第08讲 相交线与平行线【考点卷】（15大核心考点）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

第08讲 相交线与平行线【考点卷】（15大核心考点） 【核心考点一 相交线与垂线】 1．如图，三条直线相交于点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，垂直的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得出，，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选： B． 2．如图，直线，相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，垂直的定义．首先求出，然后根据对顶角相等求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，直线，相交于点O， ， 垂足为O，若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题主要考查了垂直的定义、邻补角的性质等知识点，熟练掌握对顶角相等的性质是解题的关键．根据垂直的定义可求出，最后根据对顶角相等得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，已知直线相交于点平分平分，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角和几何中角度的计算，设，则，由角平分线的定义得到，再由，得到，则，然后求出，再由求解即可． 【详解】解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．如图，交直线于点O，射线在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义： （1）由垂直的定义得到，则； （2）由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴． 【核心考点二 对顶角与邻补角】 1．如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，对顶角，根据角的和差和倍数关系，以及对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 2．如图，直线相交于点O，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．由垂直的定义可得，从而得出，再由对顶角的性质可得，最后由角平分线的定义得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， 故选：C 3．如图，直线，相交于点O，于点O，如果，那么的度数是 °． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角，根据得，根据得，即可得；掌握对顶角是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，直线与相交于点，，平分且，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，根据邻补角、对顶角的定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 平分， ． 故答案为：． 5．如图，两直线、相交于点，平分，如果． (1)求的大小； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】此题考查了角平分线的定义，补角的应用， （1）利用角度比及互补关系求出，，根据角平分线求出，即可求出的度数； （2）求出的度数，即可得到的度数，进而得到位置关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴ ∴ ∴． 【核心考点三 同位角、内错角、同旁内角】 1．如图所示，下列说法正确的是（    ）． A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】根据同位角、同旁内角．内错角的定义进行判断． 【详解】A．与不是同位角，故选项A错误； B．与是内错角，故该选项错误； C．与是同旁内角，故选项C错误，选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义．熟记同位角、同旁内角、内错角的定义是解答此题的关键． 2．如图所示，下列说法错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互为邻补角 【答案】B 【分析】根据同位角、同旁内角、邻补角的构成特点依次分析即可得到答案. 【详解】A. 与是同旁内角正确； B. 与是同位角，故B选项错误； C. 与是同位角正确；     D. 与互为邻补角正确 故选：B. 【点睛】此题考查同位角、同旁内角、邻补角的构成特点，熟记特点是解题的关键. 3．如图，直线b，c被直线a所截．如果，那么与其内错角之和等于 ． 【答案】 【详解】因为，所以的内错角的度数为． 因为，所以，所以与其内错角之和为． 4．如图，∠1和∠3是直线 和 被直线 所截而成的 角；图中与∠2是同旁内角的角有 个． 【答案】 AB AC DE 内错 3 【分析】根据内错角和同旁内角的定义得出即可． 【详解】解：∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2 是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个. 故答案为AB；AC；DE；内错；3． 【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角等知识点，能根据图形找出各对角是解题的关键. 根据内错角和同旁内角的定义得出即可. 5．如图，直线被所截，交点分别为G，F，． (1)试确定与的位置关系，并说明理由； (2)求的同位角、内错角、同旁内角的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)同位角120度，内错角120度，同旁内角60度 【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单． （1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系； （2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题． 【详解】（1）解：． 理由：∵是直线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴的同位角，内错角，同旁内角． 【核心考点四 平行公理及其推论】 1．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线a，b，c在同一平面内，若，，则 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．根据平行公理、点到直线的距离、平行线的判定等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选项A不符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选项B符合题意； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是这点到这条直线的距离， 故选项C不符合题意； 直线，，在同一平面内，若，，则， 故选项D不符合题意； 故选：B． 2．下列说法中，正确的有（    ） ①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，则； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了两条直线位置关系的知识，解题的关键是掌握平行公理及推论、平行线、相交线的性质．根据两条直线位置关系的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：①在同一平面内，若a与c相交，b与c相交，则a与b相交或平行，故①错误； ②若，则，故②正确； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③正确； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故④错误； 故选：D． 3．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确； ④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误； 综上所述，正确的为③，共个， 故答案为：． 4．