论． 【详解】解：设四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为，，， ∴四个数的和． 当时，， 解得，， 故答案为：11． 5．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）从某个月的月历表中取一个方框． (1)已知这个方框所围成的个日期之和为，求这个日期； (2)这个方框所围成的个日期之和可能为吗？ 【答案】(1)这个方格的日期为，，，； (2)这个方框所围成的个日期之和不可能为，理由见解析． 【分析】（）设这个方框所围成的个日期分别为，，，，根据题意列出方程，然后求解即可； （）设这个方框所围成的个日期分别为，，，，根据题意列出方程，然后求解并检验即可； 本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个方框所围成的个日期分别为，，，， 根据题意，得， 解得：， 答：这个方格的日期为，，，； （2）解：这个方框所围成的个日期之和不可能为，理由， 设这个方框所围成的个日期分别为，，，， 根据题意，得， 解得：， 因为在最右边，不符合方框， 所以这个方框所围成的个日期之和不可能为． 题型十三 古代问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有x两银子，根据题意可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意是关键；根据人数列出方程即可． 【详解】解：设有x两银子， 由题意得，， 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有个人，根据题意所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据等量关系列方程是解题的关键； 根据题意结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出方程即可． 【详解】解：设总共有个人， 根据题意列方程得：， 故选：B 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？其大意是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺：绳长、井深各几尺？若设绳长x尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设绳长x尺，根据井深不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】设绳长x尺， 根据题意得，． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马列方程 （只列式不计算） 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据设快马天可追上慢马，跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设快马天可追上慢马，跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天， ∴， 故答案为：． 5．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中）《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． 【详解】解：设丢番图的年龄是x岁， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：丢番图这一生的年龄是84岁． 题型十四 其他问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用——猜数游戏．熟练掌握游戏规则，建立一元一次方程，是解题的关键． 设甲想的数为x，根据每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，列式、列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设甲想的数为x，则丙想的数为，丁想的数为， ∴乙想的数为，戊想的数为， ∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6， ∴ ， 解得． ∴甲同学心中所想的数是． 故选：C． 2．（2024七年级上·河南·专题练习）在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据等量关系为“第一个量筒中水的体积第二个量筒中水的体积”建立方程即可解题． 【详解】解：由题知，第一个量筒（圆柱）中的水的体积为：， 第二个量筒中的水的体积为：， 根据表示同一个量的两个式子相等有， 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）甲、乙两个旅行团共人，甲团人数比乙团人数的倍多人．甲、乙两个旅行团各有多少人？若设乙旅行团的人数是人，则可列一元一次方程为 ．（方程不需要化简） 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙旅行团的人数是人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设乙旅行团的人数是人， 由题意得，， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，．则的值为 ，，为正整数，则的值为 ． 【答案】 4047 【分析】此题考查了规律探究，解方程，正确理解图形的计算规律代入方程计算是解题的关键．根据图形得到图形的变化规律：，根据规律代入将方程变形为，解方程即可． 【详解】解：由图可得，，，……， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得， 故答案为：；4047． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻4个台阶上数的和都相等． (1)求第5个台阶上的数的值； (2)求从下到上前31个台阶上数的和； (3)请直接写出：用含为正整数）的式子表示数“”所在的台阶数． 【答案】(1)第5个台阶上的数是 (2)从下到上前31个台阶上数的和为15 (3)数“”所在的台阶数为为正整数） 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，一元一次方程的应用，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环． （1）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得； （2）根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得； （3）由循环规律即可知数“”所在的台阶数为． 【详解】（1）解：前4个台阶上数的和是：； 由题意得， 解得：， 则第5个台阶上的数是； （2）解：由题意知台阶上的数字是每4个一循环， ， ． ． 即从下到上前31个台阶上数的和为15． （3）解：∵数“”所在的台阶数为第台阶， ∴数“”所在的台阶数为（k为整数）． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，设每个房间地面面积，根据一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修，可得方程；设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修，根据每个房间的装修面积为：，，可得方程，从而可得答案． 