6.3.3 空间角的计算（题型专练，4基础&6提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.3.3 空间角的计算 题型一 空间向量求异面直线的夹角 1．（25-26高三上·广东江门·月考）如图所示的四棱锥中，平面，，.    (1)证明：平面平面； (2)，，，上一点是的外心，求直线与直线所成角的余弦值. 2．（25-26高二上·河北邢台·月考）在正三棱柱中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西商洛·月考）在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江湖州·月考）在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南周口·月考）如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 题型二 空间向量求线面角 1．（2026·河南开封·一模）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．    (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 2．（2025·广东·模拟预测）已知直三棱柱如图所示，点在线段上，且. (1)证明：； (2)若，，平面与平面的夹角为，点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值. 3．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点，且.    (1)证明：平面 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 5．（24-25高三上·贵州遵义·月考）三棱锥P-ABC中，E，F，G分别是AP，AB，AC上的点，，是等边三角形    (1)若，求证：； (2)若二面角P-AC-B为90°，且，求AC与平面PAB所成角的正弦值. 题型三 空间向量求二面角 1．（25-26高三上·河北衡水·期末）如图，三棱锥的底面为等边三角形，，，点在PC上，且，点为的重心.      (1)证明：平面PAB. (2)若平面平面ABC，求二面角的余弦值. 2．（25-26高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点．    (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 3．（25-26高三上·江西抚州·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，.    (1)求证：平面平面； (2)若为线段上一点，当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值. 4．（25-26高二上·广东汕头·期末）正方体棱长为，为中点，F为中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值． 5．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，且，，． (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 题型四 空间向量求平面与平面的夹角 1．（2025·云南昭通·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)若是边长为的等边三角形，且三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 2．（25-26高二上·四川成都·期末）如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点. (1)求证：∥平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； (3)设二面角的大小为，求平面和平面夹角的余弦值. 3．（25-26高三上·海南海口·月考）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为 的中点． (1)求证： ∥ 平面 ； (2)若 ，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值． 4．（25-26高三上·四川泸州·月考）已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是边长为2的菱形，且与底面的夹角为，，点为中点．    (1)若是的中点，求证：面 (2)求平面与平面夹角的余弦值． 题型一 由异面直线夹角求参数 1．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为 . 2．（25-26高二上·广东深圳·月考）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则 . 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 4．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为 ． 5．（24-25高一上·重庆·期末）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 题型二 由线面角求参数 1．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 2．（浙江省金华市十校2026届高三上学期1月期末数学试题）如图，多面体ABCDEF的体积为1，四边形ABCD为矩形，平面平面ABCD，. (1)证明：； (2)若，求直线BD和直线CE夹角的余弦值； (3)若，且直线BD和平面BCP所成角的正弦值为，求的值. 3．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，．． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若点在上，且．是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（2026高三上·广东深圳·专题练习）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点.    (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 5．（25-26高二上·广东广州·月考）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 题型三 由二面角求参数 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在梯形中，，将沿翻折至二面角为，为中点.    (1)求证：； (2)线段上是否存在一动点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 2．（2026·广东茂名·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点．    (1)若，证明：平面； (2)已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 3．（25-26高三上·江苏扬州·期末）如图，已知多面体中，平面，底面为正方形.    (1)求证：平面平面； (2)若，且平面与平面所成角的余弦值为. ①求线段的长； ②线段上是否存在点，使得平面平面，且满足平面.若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）如图所示，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)点在棱上，当二面角的余弦值为时，求的长． 5．（24-25高二上·河北唐山·月考）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E．    (1)求证：平面 (2)连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由． 题型四 求线面角的最值或范围 1．（25-26高二上·安徽·月考）已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.    (1)求证：为线段的中点； (2)已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）在中，分别是上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使在棱上移动（包含端点）． (1)求证：； (2)当为棱的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． (3)设直线与平面所成角为，求的最大值． 