6.3 空间向量的应用（5个知识点+14类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

6．3 空间向量的应用 课程标准 学习目标 （1）能归纳出用向量方法解决平行与垂直问题的一般思路. （1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得距离，体会用向量方法解决距离问题的优势． （2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用于解决有关夹角问题．体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势． （1）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系. （2）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题． （3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题． 知识点01 直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式． 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【即学即练1】（2024·高二课时练习）若向量都是直线的方向向量，则 . 知识点02 用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面 知识点03 用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【即学即练3】（2024·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面； 知识点04 用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，． 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【即学即练4】（2024·江苏无锡·高二辅仁高中校考期末）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点. (1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置. 知识点05 用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解- 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离． 【即学即练5】（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且分别为棱的中点．    (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 题型一：直线的方向向量 【典例1-1】已知，在直线上，写出直线的一个方向向量 . 【典例1-2】已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则 . 【方法技巧与总结】 理解直线方向向量的概念 （1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． （2）直线的方向向量不唯一． 【变式1-1】已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则 . 【变式1-2】经过点，点的直线的一个方向向量是 . 题型二：平面的法向量 【典例2-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【典例2-2】在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【方法技巧与总结】 求平面法向量的步骤 （1）设出平面的法向量为． （2）找出（求出）平面中两个不共线的向量的坐标，． （3）根据法向量的定义建立关于，，的方程组 （4）解方程组，取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量）． 【变式2-1】四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 【变式2-2】如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    题型三：直线和直线平行 【典例3-1】如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：； 【典例3-2】长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【方法技巧与总结】 证明两直线平行的方法 方法一：平行直线的传递性． 方法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量，，证明，即． 方法三：坐标法，建立空间直角坐标佘，把直线的方向向量用坐标表示，如， ，即证明，即且且． 【变式3-1】（2024·高二课时练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【变式3-2】（2024·高二课时练习）如图，在正方体中，棱长为2，M，N分别为，AC的中点，证明：. 题型四：直线与平面的平行 【典例4-1】如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【典例4-2】如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【方法技巧与总结】 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： （1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． （2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． （3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 【变式4-1】如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【变式4-2】已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式4-3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型五：平面和平面平行 【典例5-1】在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【典例5-2】（2024·高二课时练习）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面. 【方法技巧与总结】 证明面面平行问题的方法 （1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【变式5-1】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.    【变式5-2】（2024·湖南株洲·高二校考期末）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 题型六：直线和直线垂直 【典例6-1】如图，直三棱柱中，，，，，是的中点． (1)求直线的一个方向向量； (2)求证：． 【典例6-2】如图，在棱长均为2的三棱柱中，，求证：． 【方法技巧与总结】 利用向量方法证明线线垂直的方法 （1）坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直． （2）基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直． 【变式6-1】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且.求. 【变式6-2】如图，三棱台中，平面⊥平面，，.证明：. 【变式6-3】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，， 证明：. 