第05讲 平行线的性质（3大知识点+10大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

第05讲 平行线的性质（3大知识点+10大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握两直线平行同位角相等； 2．掌握两直线平行内错角相等； 3．掌握两直线平行同旁内角互补。 知识点1：两直线平行同位角相等 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 知识点2：两直线平行内错角相等 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 知识点3：两直线平行同旁内角互补 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 考点一：两直线平行同位角相等 例1．如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，，过点B作于B，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【变式1-3】如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为 ． 【变式1-4】如图，直线，相交于点，于点，交于点．若，求的度数． 考点二：两直线平行内错角相等 例2.如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，，，则图中与相等的角（不包括）共有 个． 【变式2-3】如图，在中，平分，，交于点．若，则的度数为 ． 【变式2-4】如图，，、分别平分和，且．那么直线与的位置关系是什么？请说明理由． 考点三：两直线平行同旁内角互补 例3.如图，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，直线，直线被直线所截，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，若，，和互余，则 ， ． 【变式3-3】如图，，，，则的值为 . 【变式3-4】如图，，，平分，，，求的度数． 考点四：根据平行线的性质探究角的关系 例4.已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，若，，则图中与互补的角有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式4-2】如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【变式4-3】如图，若已知，则、、三者之间的数量关系是 ． 【变式4-4】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 考点五：根据平行线的性质求角的度数 例5.如图所示，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 【变式5-3】如图，，平分，若，则 ． 【变式5-4】（1）如图所示，已知是的平分线，，，求的度数． （2）已知，垂足为O，经过点O．求的度数． （3）如图，是的平分线，，求，的度数． 考点六：平行线的性质在生活在的应用 例6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 【变式6-3】如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是 度．    【变式6-4】如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．    考点七：根据平行线判定与性质求角度 例7.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置（），并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是 °． 【变式7-3】如图，，点E，F为与之间两点，，若，，则的度数为 ． 【变式7-4】如图，是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向． (1)求的度数； (2)求的度数． 考点八：根据平行线判定与性质证明 例8.已知，如图，平分，平分，，且，则下列结论①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】如图，，则满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】将一副三角板按如图放置，则下列结论：如果，则有；；③如果，则有；如果，那么．其中正确的有 （填正确的序号）． 【变式8-3】完成下面的证明： 如图，在四边形中，平分交线段于点，，，求的度数． 解：平分（已知） （    ） 又（    ） ______（等量代换） （    ） （    ） 又（已知） ______． 【变式8-4】如图，已知，，求证：． 阅读下面的解答过程，并填空（理由）． 证明：（已知）， （   ） 又（已知）， （   ） （   ） 考点九：求平行线间的距离 例9.平面内自上而下有三条直线a，b，c，且，若a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（    ） A．3cm B．7cm C．2cm D．5cm 【变式9-1】已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是（    ） A． B． C．2或 D．不能确定 【变式9-2】在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为 ． 【变式9-3】如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 【变式9-4】如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．    （1）若∠1＝60°，求∠2的度数； （2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离． 考点十：利用平行线间距离解决问题 例10.如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【变式10-1】如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【变式10-2】如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．    【变式10-3】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【变式10-4】按下列要求画图并填空．    (1)过点B画直线的垂线，交直线于点D， (2)过点B画直线的平行线； (3)直线和直线的距离是线段_______的长； (4)若平分且，则_______． 1．如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，，则 ． 7．如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 8．如图，，，，则的值为 . 9．已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为 ． 10．将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的是 （填写序号）． 11．已知：如图所示，，平分，交于M，，求的度数． 12．如图，，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．如图，已知，，点E在线段延长线上，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 15．已知，试回答下列问题： (1)如图①，判断是否平行． (2)如图②，若点在上，且满足，并且平分．求的度数． (3)在（2）的条件下，若平行移动，如图③，那么与的度数之比是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平行线的性质（3大知识点+10大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握两直线平行同位角相等； 2．掌握两直线平行内错角相等； 3．掌握两直线平行同旁内角互补。 知识点1：两直线平行同位角相等 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 知识点2：两直线平行内错角相等 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 知识点3：两直线平行同旁内角互补 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 考点一：两直线平行同位角相等 例1．如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，， ∴， 故选：C． 【变式1-1】如图，，过点B作于B，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余得出的度数，进而利用两直线平行，同位角相等解答即可； 此题考查平行线的性质，关键是利用两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：于B，， ， 故选：B． 