【详解】解：设每个房间地面面积， ∵每一天名熟练的装修工人可装修间房，结果还剩未能装修， ∴一个熟练工人每天装修， ∵每一天名初级装修工人除了能装修间房以外，还可以多装修， ∴一个初级装修工人每天装修， 一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修， ∴； 设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修， ∴每个房间的装修面积为：， ∴； ∴②③正确， 故选：D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）某商场举行促销活动，有两种优惠办法：第一种，顾客所购买商品一律按9折算；第二种，采取“满一百元送十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客消费每满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送10元购物券，满200元就送20元购物券，依此类推……现有两位顾客甲和乙，甲顾客选择第一种优惠办法，共付费10000元；乙顾客选择第二种优惠办法，第一次就付了10000元购物，并用所得购物券继续购物．按所享受的折扣算，谁享受的折扣更优惠？（精确到十分位）（    ）． A．甲、乙折扣一样 B．甲 C．乙 D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程与实际问题，计算第二种优惠享受的折扣是解题的关键．按照题中给出的优惠办法，计算出第二种折扣，与第一种进行比较即可． 【详解】解：甲顾客选择第一种优惠办法，享受9折优惠； 乙顾客选择第二种优惠办法，第一次付了10000元，赠送的购物券金额为， 1000元赠送的购物券金额为，100元赠送的购物券金额为，因而用10000元购买的商品的价值是（元）， ， ， 甲、乙折扣一样． 故选：． 3．（2024·浙江台州·一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 4．（23-24七年级上·四川达州·期末）在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，首先理解题意找出题中存在的等量关系：原来拔草的人数支援拔草的人数(原来植树的人数支援植树的人数)，根据此等式列方程即可． 【详解】解：设支援拔草的有人，则支援植树的为人，现在拔草的总人数为人，植树的总人数为人． 根据等量关系列方程得，． 故选：B． 5．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）将一箱苹果分给若干个小朋友，如果每个小朋友分个苹果，就会有人没有苹果；如果每个小朋友分个苹果，则正好多出个苹果．问有多少个小朋友？如果设有个小朋友，那么依题意可以列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程与实际问题，根据题意列方程是解题的关键； 根据题意列方程求解即可； 【详解】解：设有个小朋友， 依题意可得：， 故选：B 6．（2024七年级上·全国·专题练习）用铝片做饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底43个，一个瓶身与两个瓶底配成一套，现有150张铝片，用 张制瓶身， 张制瓶底可以正好制成整套的饮料瓶． 【答案】 86 64 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设用张制瓶身，则用张制瓶底，根据一个瓶身与两个瓶底配成一套，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设用张铝片制瓶身，则用张铝片制瓶底，由题意得， ，解得， 则， 即用86张制瓶身，64张制瓶底可以正好制成整套的饮料瓶． 故答案为：86，64 7．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）《易·系辞上》记载：“河出图，洛出书，圣人则之．”洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，如图1，则 ．图2是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类，根据题意列出等式，即可求得答案，解答本题的关键是理解题意，准确进行计算． 【详解】解：如图， 则， 则； 如图，①， ②， ①②得：， 即：， 解得：； 故答案为：，． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意，调动后B队有人，A队有人，即可列出代数式，计算可得答案； （2）根据题意，调动后B队有人，A队有人，再列出方程，解方程即得答案． 【详解】解:（1）由题意得，从A队调人到B队，则此时B队比A队多人； 故答案为：； （2）由题意得，， 解得． 故答案为：13． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的倍，则它们第次相遇在边 上．(选填“，，，”) 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设它们第次相遇时甲运动的路程为，则乙的运动路程为，利用甲、乙的路程之和为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合，即可得出它们第次相遇在边上． 【详解】解：设它们第次相遇时甲运动的路程为，则乙的运动路程为， 根据题意，得， 解方程，得， ， 它们第次相遇在边上． 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海闵行·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗，根据题意，列出方程即可求解． 【详解】解：设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗， 根据题意得：， 解得， 所以羊的主人赔斗，牛的主人赔（斗）， 所以牛主人比羊主人多赔偿（斗）． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）整理一批图书，由一个人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后增加5人与他们一起整理，完成这项工作． (1)假设这些人的工作效率相同，每人每小时可以完成此项工作的 ； (2)在（1）的条件下，应先安排多少人进行整理？（要求∶列方程解答） 【答案】(1) (2)应先安排4个人进行整理 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程． （1）把总工作量设为1，则人均效率（一个人完成的工作量）为． （2）设先安排x个人进行整理，依题意列出方程 ，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解： 则每人每小时可以完成此项工作的， 故答案为：． （2）解：设先安排x个人进行整理，依题意列方程得： 答：应先安排4个人进行整理． 12．