【变式6-4】如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，，. (1)求证：平面； (2)证明：在线段上存在点D，使得，并求的值. 题型七：直线与平面垂直 【典例7-1】直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 【典例7-2】如图，在三棱柱中，，，是棱的中点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【方法技巧与总结】 用向量法证明线面垂直的方法 （1）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直． （2）证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 【变式7-1】如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【变式7-2】如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)若点在棱，且平面，求的长度. 【变式7-3】如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点. (1)求的模； (2)求证：平面. 题型八：平面与平面垂直 【典例8-1】如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【典例8-2】如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【方法技巧与总结】 利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． 【变式8-1】如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【变式8-2】已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【变式8-3】如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 题型九：两条异面直线所成的角 【典例9-1】在直棱柱中，，，，D为中点，则直线，所成角的余弦值为 . 【典例9-2】已知四面体如图所示，其中为面积为的等边三角形，，点A在平面上的射影为点B，，的中点分别为M，N，则直线，所成角的余弦值为 . 【方法技巧与总结】 运用向量法常有两种途径 （1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式求向量，的夹角时，关键是求出及与，一般是把，用基向量表示出来，再求有关的量． （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单． 【变式9-1】在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 . 【变式9-2】如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线的夹角的余弦值． 【变式9-3】如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型十：直线与平面所成的角 【典例10-1】如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【典例10-2】如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，点P满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【方法技巧与总结】 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下： 【变式10-1】如图，已知在三棱锥中，平面，，，为线段上一点，，为的中点，． (1)试确定点的位置； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式10-2】如图，在三棱柱中，与的距离为，，． (1)证明：平面平面； (2)试判断在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值是，若有，请求出的位置，若没有，请说明理由． 题型十一：二面角 【典例11-1】如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【典例11-2】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形且垂直于底面. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【方法技巧与总结】 利用向量法求二面角的步骤 （1）建立空间直角坐标系． （2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量． （3）求两个法向量的夹角． （4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角． （5）确定二面角的大小． 【变式11-1】在三棱台中，若平面，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； 【变式11-2】如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为正方形，为棱PD的中点，为边AB的中点. (1)求证：平面POC； (2)若侧面底面ABCD，且，，求二面角的余弦值. 【变式11-3】如图，在三棱柱中，底面，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型十二：点到平面的距离 【典例12-1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)求直线平面夹角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【典例12-2】如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【方法技巧与总结】 求点到平面的距离的主要方法 （1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． （2）在三棱锥中用等体积法求解． （3）向量法：（为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段） 【变式12-1】如图，已知四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，CD⊥平面PAD，△PAD是正三角形，E，F，G，O分别为PC，PD，BC，AD的中点.    (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)求点A到平面EFG的距离. 【变式12-2】如图，在四棱锥中，平面，，，，，为PC中点，在棱PB上. (1)求证：平面平面； (2)求B到平面的距离； (3)在平面内，求线段的长. 题型十三：点到直线的距离 【典例13-1】已知点，点，则点到直线的距离为 ． 【典例13-2】如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点.（i）异面直线与所成角的余弦值为 ；（ii）若点在线段上运动，则到直线的距离的最小值为 .    【方法技巧与总结】 用向量法求点到直线距离的步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求所求点与直线上某一点所构成的向量； （3）若已知直线的方向向量，则利用公式求解；若已知直线的法向量，可利用求解． 【变式13-1】已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为 ． 【变式13-2】已知，则点到直线的距离为 . 【变式13-3】已知空间三点，，，则点到直线的距离是 . 