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，在正方体中，为棱的中点，若正四面体绕直线旋转一周，在旋转过程中，直线与平面所成的角为，则的最小值为 ． 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知三棱锥，是边长为2的正三角形，，． (1)证明：； (2)动点满足，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 5．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）如图，四棱锥的底面为菱形，底面.设平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)若，，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 题型五 求二面角的最值或范围 1．（25-26高二上·山东潍坊·月考）在直角三角形中，，，为的中点，将沿翻折至，其中为动点. (1)若平面，证明：平面平面； (2)当二面角的大小为时，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求直线与所成角的余弦值； (3)当平面时，若，求平面与平面所成角的余弦值的最小值. 2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在三棱锥中，已知，，且，．    (1)若，，求证：； (2)在（1）的条件下，求二面角的余弦值； (3)若，求二面角余弦值的最小值． 3．（25-26高二上·山东·月考）如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)当异面直线与所成角为时，求实数的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 4．（25-26高二上·广西·月考）在四棱台中，平面平面，底面为正方形，，、E，F，G分别是，，的中点，M是线段上的一点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求锐二面角余弦值的最小值. 5．（25-26高二上·上海宝山·月考）某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4.高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点P为圆弧（包括端点）上的动点. (1)若，求工作台的表面积. (2)若平面时，求点P与的最短距离. (3)若，当点P在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围. 题型六 空间向量求角的探索性问题 1．【多选题】（25-26高二上·山东济宁·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边），且.下列说法正确的是（   ） A．当E，F运动时，不存在点E，F使得 B．当E，F运动时，不存在点E，F使得 C．当E运动时，二面角的最大值为45° D．当E，F运动时，二面角为定值 2．【多选题】（24-25高二下·福建莆田·期中）如图，正方体，下列说法正确的是（    ） A．点P在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变 B．点P在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变 C．点P在直线上运动时，二面角的大小不变 D．点P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 3．【多选题】（24-25高二下·江西宜春·月考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．在EF任一确定位置，将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面平面ABFE，则EF从AB向CD滑动的过程中，下列说法中正确的是（    ）    A．∠AGC的角度不会发生变化 B．二面角的大小不可能为 C．AC与平面ABFG所成的角变小 D．AC与EF所成的角先变小后变大 4．【多选题】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知正三棱柱中，，且满足， ，则（   ） A．当时，与所成角的余弦值为 B．当时，平面 平面 C．存在，，使平面平面 D．存在，，使二面角为钝角 5．【多选题】（24-25高二上·山东枣庄·期中）如图，该几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D．存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 1．（25-26高三上·湖北·月考）在三棱锥中，为正三角形，，点为棱的中点，点是线段上的一动点． (1)证明：； (2)求二面角的正弦值的大小； (3)设直线与平面、平面所成角分别为，求的最大值． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，， (1)求证：平面； (2)设平面平面，求与平面所成角的正弦值． (3)设平面，求当周长最小时三棱锥的体积． 3．（25-26高二上·河南许昌·月考）在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以（a，b，c不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，且；而过点P，且以（a，b，c不同时为0）为法向量的平面方程为.若平面过点A，且满足方程；直线也过点A，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．【多选题】（25-26高二上·浙江·月考）如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥.若为线段中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） A． 平面 B．的长为定值 C．四棱锥体积的最大值为 D．设二面角的平面角为，若，则平面和平面夹角余弦值的最小值为 5．（25-26高二上·河南南阳·月考）如图，在四棱锥中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形. (1)证明：. (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)在棱上是否存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 6．（25-26高三上·河南·月考）如图，在三棱台中，平面． (1)若，求三棱台的体积． (2)若直线与平面所成角的正弦值为， （i）求． （ii）三棱台的顶点中，同在一个球面上的点最多有几个？请任选一个包含最多顶点的球面，计算该球的表面积． （注：若选择多个球面分别计算，按第一个结果给分）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.3 空间角的计算 题型一 空间向量求异面直线的夹角 1．（25-26高三上·广东江门·月考）如图所示的四棱锥中，平面，，.    (1)证明：平面平面； (2)，，，上一点是的外心，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，设点坐标，利用求得点坐标，进而写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）平面，平面，平面， ，． ，，且平面， 平面． 平面， 平面平面． （2）由（1）知：，，， 以为原点，直线、、方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系．      则有，，，，， 由上一点是的外心，设，由题意， ， 解得，即． 从而，． 设直线与直线所成角为． 则， 即直线与直线所成角的余弦值为． 2．（25-26高二上·河北邢台·月考）在正三棱柱中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出向量的坐标，然后利用向量夹角的余弦公式进行计算即可. 【详解】设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 垂直于轴的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则 , 由于是的中点，所以. 所以， 所以. 故选：B.    3．