如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线，相交于P，且，那么与l的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】根据平行公理解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，两条直线相交于P，且那么与l的位置关系是相交，因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：相交． 【点睛】本题考查了平行公理．解题的关键掌握平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 5．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，、、都在格点上．    (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线； ②过点画直线的垂线，垂足为点； (2)点到直线的距离是线段________的长度； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)，垂线段最短 【分析】（1）①在的右侧取格点，再画直线即可，②如图，取格点，再画直线交于即可． （2）根据点到直线的距离的定义判断即可． （3）根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求作．    ②如图，直线即为所求作．    （2）线段的长度是点C到直线的距离， （3）． 理由：垂线段最短． 【点睛】本题考查画平行线，画垂线，平行线的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握平行线的判定． 【核心考点五 平行线的判定】 1．如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判断的条件是（　　） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角相等．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴不能推出，故④不正确， 综上可得：能判断的条件是①②③． 故选：D． 2．如图，下列条件中，能判定的是（　　） ①；②；③；④． A．② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：①∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），故①符合题意； ②∵，∴（内错角相等，两直线平行），故②不符合题意； ③∵，∴（内错角相等，两直线平行），故③符合题意； ④∵，∴（同位角相等，两直线平行），故④符合题意， 综上能判定出的是①③④． 故答案为：C． 3．如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【答案】能 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得，由然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：能 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：能. 4．如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【答案】或或或 【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键． 设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案 【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，，解得：； 当秒时，，解得：； 当秒时，木棒a停止运动， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：； ，解得：， 当时，木棒b停止运动， 综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行， 故答案为：或或或． 5．若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先求出，再求出； （2）先证明，根据内错角相等即可证明； （3）先求出，进而可证，然后可证． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）． 理由：，， ， ， ． ， ， ． 【核心考点六 平行线的性质】 1．如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，根据两直线平行，同位角相等，平角的定义计算即可． 【详解】如图，∵，， ∴， ∵， ∴， 故选A． 2．如图，将直线m按箭头所指方向平移至直线n，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用平移的性质结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：过B作，    由题意可得：, ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，正确转化角的关系是解题关键． 3．如图，，，，那么 的度数是 ． 【答案】/280度 【分析】本题考查的知识点是平行公理的推论、平行线的性质、角度的计算，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 作交于点，交于点，由平行公理的推论推得，再根据平行线的性质得到，，，最后由进行角度计算即可求解． 【详解】解：作交于点，交于点， ， ， ，，， 又，， ， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，如图，过点作，得，根据平行公理的推论得，得出，最后根据对项角相等得出．掌握平行公理的推论及平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 5．如图，已知在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定． （1）根据，推出，即可解答； （2）根据角平分线的性质得出，再根据平行线的性质得出，最后根据同位角相等，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴． 【核心考点七 根据平行线的性质探究角的关系】 1．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D．无法表示 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质判断出图中角度之间的关系．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过作直线，如图所示， ， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， ， ， ， ， 故选：B 2．如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念， 根据题意分3种情况讨论，分别根据平行线的性质和判定，结合角平分线的概念求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵平分， ∴ 如图所示，过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴，故A不符合题意； 如图所示，过点P作 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，故C不符合题意；D选项符合题意． 如图所示，过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故B选项不符合题意； 故选：D． 3．如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键． 根据平行线的性质得，，再由，即可解答． 【详解】解：， ，， ， ， ， ． 4．已知与的两边分别平行，其中，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行线的性质及解一元一次方程，利用分类讨论的思想是解题关键．根据与的两边分别平行可得或，列方程求出的值即可得答案． 【详解】解：如图，，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 如图，，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 综上所述：的值为或． 