题型十四：直线（平面）到平面的距离 【典例14-1】在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【典例14-2】直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【方法技巧与总结】 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤 第一步，确定法向量； 第二步，选择参考向量； 第三步，利用公式求解． 【变式14-1】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【变式14-2】已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ． 【变式14-3】如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    1．如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 2．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 3．已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论错误的是（   ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 7．如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 9．（多选题）在空间直角坐标系中，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 10．（多选题）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11．已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为 . 12．在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论： ①； ②为定值； ③存在点，使得平面平面； ④存在点，使得点到平面的距离为2. 其中所有正确结论的序号是 . 13．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． (1)设平面的法向量为，求的值； (2)求与 所成角的余弦值． 14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的正弦值为， （i）求长； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 15．如图，三棱台中，侧棱平面，， (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值. 16．在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．3 空间向量的应用 课程标准 学习目标 （1）能归纳出用向量方法解决平行与垂直问题的一般思路. （1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得距离，体会用向量方法解决距离问题的优势． （2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用于解决有关夹角问题．体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势． （1）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系. （2）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题． （3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题． 知识点01 直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式． 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【即学即练1】（2024·高二课时练习）若向量都是直线的方向向量，则 . 【答案】/ 【解析】根据题意可知， 故存在唯一实数，使，即， 则，解得， 所以. 故答案为：. 知识点02 用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面 【解析】如图建立空间直角坐标系， 则， ，， ． 显然平面的一个法向量为， 而， ∵，平面，∴MN//平面BCE． 知识点03 用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【即学即练3】（2024·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面； 【解析】证明：在直三棱柱中，，显然射线两两垂直， 以点为原点，射线的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 因为，，D为BC的中点，E为上的点，且， 则，， 于是，即， 而平面， 所以平面. 知识点04 用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，． 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【即学即练4】（2024·江苏无锡·高二辅仁高中校考期末）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点. (1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置. 【解析】（1） 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则 于是，,设平面的法向量为， 则 故可取.设直线与平面所成角为， 则 即直线与平面所成角的正弦值是. （2） 如图，设，，则，因，故，解得：， 则,设平面的法向量为， 则故可取. 又,设平面的法向量为， 则故可取. 设平面与平面的夹角为，则， 解得：或，因，故，即当点为的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 知识点05 用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解- 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离． 【即学即练5】（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且分别为棱的中点．    (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1）在中，易知且是的中点， 故，且在正方形中，，面面， 面面，面面，故面， 易知面，故，又，， 综上 （2）如图，以为坐标原点，过平行于的直线为轴，以，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，，，， ． 设平面的法向量为， 由，得，取，得，． 所以， 又， 所以点到平面的距离 题型一：直线的方向向量 【典例1-1】已知，在直线上，写出直线的一个方向向量 . 【答案】（答案不唯一，与此向量共线的非零向量均可） 【解析】点，，则， 而点在直线上，所以直线的一个方向向量可以为. 故答案为： 【典例1-2】已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则 . 【答案】6 【解析】因为，所以∥，故存在实数使得， 则，解得，， 所以. 故答案为：6. 【方法技巧与总结】 理解直线方向向量的概念 （1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． （2）直线的方向向量不唯一． 【变式1-1】已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则 . 【答案】4 【解析】由题得，设，则，解得. 故答案为：4 【变式1-2】经过点，点的直线的一个方向向量是 . 【答案】(时，均可) 【解析】点，点在直线上， 则直线的一个方向向量为， 时，也都是直线的方向向量. 