【变式1-2】如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平角定义得，再根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，且， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 【变式1-3】如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，通过角的计算可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出，此题得解． 【详解】解：给图中角标上序号，如图所示． ，，， ． 直尺的上、下两边平行， ． 故答案为：． 【变式1-4】如图，直线，相交于点，于点，交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线性质．先根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”得，再根据垂直的定义得，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 考点二：两直线平行内错角相等 例2.如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．由已知和邻补角互补易得，则，所以，再根据对顶角相等可得的度数，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式2-1】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识点及正确作出辅助线是解题的关键． 过点向右作，根据平行线的性质可得，，从而求出度数即可． 【详解】如图，过点向右作， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案：A． 【变式2-2】如图，，，则图中与相等的角（不包括）共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质，得到相等的角，再等量代换即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角有、、、、共5个． 故答案为：5． 【变式2-3】如图，在中，平分，，交于点．若，则的度数为 ． 【答案】20 【分析】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，根据平行线的性质求得度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，然后利用两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶20． 【变式2-4】如图，，、分别平分和，且．那么直线与的位置关系是什么？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，由角平分线的定义得出，再证明即可得出结论． 【详解】解：． 理由为：因为分别平分和， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 考点三：两直线平行同旁内角互补 例3.如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，根据垂线的定义得到，进而求出，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-1】如图，直线，直线被直线所截，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”． 根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”和即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3-2】如图所示，若，，和互余，则 ， ． 【答案】 【分析】由平行线的性质可知，根据和互余可求得，最后根据平行线的性质可求得．本题主要考查的是平行线的性质、余角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵和互余， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：；． 【变式3-3】如图，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点作，过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ， 故答案为：． 【变式3-4】如图，，，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行公理的推论可得，再根据平行线的性质可得，进而可得的度数，然后可求出的度数，再根据角平分线的性质可得，最后再利用平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行公理的推论，平行线的性质（两直线平行同旁内角互补），角平分线的性质，平行线的性质（两直线平行内错角相等）等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 考点四：根据平行线的性质探究角的关系 例4.已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即． 故选：C． 【变式4-1】如图，若，，则图中与互补的角有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质和补角的定义，结合图形根据平行线的性质和补角的定义进行解答即可，掌握平行线的性质和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：对图中各角进行如下标注，    ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上可知互补的角有，，，，共个， 故选：． 【变式4-2】如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过，，的顶点，分别作的平行线，根据平行线的性质得出，，，，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵， ∴， ∴； 同理可得， ∴，，， ∴， 则， ， 即 ∴； 故答案为：． 【变式4-3】如图，若已知，则、、三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键．根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵， ∴，则 ∴， 故答案为：． 【变式4-4】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解； （2）根据，得，再由三角形外角的性质即可求证； （3）连接，由，，即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点，   ，， ， ， ， 故答案为；； （2）解： ， ， ， ； （3）证明：，证明： 连接并延长，   ，， ， ． 考点五：根据平行线的性质求角的度数 例5.如图所示，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，根据得到，再根据平角定义结合进行求解即可． 【详解】解：如图， ， ，， ， 故选：C． 【变式5-1】如图，已知，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 过点E作，首先求出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点E作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 【变式5-2】如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】如图，，平分，若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．根据邻补角的定义可求，利用平行线的性质结合角平分线的定义，得出，进而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 【变式5-4】（1）如图所示，已知是的平分线，，，求的度数． （2）已知，垂足为O，经过点O．求的度数． （3）如图，是的平分线，，求，的度数． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查了对顶角的性质，互余关系，角平分线的性质，平行线的性质及角的运算等知识，掌握这些基本性质是解题的关键． （1）由，，可求得的度数；由是的平分线，可求得的度数，再由即可求解； （2）由对顶角相等可求得，再由互余关系可求得； （3）由是的平分线，得；由，得，． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵是的平分线， ∴， ∴； 故； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 故，； （3）∵是的平分线， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴． 故． 