故答案为：或 5．如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． （1）过点P作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论； （2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点作， 因为， 所以， 所以，． 又因为， 所以； （2）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为，所以， 所以， 所以； ②当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 【核心考点八 根据平行线的性质求角的度数】 1．已知，，，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，连接，设，，则，，再利用平行线的性质得出，代入计算即可得解． 【详解】解：连接， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴,， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 2．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质；三角形的内角和得，由对顶角得，由平行线的性质即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ； 故选：C． 3．如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，过作，则，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，过作，    又∵， ∴， ∴，， ， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．如图，已知，平分，在上，平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，，因此． 【详解】解：， ． 平分，平分， ，． ， ． 故答案为：． 5．如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关角平分线的角度计算，平行线的性质等；由三角形内角和得，由角平分线的定义得，由平行线的性质得，再根据三角形内角和，即可求解；能熟练利用平行线的性质求角度是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 【核心考点九 平行线的性质在生活中的应用】 1．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，难度不大，熟练掌握平行线的判定是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项正确，符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意； C、第一次向右拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要则，分两种情况，分别画出图形利用平行线的性质列出关于t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要， ∴， 由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1： ，即， 解得：， 如图2 此时， 即， 解得：， 综上：当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是1或17.5秒， 故选：D． 3．如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【答案】 /36度 /72度 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 4．某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 【答案】150 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．过点B作，可得，进而得到，由即可得出答案． 【详解】解：过点B作，如图， ∵平行地面， ∴， ∵， ∴ ∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：150． 5．如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【核心考点十 平行线的判定与性质证明】 1．如图，点在的延长线上，在下列四个条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析； 【详解】解：A、， ，故该选项不符合题意； B、， ，故该选项不符合题意； C、， ，不能判定，故该选项符合题意； D、， ，故该选项不符合题意； 故选：C 2．如图，已知，，则下列结论：①；；；．正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：因为，所以 (内错角相等，两直线平行)，所以正确； 因为，，所以，即，所以，所以正确； 无法证明． 所以正确的有3个． 故选C． 3．如图，，，平分，，有下列结论：①；；；，其中正确的结论是 填写序号 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键； 根据平行线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：，， ， 故①正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 得，，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故③错误； ， ， 平分， ， ， ， ， 得，，故④正确； 综上，正确的结论有：①②④； 故答案为：①②④ 4．如图， ，点B在上，点F在上，连结，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质，根据平行线的判定和性质，以及图形中角度之间的数量关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， 平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 根据条件无法得到，故③错误． 故答案为：①②④ 5．阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，作出辅助线构造平行线是解题的关键． 对于（1），先由材料中的结论得，再根据平行线的定义得，然后根据平行线的性质得，最后代入整理可得结论； 对于（2），作，可得，由上述可得，及，再根据平行线的性质得，即可得，进而得出，最后根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）解：如图2所示，猜想：． 证明：由材料中的结论得， ∵分别平分和， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）证明：如图3，过点作， ∵， ∴， 由结论可得， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【核心考点十一 平行线间的距离】 1．在同一平面内，，，是三条互相平行的直线，已知与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，因为直线的位置不明确，所以分①直线在直线、外，②直线在直线、之间两种情况讨论．解题的关键是理解：从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 【详解】解：①当直线在直线、外时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； ②当直线在直线、之间时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； 综上，与之间的距离为或， 故选：C． 2．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4，b与c的距离为1，则a与c的距离为 （   ） A．3或4 B．5 C．3或5 D．4或5 【答案】C 【分析】分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解． 