故答案为：（时，均可） 题型二：平面的法向量 【典例2-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【解析】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 【典例2-2】在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【解析】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 【方法技巧与总结】 求平面法向量的步骤 （1）设出平面的法向量为． （2）找出（求出）平面中两个不共线的向量的坐标，． （3）根据法向量的定义建立关于，，的方程组 （4）解方程组，取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量）． 【变式2-1】四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 【解析】因为，，所以， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以是三条两两垂直的线段， 以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 于是，，. 易得是平面的法向量. 设平面的一个法向量为， 则，解得. 又，解得. 所以即为平面的法向量， 所以即为平面的法向量，是平面的法向量. 【变式2-2】如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【解析】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示： 由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 题型三：直线和直线平行 【典例3-1】如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：； 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 , 故, 由于，故，显然，不重合，故；； 【典例3-2】长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【解析】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 【方法技巧与总结】 证明两直线平行的方法 方法一：平行直线的传递性． 方法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量，，证明，即． 方法三：坐标法，建立空间直角坐标佘，把直线的方向向量用坐标表示，如， ，即证明，即且且． 【变式3-1】（2024·高二课时练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【解析】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则、、、、、、、， 由题意知、、、， ∴，． ∴，又，不共线， ∴. 【变式3-2】（2024·高二课时练习）如图，在正方体中，棱长为2，M，N分别为，AC的中点，证明：. 【解析】连接,如图， 由正方体知四边形是正方形，且M是的中点， 所以， 即是的中点， 又N是AC的中点， 所以. 题型四：直线与平面的平行 【典例4-1】如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【解析】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 【典例4-2】如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【解析】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 【方法技巧与总结】 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： （1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． （2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． （3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 【变式4-1】如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【解析】如图，取的中点O，以O为坐标原点，，所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立如图空间直角坐标系Oxyz． 由题意知，，，． 设点C的坐标为，则． 因为， 所以， 所以Q． 因为M为的中点，所以． 因为P为的中点，所以P， 所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 因为平面，所以平面． 【变式4-2】已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2） 作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 【变式4-3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）如图，连接,由于平面，平面,则. 且，，则. 又，则，故. 又,则,又,则四边形为平行四边形.则. 平面,平面,则平面(∗). 由于，，则.又，则, 则,则，则. 平面,平面,则平面(∗∗). 平面,结合 (∗)，(∗∗)，得到平面平面. （2）由前面证明知道，四边形为矩形，平面， 则两两垂直，可建立空间直角坐标系.则 , 设,则. 设平面法向量为，且. 则,则，则解得. 又,若平面，则. 则， 则，解得.此时. 故棱上存在一点，使得平面，. 题型五：平面和平面平行 【典例5-1】在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【解析】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 【典例5-2】（2024·高二课时练习）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面. 【解析】证明:　如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则有，，， ， ， ， 于是， ，，， 显然有，，所以，， 由，平面，平面，平面， 同理平面， 平面，， 所以平面平面 【方法技巧与总结】 证明面面平行问题的方法 （1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【变式5-1】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.    【解析】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图 则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,， ，，同理， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又平面 平面与平面平行． 【变式5-2】（2024·湖南株洲·高二校考期末）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【解析】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，． 由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 题型六：直线和直线垂直 【典例6-1】如图，直三棱柱中，，，，，是的中点． (1)求直线的一个方向向量； (2)求证：． 【解析】（1） 由题意知，两两垂直，故以点B为原点， 分别以、与的方向为与轴的正方向，建立空间直角坐标系， 所以、、、、 、． 则，是直线的一个方向向量 （2）因为M是的中点，所以，所以， 又因为， 所以，所以． 【典例6-2】如图，在棱长均为2的三棱柱中，，求证：． 【解析】在三棱柱中，是等边三角形，， 则， 所以. 