考点六：平行线的性质在生活在的应用 例6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 【变式6-1】如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等，可知，进而得出结果． 【详解】解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出，再由两直线平行同旁内角互补即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵水中的两条光线平行，， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ∴， ∵， 故答案为：． 【变式6-3】如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是 度．    【答案】60°或120° 【分析】本题主要考查了平行线的性质，分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点在点的左侧时，如图所示：   ，， ； 当点在点的右侧时，如图所示：   ，， ； 综上分析可知：的度数为：或． 故答案为：或． 【变式6-4】如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．    【答案】 【分析】根据方位角的概念，画出图形，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和求解． 【详解】解：如图，在处测得处在的北偏东方向上， 则， 在海岛上的观察所测得在的南偏西方向上， 则， ∴，又， ∴， ， ．    【点睛】本题主要考查方向角的概念，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和求解． 考点七：根据平行线判定与性质求角度 例7.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质与判定．首先根据题意作辅助线：过点作，即可得，则可求得：，，进而可得的值． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ，， ， ， 故选：D． 【变式7-1】如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过E作，根据平行线的性质即可得到，再根据，分别为的角平分线，即可得出，最后根据四边形内角和进行计算即可解答． 本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识，正确作出辅助线构造平行线成为解题的关键． 【详解】解：如图所示，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，分别为的角平分线， ∴， ∴四边形中，． 故选：D． 【变式7-2】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置（），并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是 °． 【答案】38 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，两直线平行，内错角相等．作，根据平行线的性质求得，，再结合三角板的角的度数即可求得答案． 【详解】解：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：38． 【变式7-3】如图，，点E，F为与之间两点，，若，，则的度数为 ． 【答案】/16度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．分别过点E，F作，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点E，F作， ∵， ∴， ∴，，， ∵，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式7-4】如图，是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义以及平行线的性质是正确解答的前提． （1）根据方向角和平行线的性质，求出即可； （2）根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∵， ， ， ； （2）解：过点作， ∵， ∴， ，， ． 考点八：根据平行线判定与性质证明 例8.已知，如图，平分，平分，，且，则下列结论①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键．根据平行线的判定定理可判定①，根据三角形的内角和定理可判定②，根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义可判定④． 【详解】∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 但不能得出，平分，故③错误； ∴正确的有3个． 故选：C． 【变式8-1】如图，，则满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．如图，过点作，过点作，根据平行线的性质可得，，根据可得，根据平行线的性质可得，进而根据角的和差关系即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式8-2】将一副三角板按如图放置，则下列结论：如果，则有；；③如果，则有；如果，那么．其中正确的有 （填正确的序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，求出，根据平行线的判定定理可得正确；根据，可判断正确；根据平行线的性质求出，进而求出，然后可判断正确；证明，根据平行线的性质可得正确，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，正确； ∵，， ∴，正确； 若， ∴， ∴，正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，正确， 综上所述，正确的结论为：， 故答案为：． 【变式8-3】完成下面的证明： 如图，在四边形中，平分交线段于点，，，求的度数． 解：平分（已知） （    ） 又（    ） ______（等量代换） （    ） （    ） 又（已知） ______． 【答案】角平分线的定义；已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质、平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 根据提示并结合角平分线的性质、平行线的判定与性质进行推理论证即可． 【详解】解：平分 （已知）， （ 角平分线的定义 ）， 又（已知）， （ 等量代换 ）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， ． 故答案为：角平分线的性质；已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；． 【变式8-4】如图，已知，，求证：． 阅读下面的解答过程，并填空（理由）． 证明：（已知）， （   ） 又（已知）， （   ） （   ） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同位角相等． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，首先根据同旁内角互补，两直线平行证明，然后根据平行公理的推论得到，进而得到． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行） 又（已知）， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （两直线平行，同位角相等）． 考点九：求平行线间的距离 例9.平面内自上而下有三条直线a，b，c，且，若a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（    ） A．3cm B．7cm C．2cm D．5cm 【答案】B 【分析】本题考查了平行线之间的距离．由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 故选：B． 【变式9-1】已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是（    ） A． B． C．2或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键．画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况，如图： （1）直线与的距离是3厘米厘米厘米； （2）直线与的距离是5厘米厘米厘米； 故选：C 【变式9-2】在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为 ． 【答案】3或9/9或3 【分析】本题考查了两平行之间的距离，①当在、之间，②当在、之间，即可求解，能根据平行线的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当在、之间， 直线a和c的距离为； ②当在、之间， 直线a和c的距离为； 故答案：3或9． 【变式9-3】如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴平行线a、b之间的距离为， 故答案为：8． 