【详解】当直线c在a、b之间时， ∵a、b、c是三条平行直线， 而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm， ∴a与c的距离=4−1=3(cm)； 当直线c不在a、b之间时， ∵a、b、c是三条平行直线， 而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm， ∴a与c的距离=4+1=5(cm)， 综上所述，a与c的距离为5cm或3cm. 故选C. 【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于分类讨论两种情况. 3．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当在和的同侧时，距离为； 当在之间时，距离为， 故答案为：或． 4．如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是 ．    【答案】5 【分析】直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为； 【详解】如图，∵直线 ∴ ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为 故答案是：5． 【点睛】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 5．如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证： (2)若 ，且，，．求与之间的距离． (3)若，，．试求点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出根据已知得出，即可得证； （2）根据等面积法求平行线间的距离即可求解； （3）根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可求解． 【详解】（1）证明：       两直线平行，内错角相等    又   （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （2）由知与之间的距离等于点到直线的距离即三角形的边上的高设为．由三角形的面积计算公式可得： 即： 解得： 故：与之间的距离为． （3）设点到直线的距离为，∵，， 如图所示，作，当点与点重合时，到直线的距离为，    当点接近直线时，则点到直线的距离接近， ∴点到直线的距离的取值范围：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，点到直线的距离，平行线之间的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【核心考点十二 图形的平移】 1．2024年3月2日神十七航天员乘组第二次出舱活动取得圆满成功．在下列四个航天员简笔画中，可以由图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中平移的现象．“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．根据平移的意义即可求解． 【详解】 解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是， 故选：B． 2．如图是由六个相同的等边三角形组成的图形，则可由平移得到的三角形（除外）有（    ） ‍ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移，解题的关键是要准确把握平移的性质，平移变换不改变图形的形状、大小和方向．根据平移的性质，平移变换不改变图形的形状、大小和方向，结合题意即可得到答案． 【详解】解：沿方向平移得到，沿方向平移平移得到． 故选C． 3．如图所示一个长方形纸片，按图中所示剪成A、B、C、D四块，图中各实线段的长度如图所示，这四块纸片可重新拼成一个正方形．其拼法是：B、D不动，A往下平移3个单位，再往右平移4个单位，则C应往 平移 个单位，再往 平移 个单位． 【答案】 下 9 右 12 【分析】首先拼剪正方形，然后利用平移变换的性质求解． 【详解】解：如图，正方形EFGH即为所求． 观察图象可知，C应往下平移9个单位，再往右平移12个单位． 故答案为：下，9，右，12． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 4．在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为 cm2． 【答案】25 【分析】观察图形可得一匹飞马的面积正好是边长是5cm的小正方形的面积． 【详解】解：由平移规律可得，一匹“飞马”部分的面积为(cm2)， 故答案为：25 【点睛】本题考查了图形的平移，认真观察图形的形成过程是解题的关键． 5．如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3，右，4 【分析】本题考查了作图—平移，平移的性质； （1）根据平移不改变图形的大小、形状和方向确定出点，的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）中所作图形判断平移方式即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）由图可得：将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形， 故答案为：3，右，4． 【核心考点十三 利用平移的性质求解】 1．这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等．根据平移的性质，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，平移的距离的长度为7， 则之间的距离为7． 故选：B． 2．如图，在中，．将沿向右平移，得到（点E在线段上），若要使成立，则平移的距离是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，掌握“平移前后对应线段相等”是正确解答的关键． 根据平移的性质可得，，由，得到即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，， ∵， ∴． 故选：C． 3．如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 【答案】2.5/ 【分析】本题考查了平移的性质．根据图形的平移，对应点的平移的距离是相等，再结合，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵经过平移得到，连接，且， ∴， 故答案为：． 4．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】16.5 【分析】本题主要考查平移的性质，梯形的面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为16.5． 故答案为：16.5． 5．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查四边形综合，涉及平移性质及求四边形周长等知识，熟记平移性质，数形结合是解决问题的关键． （1）由平移性质得到，数形结合，进而列式求解即可得到向右平移的距离是； （2）由平移性质得到，，利用四边形的周长为，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将沿直线向右平移得到， ，则， ，， ，即，解得， 向右平移的距离是； （2）解：将沿直线向右平移得到， ，， ，， 四边形的周长为． 【核心考点十四 利用平移解决实际问题】 1．如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲乙；②甲乙；③甲乙，对于这三条路线的长度，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，将三条路线进行恰当的平移是解题的关键．将三条路线分别平移，可知这三条路线的长度都是长方形周长的一半． 【详解】解：②③的路线平移如图所示： 三条路线的长度都等于大长方形周长的一半． 故选：D． 2．如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米60元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要（    ） A．298元 B．288元 C．287元 D．297元 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键．根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据长方形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：地毯的长度至少为：（米）； （元）． 答：铺设梯子的红地毯至少需要花费至少元． 故选B． 3．