【方法技巧与总结】 利用向量方法证明线线垂直的方法 （1）坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直． （2）基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直． 【变式6-1】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且.求. 【解析】法一：平面，四边形为矩形， 故可以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， 因为，所以，解得， 故； 法二：如图，连接，因为底面，且底面， 所以，又因为，， 、平面，所以平面， 又平面，所以， 从而， 因为，所以， 所以，于是，所以，即， 所以，所以； 法三：如图，连接交于点N， 因为底面，且底面，所以， 又因为，， 、平面，所以平面， 又平面，所以， 在矩形中，有， 所以，即， 令，因为M为的中点， 则，，， 由， 得，解得， 所以. 【变式6-2】如图，三棱台中，平面⊥平面，，.证明：. 【解析】法一：几何证法 作交于，连接， 因为平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，而平面，即有， 因为，所以，所以， 在中， ， 即有，所以， 由棱台的定义可知，，所以， 又平面，而平面，则有，， 而，平面，平面， 所以平面，而平面，所以. 法二：空间向量坐标系方法 作交于， 因为平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设OC=1，因为，， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以，即， 又因为棱台中，所以. 法三：三余弦定理法 因为平面平面， 所以， 所以，又因为， 所以， 所以，所以，即， 又因为，所以. 【变式6-3】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，， 证明：. 【解析】方法一：几何法 因为，，所以， 又因为，，所以平面， 又因为，构造正方体，如图所示， 过作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为分别为和的中点，所以是的中点， 由于，故≌，则, 又因为，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. 方法二：空间向量法 因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，底面， 所以， 因为，，所以， 又平面，所以平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 所以，， 由题设（）， 因为， 所以，所以，则. 方法三：利用向量四则运算和数量积的运算律求解 因为，，所以， 故，， 所以 ， 所以，则． 【变式6-4】如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，，. (1)求证：平面； (2)证明：在线段上存在点D，使得，并求的值. 【解析】（1）四边形是正方形， ， 又平面平面， 平面平面，平面， 平面. （2）由（1）知， ， 由勾股定理知， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 设是直线上一点，且， 又，， ， 解得，即， ， 因为，，所以，即， 解得， ， 所以在线段上存在点D，使得，此时. 题型七：直线与平面垂直 【典例7-1】直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 【解析】（1）直三棱柱中，平面，又， 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，， ∴，，，，， 所以； （2）求得，． ∴，，， ∴，， ∴，，即， 又平面，平面，， ∴⊥平面． 【典例7-2】如图，在三棱柱中，，，是棱的中点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）如图，取中点，连接. ∵,∴, ∵,,, ∴与全等， ∴，∴， ∵，、平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）不存在，理由如下： 由（1）得，平面， ∵平面， ∴平面平面， 如图，过点作于点. ∵平面平面，平面， ∴平面 由题意得， ∴，设三棱柱的高为， ∵三棱锥的体积为， ∴三棱锥的体积为，即， ∴，即， ∴，∴点为中点. 取中点，则，∴. 故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ∴， ，，. 设，则， ∴， 要使平面，则需且， 由得，，解得， 由得，，解得， 由两个方程解出值不同可得在棱上不存在点使得平面. 【方法技巧与总结】 用向量法证明线面垂直的方法 （1）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直． （2）证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 【变式7-1】如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【解析】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的一个法向量为， 则即， 令，则， 所以，故直线平面． 【变式7-2】如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)若点在棱，且平面，求的长度. 【解析】（1）证明：连接，，， 因为，，，分别为棱，，，的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以，所以，，，四点共面. （2）以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，，，，，分别为棱，，，的中点， 可得，，，， 则，， 设，即，则， 由平面，故， 即，解得， 所以. 【变式7-3】如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点. (1)求的模； (2)求证：平面. 【解析】（1）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系，则，， 所以，则. （2）依题意得、、、、， 则，，， 所以，， 则，，即，， 又因为平面，所以平面. 题型八：平面与平面垂直 【典例8-1】如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【解析】由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有， 则， 所以， ， 即， 又，平面， 故平面.又平面， 所以平面平面. 【典例8-2】如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【解析】（1）在直三棱柱中，， 又平面， 所以平面，因此两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以， 所以． （2）由（1）知， ， 设平面BEA的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，则； ，即 令，则，所以， 所以平面平面． 【方法技巧与总结】 利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． 【变式8-1】如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【变式8-2】已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【解析】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面， ∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则， ∵，，∴， ∴，即. ∵， ∴，即， 又∵平面PAB， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【变式8-3】如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【解析】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为直角梯形，设， 所以， 解得，即； （2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 因为， 所以平面平面． 