（25-26高二上·陕西商洛·月考）在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，求出直线与的一个方向向量，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图：建立空间直角坐标系，则，， ，， 直线与所成角的余弦值为.    故选：B 4．（25-26高二上·浙江湖州·月考）在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出各点坐标，利用异面直线向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 设异面直线与所成角大小为， 则. 故选：A 5．（25-26高三上·河南周口·月考）如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，根据线线夹角的向量公式求解即可． 【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，所以，． 设异面直线AG与EF所成的角为， 则． 故选：C． 题型二 空间向量求线面角 1．（2026·河南开封·一模）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．    (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2)． 【分析】（1）先证明平面平面，再证明四边形是平行四边形即可. （2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接，，，如图：    因为是中点，是中点，则，而平面， 所以平面，又因为平面，， 所以平面平面，即平面平面. 又平面平面，平面平面，所以， 所以，而，所以是等边三角形， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以． （2）取的中点，连接， 由（1）知 ， 又，所以是等边三角形，则，即. 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.    不妨设，又是正三角形， 则，，，. 则，， 设为平面的一个法向量， 由，得， 令，则得平面的一个法向量， 所以， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 2．（2025·广东·模拟预测）已知直三棱柱如图所示，点在线段上，且. (1)证明：； (2)若，，平面与平面的夹角为，点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证平面，再由线面垂直的性质定理证明；（2）过作于点，过作于点，连接，从而得到平面与平面的夹角，给定的值，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，进而得解. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以. 又因为，所以. 因为，平面，，所以平面. 又平面，所以. （2）解：因为，所以， 又，平面，， 所以平面. 如图，过作于点，则，所以平面，则. 过作于点，连接， 因为平面，， 所以平面，所以, 则即为平面与平面的夹角，所以. 设，由，得，，， 因为，所以， 由勾股定理得， 则由，得. 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 记直线与平面所成的角为， 则. 3．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，进而根据长度关系由勾股定理可得，即可由线面垂直的判定求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）取的中点E，连接，， 则四边形为矩形，所以， 因为为等边三角形，所以， 又因为，平面，所以平面， 平面，故，而，所以，所以， 由已知得，所以， 所以， 因为，平面，所以平面． （2）以C为坐标原点，，分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，， 设，因为，， 则 由①－②得：，②－③得：，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由得：， 设，所以， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点，且.    (1)证明：平面 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点，连接，以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用坐标公式法求解即可. 【详解】（1）因为是正三角形，是中点，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）由题意可知，因为平面，所以，， 取中点，连接， 以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，    因为，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 5．（24-25高三上·贵州遵义·月考）三棱锥P-ABC中，E，F，G分别是AP，AB，AC上的点，，是等边三角形    (1)若，求证：； (2)若二面角P-AC-B为90°，且，求AC与平面PAB所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)先证明面面平行，再由面面平行得出线线平行； (2)由题建立空间直角坐标系计算即可. 【详解】（1）因为， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 又因为, 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 又因为, 所以平面平面, 平面平面,平面平面, 所以. （2）由二面角P-AC-B为90°，可知 平面垂直于平面， 取中点，连接， 因为是等边三角形，所以 所以且平面. 以 为原点，分别为轴建立坐标系, 所以, 所以 设平面的法向量为，则 ， 令 ，得 ，，故 ， 设与平面所成角为 ， ， 又因为， 所以.    题型三 空间向量求二面角 1．（25-26高三上·河北衡水·期末）如图，三棱锥的底面为等边三角形，，，点在PC上，且，点为的重心.      (1)证明：平面PAB. (2)若平面平面ABC，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，由线面平行的判定定理证明即可； （2）取的中点，连接，由面面垂直的性质可得平面，建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可求解. 【详解】（1）如图，连接并延长，交于点，连接，    因为点为的重心，所以. 又，所以，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连接， 因为，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 连接，则，且重心在上. 又因为，所以，所以两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 又是等边三角形，，， 所以，，则，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 所以平面的法向量为， 由上述分析易知平面， 所以为平面的一个法向量， 于是， 由图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为. 2．（25-26高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点．    (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）取中点为中点为，连接，，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，并求出相关平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，，    在中，分别为中点，则且， 又正方形中，为中点，则， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面； （2）取中点为中点为，连接，， 在中，，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又四边形为正方形，则， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，      因为，则， 所以，设平面的法向量为， 由，得，所以， 取，则，可得， 易知平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则． 