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是5名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分． (2)参赛者得76分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)参赛者说他得80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)16道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）设他答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者得76分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）设他答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者说他得了80分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：答对1题得：（分）， 答错1题得：（分）， 故答案为：5，； （2）解：设他答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 答：他答对了16道题； （3）解：不可能，理由如下： 设他答对了道题，则答错了道题，， 由题意得：， 解得：，不符合题意， ∴参赛者说他得了80分，是不可能的． 13．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9…排成如图所示的数表，记表示第行第个数，如，表示第3行第2个数是27． (1) ． (2)若将数表中的字形框上下左右移动，当字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数． (3)用含的代数式表示 ． 【答案】(1)59 (2)81 (3) 【分析】此题考查了数字类规律． （1）根据题意可得即可求出答案； （2）设四个数中最大的数是x，则另外三个数分别是，根据字形框中的四个数之和等于288列出方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得表示第行第个数，即第个奇数，求出第个奇数即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：； （2）设四个数中最大的数是x，则另外三个数分别是， 根据题意得到， 解得， 答：四个数中的最大数是； （3）根据题意可得表示第行第个数，即第个奇数， ∴ 故答案为： 14．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，在一条笔直的公路上顺次取、、三点，已知米，米，小花（记为）、小阳（记为）分别从、两点同时出发向点运动，当其中一人到达点时，两人同时停止运动，已知小花的速度为米/分钟，小阳的速度为米/分钟，设运动时间为分钟． (1)用含的代数式表示线段的长度为_______米； (2)当为何值时，小花追上小阳？ (3)若点为线段的中点，点为线段的中点．问：是否存在时间，使米？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)分钟时，小花追上小阳 (3)存在时间，使米 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，读懂题意，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）根据小华移动的距离减去的长等于小英移动的距离，列出方程进行求解即可； （3）分点在点Q左侧和右侧两种情况，利用列方程求解，再根据点和点运动到点的时间即可得答案． 【详解】（1）解：∵小阳的速度为米/分钟，运动时间为分钟， ∴的长度为． 故答案为： （2）解：由题意得：， 解得：（分钟）， 答：分钟时，小花追上小阳． （3）解：存在时间，使米，理由如下： ∵小花的速度为米/分钟，小阳的速度为米/分钟， ∴小花运动到的时间为（分钟），小阳运动到的时间为（分钟） ∴米，米， ∵点为线段的中点，点为线段的中点． ∴米，米，米， 当点在点左侧时，， 解得：（分钟）， 当点在点右侧时，， 解得：（分钟）， ∵当其中一人到达点时，两人同时停止运动，， ∴不符合题意， 综上所述：存在时间，使米． 15．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）把1，2，3，4，5，…按如图所示的方式排列成一个表，用一个正方形框在表中任意框4个数，记左上角的一个数为． (1)另外三个数分别用含的式子表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)当被框住的4个数之和等于416时，的值是多少？ (3)能否框住这样的4个数，使它们的和等于324？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)x的值为100 (3)不能框住4个数，使它们的和等于324，理由见解析 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用； （1）左右相邻两个数差1，上下相邻的两个数相差为7，据此表示其他三个数； （2）根据题意列出，解一元一次方程求出x的值； （3）令，求出x的值，进而作出判断． 【详解】（1）解：由图表可知：左右相邻两个数差1，上下相邻的两个数相差为7，左上角的一个数为x， 则另外三个数用含x的式子从小到大依次表示；；； （2）解：根据题意可得：， ， 解得， 答：x的值为100； （3）解：假设， 解得，77在第7列，但78在第1列 答：不能框住4个数，使它们的和等于324． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程 5.3 实践与探索（14大题型提分练） 知识点一 列一元一次方程解应用题： (1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. (2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中 相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础 知识点二 解一元一次方程应用题的方法： (1)认真审题 (审题) (2)分析已知和未知量 (3)找一个合适的等量关系 (4)设一个恰当的未知数 (5)列出合理的方程(列式) (6)解出方程(解题) (7)检验 (8)写出答案(作答) 一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题，相遇问题、逆流顺流问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。 题型一 配套问题(一元一次方程的应用) 1．（2024七年级上·云南·专题练习）某工厂有22人，每名工人每天可加工3张桌子或10把椅子，1张桌子与4把椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套，且没有剩余，若设安排名工人加工桌子，则根据题意可列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）新型冠状肺炎疫情在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有40名工人，每人每天可生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个口罩面需要两根耳绳，为使每天生产的口罩面与耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？（　　） A．15人 B．20人 C．14人 D．