题型九：两条异面直线所成的角 【典例9-1】在直棱柱中，，，，D为中点，则直线，所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】因为，D为中点， 所以， 如图以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 则， 所以直线，所成角的余弦值为. 故答案为：. 【典例9-2】已知四面体如图所示，其中为面积为的等边三角形，，点A在平面上的射影为点B，，的中点分别为M，N，则直线，所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】以N为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴，过点N与平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为为等边三角形，所以面积为，所以，， 则，，，所以， 则，， 则直线，所成角的余弦值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 运用向量法常有两种途径 （1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式求向量，的夹角时，关键是求出及与，一般是把，用基向量表示出来，再求有关的量． （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单． 【变式9-1】在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 . 【答案】/ 【解析】建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角. 直三棱柱，且， 以C为原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设直线与成的角为， 则， 直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式9-2】如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线的夹角的余弦值． 【解析】（1）∵是直三棱柱，∴， 又点E，F分别为棱的中点，∴， ∴四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面． （2）如图，直三棱柱中， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 于是， 设直线与直线的夹角为， 则， 则直线与直线的夹角的余弦值为． 【变式9-3】如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； （2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 题型十：直线与平面所成的角 【典例10-1】如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）平面平面，平面平面， 由底面是正方形，则，面，则面， 由面，故. （2）取的中点为，连接，又，则， 由平面平面，平面平面，面， 所以面，又，故可构建如下图示空间直角坐标系， 则，故， 设面的一个法向量为，则， 取，则，又， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【典例10-2】如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，点P满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）取的中点O，连接，，． 因为E为中点，O为中点，所以． 在三棱柱中，，则四边形是菱形，得， 则，又，，，平面， 所以平面．又因为平面，所以． 因为是等边三角形，O为中点，所以． 又因为，，，平面， 所以平面．又因为面， 所以平面平面． （2）连接． 因为，，所以是等边三角形，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．由平面，得，又， 如图，以O为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，又，即，得， 所以，则， 易知平面的一个法向量，所以， 设直线与平面所成角为θ，则． 【方法技巧与总结】 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下： 【变式10-1】如图，已知在三棱锥中，平面，，，为线段上一点，，为的中点，． (1)试确定点的位置； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）由平面，，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由，得，则， 设，则， 于是，， 由，得，解得， 所以点在线段上且. （2）由（1）知，，，， 设平面的法向量，则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【变式10-2】如图，在三棱柱中，与的距离为，，． (1)证明：平面平面； (2)试判断在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值是，若有，请求出的位置，若没有，请说明理由． 【解析】（1）取棱中点，连接，因为， 所以，所以． 又因为，所以，； 因为，，所以， 所以，同理， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）取中点，连接，取中点，连接，则//， 由（1）知平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，则． 以为坐标原点，所在的直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可设，则点， ，设面的法向量为， 得，取，则，，所以 设直线与平面所角为，因为，所以 则， 解得或（舍） 所以，存在符合题意，此时为中点． 题型十一：二面角 【典例11-1】如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）平面， 平面，， 又，，平面， 平面， 又平面，； （2）由（1）知平面，平面，， 以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，， ， 设平面的法向量为， 则， ， 设平面的法向量为， 则， ， 设平面与平面夹角为， 则 【典例11-2】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形且垂直于底面. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【解析】（1）证明：如图所示，取中点，为等边三角形，， 又面垂直于底面，交线为，得面， 又面. 底面为直角梯形，，， ，，， 所以，，， 所以，得， 又，面，得面，面，所以. （2）由（1）知面， 不妨设，则， 以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系， 得，，， ，，； 设平面的一个法向量为， 则，，可取； 设平面的一个法向量为， 则，即，可取. 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 【方法技巧与总结】 利用向量法求二面角的步骤 （1）建立空间直角坐标系． （2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量． （3）求两个法向量的夹角． （4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角． （5）确定二面角的大小． 