【变式9-4】如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．    （1）若∠1＝60°，求∠2的度数； （2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质可求出的度数，再根据垂直的性质即可得； （2）先画出a与b之间的距离，再利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）如图，∵直线， 又 ； （2）如图，过A作于D，则AD的长即为a与b之间的距离 解得 故直线a与b的距离为．    【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的性质等知识点，属于基础题，熟记各性质是解题关键． 考点十：利用平行线间距离解决问题 例10.如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：． 【变式10-1】如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可知三角形和梯形的高相等，据此分别表示出两个图形的面积即可得到答案． 【详解】解：设两平行线间的距离为h， ∴三角形面积为，梯形面积为， ∴①的面积是②的面积的2倍， 故选：C． 【变式10-2】如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．    【答案】20 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可得点C到与点B到的距离相等，设点C到与点B到的距离为h，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点C到与点B到的距离相等， 设点C到与点B到的距离为h， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为20， 故答案为：20． 【变式10-3】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 【变式10-4】按下列要求画图并填空．    (1)过点B画直线的垂线，交直线于点D， (2)过点B画直线的平行线； (3)直线和直线的距离是线段_______的长； (4)若平分且，则_______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)； (4)． 【分析】（1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据平行线的定义画出图形； （3）根据平行线之间的距离，判断即可； （4）利用平行线的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：直线和直线的距离是线段的长． 故答案为：；    （4）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，垂线，平行线之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．分别过点作，利用平行线的性质建立角之间的关系即可解答． 【详解】解：分别过点作， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的含义，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键． 由可得，可得，再利用邻补角的含义可得答案． 【详解】解：如图，标记角， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B 3．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 5．如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，先根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质，由此得到直线b绕点A逆时针旋转． 【详解】解：如图，当直线b与直线c平行时，直线b与直线夹角锐角是， ， 的邻补角为， 当直线b与直线c平行时，， 直线b绕点A逆时针旋转． 故选：A． 6．如图，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角，先过点作，分别得，，再根据邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由，根据“同位角相等，两直线平行”，得出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据补角的和为，则计算得出答案即可． 【详解】解：如图，标记， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点作，过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ， 故答案为：． 9．已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，和余角与补角的概念，掌握余角与补角的概念是解题的关键．根据，，得出，再设，则，根据题意列式得求解即可． 【详解】如图，，， ， ∴， 且， ∴， 设， 则， 则的补角为， 的余角为， ∴， 解得， 的度数为， 故答案为：． 10．将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：①， ， ，故①正确; ②， ，故②正确； ③， ， ，故③正确； ④， ， ，故④正确； 综上所述，①②③④均正确； 故答案为：①②③④ 11．已知：如图所示，，平分，交于M，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线定义及邻补角定义．由于，根据两直线平行，同旁内角互补，可知；而平分，由角平分线定义，可知；又根据邻补角定义，可知；而由，根据两直线平行，同位角相等，得出． 【详解】解：，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（等量代换） 是直线，（已知） ．（邻补角定义） ．（等式性质） 平分，（已知） ．（角平分线定义） ，（已知） ．（两直线平行，同旁内角互补） ．（等式性质） 答：． 12．如图，，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，据此求解即可证明； （2）设，则，根据平分线的性质结合角平分线的定义得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即； （2）解：设，则， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 13．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质； （1）由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出； （2）由得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可得出． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：， ， 又， ， ， ． 14．如图，已知，，点E在线段延长线上，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题为平行线与角平分线的综合题，考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（2）步要注意根据题意设出未知数，用含x的式子表示出相关角，列出方程解答． （1）根据得到，根据角平分线的定义得到，即可证明； （2）设，则，根据得到，进而得到，根据，得到，从而求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴，         ∵ ， ∴ ， ∴；        ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， 可设， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴， 解得：， ∴． 15．已知，试回答下列问题： (1)如图①，判断是否平行． (2)如图②，若点在上，且满足，并且平分．求的度数． (3)在（2）的条件下，若平行移动，如图③，那么与的度数之比是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值． 【答案】(1) (2) (3)与的度数之比不发生变化，与的度数之比是，理由见解析 【分析】贝泰妮主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据平行线的性质得到，进而得到，则； （2）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，再由，可得； （3）由平行线的性质得到，则可得到，则与的度数之比是． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （3）解：与的度数之比不发生变化，为，理由如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴与的度数之比是． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$