30人 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）用张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面个或底面个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设用x张彩纸制作圆柱侧面，则可列一元一次方程为 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）社会劳动情境·加工生产 某服装厂加工车间有工人54人，每人每天可以加工上衣8件或裤子10条，为使每天生产的上衣和裤子配套，应分配 人生产上衣， 人生产裤子． 5．（23-24七年级上·重庆大渡口·期末）某工厂一车间有40名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务．每个工人每天能加工甲种零件15个，或加工乙种零件25个． (1)若一辆轿车只需要甲零件1个和乙零件1个使每天能配套生产轿车，问应安排多少工人加工甲种零件？ (2)若一辆轿车需要甲零件3个和乙零件5个使每天能配套生产轿车，若加工一件甲种零件加工费为10元，加工一件乙种零件加工费为12元，若40名工人正好使得每天加工零件能配套生产轿车，求一天这40名工人所得加工费一共多少元？ 题型二 工程问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 2．（24-25七年级上·吉林四平·期末）一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后甲、乙两人合作天完成这项工程，根据题意下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）检修一台机器，甲、乙两组单独检修分别需4小时、6小时完成，如果甲组先检修1小时，然后两组合作，还需几小时才能完成这台机器的检修任务？设两组合作还需小时才能完成这台机器的检修任务，根据题意列出的方程是 ． 4．（24-25六年级上·上海·期末）甲、乙两人共同加工零件270个，甲每小时加工零件10个，乙每小时加工零件15个，甲比乙多用2小时，求甲用了几小时．如果设甲用了x小时，那么可列出方程为 ． 5．（24-25七年级上·广东清远·期末）思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 题型三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 1．（2024七年级上·全国·专题练习）惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，结账时发现商场推出一种优惠卡，优惠方案：卡售价50元，购物打八折，惠怡妈妈掐指一算，发现使用优惠卡后可以少付10元．则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）一家商店将某种服装按成本价提高标价，又以折优惠卖出，结果每件服装仍可获利元，则这种服装每件的成本价是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）商店进了一批钢笔，用零售价元卖出支与用零售价元卖出支的利润相同，这批钢笔的进货价是每支 元． 4．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）某商品标价为元/件，按标价打八折出售时每件仍可获利，该商品的成本价为每件 元． 5．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/本） 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ 题型四 比赛积分(一元一次方程的应用) 1．（2024六年级上·上海·专题练习）一次足球比赛，每队均赛15场，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，某队所胜场数是所负场数的2倍，得了19分，则负的场数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024七年级上·云南·专题练习）某校七年级举行“数学头脑风暴竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，考生李华的成绩为82分，则他答对了（   ）道题． A．16 B．17 C．18 D．19 3．（2024六年级上·上海·专题练习）学校组织了一次知识竞赛，共有25道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明得了85分，那么他答对的题数是 道． 4．（24-25七年级上·陕西安康·期末）实验中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分．七（1）班参加12场比赛始终保持不败的记录，共积19分，则七（1）班胜了 场．（列一元一次方程求解） 5．（22-23七年级上·广西南宁·阶段练习）某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 24 21 18 据表格提供的信息解答下列问题： (1)列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 题型五 方案选择(一元一次方程的应用) 1．（2024七年级上·全国·专题练习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）为迎接学校举办的传统文化节，初一年级某班计划做一批“中国结”，若每人做6个，则比计划多做9个，若每人做4个，则比计划少7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（　　） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置 台电脑时，两种方案的费用相同． 4．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）国家发展改革委表示，今年国庆中秋小长假中，居民消费需求集中释放，进一步巩固了消费回升的好势头．小长假期间，某商场推出回馈消费者的打折活动，具体优惠情况如下表： 购物总金额（原价） 折扣 超过元且不超过元 全部商品打九折 超过元且不超过元 全部商品打八五折 超过元 全部商品打八折 某市民在该商场购买了一件原价元的商品和一件原价元的商品，实际付费元，则的值可能为 ．（注：两件商品可以单独付款或一起付款）． 5．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 题型六 数字问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头．在如图所示的九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则下列说法（   ）． ①三个空白方格中的数字之和等于； ②n是这九个数字中最小的数． A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 2．（22-23七年级上·四川成都·期末）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位和个位上的数交换位置后，新数比原数大18，则原数的个位数与十位数的和为（  ） A．8 B．10 C．12 D．