【变式11-1】在三棱台中，若平面，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； 【解析】（1）在三棱台中，平面，显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得 ，，由分别是的中点，得，， 则， 因此，而点直线， 所以.又平面平面， 所以平面. （2）由（1）知，， 设平面的法向量，则令，得. 设平面的法向量，则令，得. 设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值． 【变式11-2】如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为正方形，为棱PD的中点，为边AB的中点. (1)求证：平面POC； (2)若侧面底面ABCD，且，，求二面角的余弦值. 【解析】（1）取线段PC的中点，连接OM，EM， 在中，，分别为PD，PC的中点 ∴，且， 又∵底面ABCD是正方形，且是AB的中点， ∴，且， ∴，且 ∴四边形AOME为平行四边形，则， 又平面POC，平面POC， ∴平面POC. （2）由，，可知为等边三角形， 设OA中点为，则， 又∵平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面ABCD， 设CD上靠近点的四等分点为，则，， 以为原点，分别以QB，QN，QP所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面PBD的法向量为，则， 取，得，， 所以为平面PBD的一个法向量. 取平面ABD的法向量为 设平面PBD与平面ABD所成的平面角为，且为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 【变式11-3】如图，在三棱柱中，底面，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）连接与交于点，则为的中点，连接， 因为点为的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）存在，；理由如下： 因，则，故， 如图建立空间直角坐标系， 设，则，，， 设，， ，，， 设平面的一个法向量为，则有， 即，取，得， 设平面的一个法向量为，则有， 即，取，得， 因为，整理得， 解得或（舍），此时． 题型十二：点到平面的距离 【典例12-1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)求直线平面夹角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1）因为平面，平面， 所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设平面的法向量为， 则，令，则，则， 直线平面夹角的正弦值为； （2）由（1）知，平面的法向量为， 点到平面的距离为． 【典例12-2】如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）在三棱柱中，D，E为的中点， ， 平面， 平面， 平面，， 在三角形中，，为中点， ， ，，平面， 平面； （2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 在直角三角形中，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以； （3）设点到平面的距离为，所以， 故点到平面的距离. 【方法技巧与总结】 求点到平面的距离的主要方法 （1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． （2）在三棱锥中用等体积法求解． （3）向量法：（为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段） 【变式12-1】如图，已知四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，CD⊥平面PAD，△PAD是正三角形，E，F，G，O分别为PC，PD，BC，AD的中点.    (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)求点A到平面EFG的距离. 【解析】（1）由是正三角形，为的中点，所以， 由CD⊥平面PAD，平面PAD，所以， 又都在面内，则PO⊥平面ABCD； （2）如下图，构建空间直角坐标系，则， 所以，则， 若为面一个法向量，则， 令，则， 所以点A到平面EFG的距离为. 【变式12-2】如图，在四棱锥中，平面，，，，，为PC中点，在棱PB上. (1)求证：平面平面； (2)求B到平面的距离； (3)在平面内，求线段的长. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，， 所以，所以， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2） 因为平面，，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 所以，令，所以，，所以， 所以B到平面的距离； （3）设， ，，， 所以， 因为平面的法向量为，在平面OAE内， 所以，所以，即，所以， 所以，所以， 所以线段的长为. 题型十三：点到直线的距离 【典例13-1】已知点，点，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】由题意，， 所以点到直线的距离为：. 故答案为：. 【典例13-2】如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点.（i）异面直线与所成角的余弦值为 ；（ii）若点在线段上运动，则到直线的距离的最小值为 .    【答案】 【解析】 因为为正方体，建立如图所示以为坐标原点， 以、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，设直线与所成角为， 则. 过点作于，过作于，过作于， 因为为正方体，所以平面， 又因为平面，所以， 平面，平面，， 所以，且平面， 在底面中，，，所以， ，，所以， 设，，因为，所以， 所以，所以，所以，所以， 在中，， 在中，，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 设点到直线的距离为，，， 根据空间点到直线距离公式有：， 所以， 整理得，， 所以当时，到直线的距离最小，最小值为. 故答案为：； 【方法技巧与总结】 用向量法求点到直线距离的步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求所求点与直线上某一点所构成的向量； （3）若已知直线的方向向量，则利用公式求解；若已知直线的法向量，可利用求解． 【变式13-1】已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】，则有， 即点到直线的距离为. 故答案为：. 【变式13-2】已知，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】由题设，则， 所以点到直线的距离为. 故答案为： 【变式13-3】已知空间三点，，，则点到直线的距离是 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以，， 则，， 所以点到直线的距离. 故答案为：. 题型十四：直线（平面）到平面的距离 【典例14-1】在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【解析】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 【典例14-2】直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【解析】（1）法一:证明：连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系， 则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 【方法技巧与总结】 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤 第一步，确定法向量； 第二步，选择参考向量； 第三步，利用公式求解． 