如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑宽度都为的道路，余下的部分种植花草，则种植花草部分的面积为    【答案】960 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，把中间修建的两条道路分别平移到长方形地面的最上边和最左边是做本题的关键．把2条道路平移到长方形地块的一边，可得总种植花草的面积的形状为一个长方形，根据总种植花草的面积列出式子求解即可． 【详解】解：把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形， 那么，这个长方形的长是，宽是，于是种植花草部分的面积为． 所以，种植花草部分的面积为， 故答案为：960． 4．西苑小区有一块长方形空地，现准备建一条马路，如图，有图①和图②两种设计方案，若图中，两种设计方案中图①马路总面积为，图②总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空）    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，两个图形的面积都可以看做是一个长为，宽为的长减去马路的宽的长方形面积，据此可得答案． 【详解】解：设马路的宽为x， 由平移的性质可得，， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；    (1)栽种花卉部分的面积是多少？ (2)当时，面积为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质,多项式乘以多项式在几何图形中的应用，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用平移的性质可得栽种花卉部分是一个长为米，宽为米的长方形，据此求解即可； （2）将代入（1）中的式子求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：栽种花卉部分的面积是． （2）当时，， 答：当时，面积为． 【核心考点十五 平移（作图）】 1．在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 【答案】(1)图见详解 (2)2 【分析】本题主要考查了平移作图以及点到直线的距离． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质结合网格即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求： （2）解：点A到的距离为2个单位长度， 故答案为：2． 2．如图，每个小正方形边长都为1，三角形ABC的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)过A点做所在直线的垂线段； (2)平移三角形，使点A平移到点E（点B平移到点F，点C平移到点G）画出平移后的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图−−平移变换，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）根据网格特征和垂线段的定义画图即可； （2）利用平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， ． 3．如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点A平移至点． (1)在网格图中画出平移后的三角形；（点分别是的对应点）， (2)连接，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析，， 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质： （1）根据点A和点的位置可知平移方式为向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，据此平移方式确定的位置，描出，再顺次连接即可； （2）先根据题意连线，再由平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：作图如下所示： 由平移的性质可得， 故答案为：，． 4．已知在网格中，每个小格均为边长是1的正方形，和线段的位置如图所示，小睿想利用这两个图形画出一个跷跷板，于是他按照以下两个步骤来画： ①将平移，使得顶点平移至，画出平移后的． ②过做线段和线段平行且相等，使得恰好为线段的中点． 请按照小睿的画法画出图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——作已知线段的平行线和平移作图，掌握平移的性质是解答本题的关键． ①根据平移的定义作图即可； ②根据平行线的定义作图即可． 【详解】解：如图，和线段即为所求． 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点、、及点在网格的格点上，平移后的对应点为． (1)在网格中画出平移后所得的； (2)计算线段在平移到线段的过程中，扫过的区域的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据图形平移的性质画出图形即可； （2）用一个矩形的面积分别减去个直角三角形的面积去计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）线段在平移到线段的过程中，扫过的区域的面积． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相交线与平行线【考点卷】（15大核心考点） 【核心考点一 相交线与垂线】 1．如图，三条直线相交于点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，相交于点O， ， 垂足为O，若，则的度数为 ． 4．如图，已知直线相交于点平分平分，则 ． 5．如图，交直线于点O，射线在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 【核心考点二 对顶角与邻补角】 1．如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点O，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，相交于点O，于点O，如果，那么的度数是 °． 4．如图，直线与相交于点，，平分且，则 ． 5．如图，两直线、相交于点，平分，如果． (1)求的大小； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【核心考点三 同位角、内错角、同旁内角】 1．如图所示，下列说法正确的是（    ）． A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 2．如图所示，下列说法错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互为邻补角 3．如图，直线b，c被直线a所截．如果，那么与其内错角之和等于 ． 4．如图，∠1和∠3是直线 和 被直线 所截而成的 角；图中与∠2是同旁内角的角有 个． 5．如图，直线被所截，交点分别为G，F，． (1)试确定与的位置关系，并说明理由； (2)求的同位角、内错角、同旁内角的度数． 【核心考点四 平行公理及其推论】 1．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线a，b，c在同一平面内，若，，则 2．下列说法中，正确的有（    ） ①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，则； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 3．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 4．如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线，相交于P，且，那么与l的位置关系是 ． 5．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，、、都在格点上．    (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线； ②过点画直线的垂线，垂足为点； (2)点到直线的距离是线段________的长度； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 【核心考点五 平行线的判定】 1．如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判断的条件是（　　） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③ 2．