21 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，即在正方形网格中填上个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则 4．（24-25七年级上·天津南开·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为 ． 5．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）观察下列三列数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…；③ (1)第①行第10个数是 第②行第10个数是 (2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ (3)若在每行取第k 个数，这三个数的和正好为，求k的值． 题型七 几何问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为和1．现将纸片按如下方式操作：第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次操作后恰好能把这个长方形分割成四个正方形且无剩余，则a的值为（   ）．    A．或 B．或 C．或或 D．或或 2．（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·科学  在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为和1．现将纸片进行分割，每次割一刀且每次分割都能产生至少一个正方形，现分割三次后恰好能把这个长方形全部分割成正方形，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·天津河东·期中）在数轴上与相距3个单位长度的点有 个，它们分别是 和 ． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为线段的中点，点分线段的长度为．已知，求的长． 题型八 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）某班同学参加搬花瓶劳动，搬大花瓶人数比搬小花瓶人数的一半多3人，若从搬小花瓶人员中抽出6人搬大花瓶，则搬小花瓶和搬大花瓶的人数相等，则原来搬小花瓶有（　　）人． A．18 B．21 C．30 D．36 3．（2024七年级上·吉林·专题练习）强强今年15岁，王飞今年9岁，当强强在 岁时，强强的年龄是王飞的2倍． 4．（24-25七年级上·全国·期末）甲队有100人，乙队有170人，在总人数不变的情况下，如果要求甲队人数是乙队人数的，应从甲队调多少人去乙队，如果设应从甲队调x人到乙队，列出的方程是 ． 5．（22-23七年级上·四川成都·期末）解应用题 (1)甲、乙两人到书店买书，两人所带钱数总和为138元，甲买一本英汉词典用去所带钱的，乙买一本同步练习册花了18元钱，这样两人剩下的钱一样多，问：甲、乙两人买书各带了多少钱？ (2)甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，两车的速度比是，甲车行了全程的后再行2千米，正好与乙车相遇，问两地相距多少千米？ 题型九 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·全国·期末）某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某城市按以下规定收取每月的天然气费：如果用气量不超过立方米，按每立方米元收费；如果用气量超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．若某用户月份交的天然气费平均每立方米元，该用户月份的天然气用气量是多少？设该用户月份的用气量为立方米，列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：居民每户每月用水不超过10吨，每吨按元收费，超过10吨的部分按每吨元收费，王老师家三月份平均水费为每吨元，则王老师家三月份用水 吨． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）某地为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方式收取水费：若每月用水不超过 则按2元收费：若每月用水超过，则超过部分按2.5元 收费．如果某户居民今年5月份缴纳了24元水费，那么这户居民今年5月份的用水量为 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 题型十 行程问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）一艘船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回到甲码头共用．若设甲、乙两码头的距离为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘轮船从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时．若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求港和港相距多少千米．设港和港相距千米．根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）运动场环形跑道周长为米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为米/秒，与此同时小红在爷爷后面米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，若两人第一次相遇所用的时间为秒，则小红的速度为 米/秒． 4．（24-25七年级上·全国·期末），两地间的路程为千米，一列慢车每小时行驶千米，一列快车每小时行驶千米．若两车分别从，两地同时开出，相向而行，则 小时后相遇；若慢车从地先开出小时，快车再从地同向开出，则快车经过 小时可追上慢车． 5．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）小明和小丽同时从甲村出发去乙村，小明的速度为，小丽的速度为，小丽比小明晚到．求甲、乙两村之间的路程． 题型十一 比例分配(一元一次方程的应用) 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·福建·期末）美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 4．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 元． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 题型十二 日历问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）在排成每行七天的日历表中取下一个方块，若所有个日期数之和为，则最大的数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出个数，它们的和为．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）小红在某月的日历中任意框出如图所示的四个数，但不小心将墨水滴在上面遮盖了其中的两个数，用含字母的代数式表示的结果是 ． 4．