【变式14-1】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【答案】 【解析】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系， 则，，， 设与，都垂直的一个向量， 则，取，则，， 所以与BD1，CD都垂直的一个向量， 所以直线与之间的距离为. 故答案为： 【变式14-2】已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】设该正四棱锥底面边长为，高为， 则由题意可得，解得， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 则，， 则可设，，，， 则， 要使线段的长度最小，则为的公垂线， 即有， 解得，符合题意， 此时，则. 即线段长度的最小值. 故答案为：. 【变式14-3】如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【解析】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 1．如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 【答案】C 【解析】解法一：在内过点C作，且，连接，， 所以为二面角的平面角. 易知平面，而四边形为矩形，所以， 故平面，因而， ， ； 解法二：由，， 得，，． 因为， 所以， 则， 解得，． 故选：C. 2．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示，设， 则，，，， ∴，， ∴直线和直线所成角的余弦值为. 故选：A． 3．已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，而平面的一个法向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 结合线面角范围为，可知直线与平面所成角的大小为， 故选：D 4．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，则，且， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离为， 故选：C. 5．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， ∴，即， ∵平面，平面，∴平面. ∴直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴点到平面的距离为. 故选：D. 6．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论错误的是（   ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以，可得； 对于A，易知， 易知，即， 根据定义可知线段是异面直线与的公垂线段，即A正确； 对于B，因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 所以，异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为，即B错误； 对于C，所以在方向上的投影向量的模长为； 所以点到直线的距离为，即C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 则，取，则； 所以，又， 因此点到平面的距离为，即D正确. 故选：ACD 7．如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方体的棱长为2，建立如图空间直角坐标系. 则，设， 得， 设平面的法向量为， 得，取，得， 所以 ， 因为，所以在上单调递减， 且， 由复合函数的单调性可知在单调递增， 所以的值在时是随着a的增大而减小， 故当时，取得最小值，为； 故当时，取得最大值，为； 所以的取值范围为. 故选：C 8．（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【答案】AC 【解析】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 9．（多选题）在空间直角坐标系中，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】A选项：，故A错误； B选项：取， 点到直线的距离，故B正确； C选项：，故C正确； D选项：，设平面的法向量为， 故，取，则，故D错误； 故选:BC. 10．（多选题）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 11．已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以点到直线的距离为． 故答案为：. 12．在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论： ①； ②为定值； ③存在点，使得平面平面； ④存在点，使得点到平面的距离为2. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【解析】在长方体中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ，由，得，解得， 对于①，，，因此，①正确； 对于②，， 不是常数，因此不为定值，②错误； 对于③，由平面，得平面， 即平面的一个法向量为，设平面的法向量， 则，令，得，，即不垂直， 因此不存在点，使得平面平面，③错误； 对于④，点到平面的距离，若， 则，整理得，解得， 因此存在点，使得点到平面的距离为2，④正确， 所以所有正确结论的序号是①④. 故答案为：①④ 13．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． (1)设平面的法向量为，求的值； (2)求与 所成角的余弦值． 【解析】（1）由题可知， ， 则即 解得 ； （2）， ∴， 又， ∴. 14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的正弦值为， （i）求长； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则. 因为， 故，所以. 由已知，且，平面. 所以平面. （2）（i）设平面的法向量，因为， 所以，所以，令，得； 设平面的法向量， 所以，所以，令，得； 设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，所以， 解得（取正），所以长为2. （ii）由（1）可知，故是直线与平面所成角的一个平面角， 在直角中，， 又，则与互余， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为. 15．如图，三棱台中，侧棱平面，， (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值. 【解析】（1）因为侧棱平面，平面， 所以，又，故两两垂直， 以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 则 可得. 设平面的法向量为， 则， 令，可得， 所以为平面的一个法向量， 因为， 则， 所以， 所以平面. （2）为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值等于. 16．在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 【解析】（1）连接， 在中，， ， 在中，， 同理可得：， 平面 （2）设为的中点，， 平面平面， 平面平面， 又平面平面平面， 平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，， 取， 设直线与平面所成角为， （3）设， ，， 设点到平面的距离为， ， ， 是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ， . 取， 设平面与平面所成的角为， . 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$