如图，下列条件中，能判定的是（　　） ①；②；③；④． A．② B．①③ C．①③④ D．②③④ 3．如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 4．如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    5．若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 【核心考点六 平行线的性质】 1．如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将直线m按箭头所指方向平移至直线n，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，，，，那么 的度数是 ． 4．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点，若，，则的值为 ． 5．如图，已知在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．判断与是否平行，并说明理由． 【核心考点七 根据平行线的性质探究角的关系】 1．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D．无法表示 2．如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 4．已知与的两边分别平行，其中，，则的值为 ． 5．如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 所以． 【核心考点八 根据平行线的性质求角的度数】 1．已知，，，若，则为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    4．如图，已知，平分，在上，平分．若，则的度数为 ． 5．如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 【核心考点九 平行线的性质在生活中的应用】 1．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 2．为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 3．如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 4．某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 5．如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【核心考点十 平行线的判定与性质证明】 1．如图，点在的延长线上，在下列四个条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，则下列结论：①；；；．正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个 3．如图，，，平分，，有下列结论：①；；；，其中正确的结论是 填写序号 4．如图， ，点B在上，点F在上，连结，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 5．阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 【核心考点十一 平行线间的距离】 1．在同一平面内，，，是三条互相平行的直线，已知与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 2．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4，b与c的距离为1，则a与c的距离为 （   ） A．3或4 B．5 C．3或5 D．4或5 3．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 4．如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是 ．    5．如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证： (2)若 ，且，，．求与之间的距离． (3)若，，．试求点到直线的距离的取值范围． 【核心考点十二 图形的平移】 1．2024年3月2日神十七航天员乘组第二次出舱活动取得圆满成功．在下列四个航天员简笔画中，可以由图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是由六个相同的等边三角形组成的图形，则可由平移得到的三角形（除外）有（    ） ‍ A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图所示一个长方形纸片，按图中所示剪成A、B、C、D四块，图中各实线段的长度如图所示，这四块纸片可重新拼成一个正方形．其拼法是：B、D不动，A往下平移3个单位，再往右平移4个单位，则C应往 平移 个单位，再往 平移 个单位． 4．在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为 cm2． 5．如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 【核心考点十三 利用平移的性质求解】 1．这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 2．如图，在中，．将沿向右平移，得到（点E在线段上），若要使成立，则平移的距离是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 3．如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 4．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 5．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【核心考点十四 利用平移解决实际问题】 1．如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲乙；②甲乙；③甲乙，对于这三条路线的长度，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米60元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要（    ） A．298元 B．288元 C．287元 D．297元 3．如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑宽度都为的道路，余下的部分种植花草，则种植花草部分的面积为    4．西苑小区有一块长方形空地，现准备建一条马路，如图，有图①和图②两种设计方案，若图中，两种设计方案中图①马路总面积为，图②总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空）    5．如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；    (1)栽种花卉部分的面积是多少？ (2)当时，面积为多少？ 【核心考点十五 平移（作图）】 1．在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 2．如图，每个小正方形边长都为1，三角形ABC的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)过A点做所在直线的垂线段； (2)平移三角形，使点A平移到点E（点B平移到点F，点C平移到点G）画出平移后的三角形． 3．如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点A平移至点． (1)在网格图中画出平移后的三角形；（点分别是的对应点）， (2)连接，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹） 4．已知在网格中，每个小格均为边长是1的正方形，和线段的位置如图所示，小睿想利用这两个图形画出一个跷跷板，于是他按照以下两个步骤来画： ①将平移，使得顶点平移至，画出平移后的． ②过做线段和线段平行且相等，使得恰好为线段的中点． 请按照小睿的画法画出图形． 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点、、及点在网格的格点上，平移后的对应点为． (1)在网格中画出平移后所得的； (2)计算线段在平移到线段的过程中，扫过的区域的面积． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$