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）在某月的月历表中，用如图所示的“S”型框任意框出表中四个数，若框出的四个数的和是58，则框中最小的数是 ． 5．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）从某个月的月历表中取一个方框． (1)已知这个方框所围成的个日期之和为，求这个日期； (2)这个方框所围成的个日期之和可能为吗？ 题型十三 古代问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有x两银子，根据题意可列方程（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有个人，根据题意所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？其大意是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺：绳长、井深各几尺？若设绳长x尺，则可列方程为 ． 4．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马列方程 （只列式不计算） 5．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中）《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 题型十四 其他问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 2．（2024七年级上·河南·专题练习）在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）甲、乙两个旅行团共人，甲团人数比乙团人数的倍多人．甲、乙两个旅行团各有多少人？若设乙旅行团的人数是人，则可列一元一次方程为 ．（方程不需要化简） 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，．则的值为 ，，为正整数，则的值为 ． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻4个台阶上数的和都相等． (1)求第5个台阶上的数的值； (2)求从下到上前31个台阶上数的和； (3)请直接写出：用含为正整数）的式子表示数“”所在的台阶数． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 2．（2024七年级·全国·竞赛）某商场举行促销活动，有两种优惠办法：第一种，顾客所购买商品一律按9折算；第二种，采取“满一百元送十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客消费每满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送10元购物券，满200元就送20元购物券，依此类推……现有两位顾客甲和乙，甲顾客选择第一种优惠办法，共付费10000元；乙顾客选择第二种优惠办法，第一次就付了10000元购物，并用所得购物券继续购物．按所享受的折扣算，谁享受的折扣更优惠？（精确到十分位）（    ）． A．甲、乙折扣一样 B．甲 C．乙 D．无法比较 3．（2024·浙江台州·一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 4．（23-24七年级上·四川达州·期末）在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）将一箱苹果分给若干个小朋友，如果每个小朋友分个苹果，就会有人没有苹果；如果每个小朋友分个苹果，则正好多出个苹果．问有多少个小朋友？如果设有个小朋友，那么依题意可以列出的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）用铝片做饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底43个，一个瓶身与两个瓶底配成一套，现有150张铝片，用 张制瓶身， 张制瓶底可以正好制成整套的饮料瓶． 7．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）《易·系辞上》记载：“河出图，洛出书，圣人则之．”洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，如图1，则 ．图2是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，x的值为 ． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的倍，则它们第次相遇在边 上．(选填“，，，”) 10．（24-25六年级上·上海闵行·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 11．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）整理一批图书，由一个人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后增加5人与他们一起整理，完成这项工作． (1)假设这些人的工作效率相同，每人每小时可以完成此项工作的 ； (2)在（1）的条件下，应先安排多少人进行整理？（要求∶列方程解答） 12．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是5名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分． (2)参赛者得76分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)参赛者说他得80分，你认为可能吗？为什么？ 13．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9…排成如图所示的数表，记表示第行第个数，如，表示第3行第2个数是27． (1) ． (2)若将数表中的字形框上下左右移动，当字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数． (3)用含的代数式表示 ． 14．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，在一条笔直的公路上顺次取、、三点，已知米，米，小花（记为）、小阳（记为）分别从、两点同时出发向点运动，当其中一人到达点时，两人同时停止运动，已知小花的速度为米/分钟，小阳的速度为米/分钟，设运动时间为分钟． (1)用含的代数式表示线段的长度为_______米； (2)当为何值时，小花追上小阳？ (3)若点为线段的中点，点为线段的中点．问：是否存在时间，使米？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 15．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）把1，2，3，4，5，…按如图所示的方式排列成一个表，用一个正方形框在表中任意框4个数，记左上角的一个数为． (1)另外三个数分别用含的式子表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)当被框住的4个数之和等于416时，的值是多少？ (3)能否框住这样的4个数，使它们的和等于324？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$