由图，二面角为锐角，所以其余弦为． 3．（25-26高三上·江西抚州·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，.    (1)求证：平面平面； (2)若为线段上一点，当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为，连接.由线面垂直的判定定理证明平面，根据面面垂直的判定定理证得平面平面. （2）建立恰当的空间直角坐标系，根据二面角的向量求法求得二面角的余弦值. 【详解】（1）如图，取中点为，连接. 因为，，， 所以，. 因为为等边三角形，所以. 因为为的中点，所以，且. 所以在中，有，所以，. 因为平面，平面，，所以，平面. 因为平面，所以，平面平面. （2）由（1）知，平面， 所以直线与平面所成的角的平面角为，即. 因为，所以. 因为是的中点，所以为的中点.   因为，平面，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，以过点且与平行的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，,，，， 则，，设是平面的一个法向量， 则有，即，取，则，，则. 由平面，知平面的一个法向量为.则. 由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.    4．（25-26高二上·广东汕头·期末）正方体棱长为，为中点，F为中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系并确定各点坐标，先求平面的法向量，再求直线的方向向量，最后结合向量的夹角公式求得正弦值； （2）由（1）知平面的法向量，易得平面的法向量，再利用公式求二面角的余弦值. 【详解】（1） 由已知，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的一个法向量为， 则，令，解得， 所以， ，设直线与平面所成角为， 则； （2）易得平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 由（1）知平面的法向量， 则， 由图可知二面角为钝角，所以. 5．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，且，，． (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）通过面面垂直的性质推出线面垂直，进而得到线线垂直； （2）由题意得建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，，， 侧面底面，且侧面底面，平面， 底面，又平面，， 在矩形中，，，，，且夹角均为直角，，， 又平面，且，平面， 又平面，. （2）三棱锥的体积为，， 由题意得以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故平面的法向量为， 又由图可知，平面的法向量为， ， 平面与平面的夹角的余弦值为 题型四 空间向量求平面与平面的夹角 1．（2025·云南昭通·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)若是边长为的等边三角形，且三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）结合三棱锥体积得到的长度，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用公式计算两平面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：取的中点为，在上取点，使， 连接，如图， 因为是的中点，所以，， 又因为，所以，， 所以，， 即四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， ∴平面． （2）设， 因为平面，是的中点， 所以， 即， 所以 分别取的中点，连接，如图， 则， 因为平面，所以平面， 又因为为正三角形，所以， 即两两垂直， 以为轴建系，则， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，， 平面ACD的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 2．（25-26高二上·四川成都·期末）如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点. (1)求证：∥平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； (3)设二面角的大小为，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点为，连接，即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接，过点作平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用夹角公式即可求解. 【详解】（1）取的中点为，连接， 因为为的中点，所以，且， 又为的中点，所以，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）取中点，连接，由，得， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 在矩形中，，所以， 以为原点，以为轴，为轴，作，以为轴，建立空间直角坐标系， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的大小为； （3）连接，由，得，又， 所以为二面角的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 所以， 显然平面，平面，所以平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，又，所以， 所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以. 3．（25-26高三上·海南海口·月考）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为 的中点． (1)求证： ∥ 平面 ； (2)若 ，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接AC， 交BD于点O，则，由线面平行的判定定理证明； （2）可证平面ABCD，分别以OB，OC，OF所在直线分别为，，轴建系，由面面角的向量求法求解. 【详解】（1）如图， 连接AC， 交BD于点O， 连接OE． 因为四边形ABCD为菱形， 所以O为AC的中点． 又在中，E为PC的中点， 所以． 因为平面BDE， 且平面BDE， 所以平面BDE． （2）因为四边形ABCD为菱形， 所以． 设F为AP中点， 连接OF， 则， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD． 以O为坐标原点， 以OB，OC，OF所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系． 在菱形中，因为，， 所以，， 又， 所以，，，， 所以． 设平面的法向量为， 则 令，则 设平面的法向量为， 则 令，则 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 4．（25-26高三上·四川泸州·月考）已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是边长为2的菱形，且与底面的夹角为，，点为中点．    (1)若是的中点，求证：面 (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面平行判定定理，证明平面平面，从而得到线面平行. （2）首先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，然后求平面法向量，最后计算两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接， 在中，为中点，为中点，所以 ; 在中，为中点，为中点，所以; 因为 ，，且，， 所以平面平面. 因为平面，所以平面    （2）以为原点， 为轴， 的方向为轴，过垂直于底面的方向为轴,如图所示： 菱形边长为，， 为正三角形，故. 侧面与底面夹角为，即(为在底面的投影). 易知,,,； 可知，； 所以. 又因为，易知，所以； 平面的一个法向量为，易知,， 因此，解得，令，可得； 所以 平面 的一个法向量为，又 由，令，可得； 所以可得； 设平面与平面的夹角为， 所以； 平面与平面夹角的余弦值为. 题型一 由异面直线夹角求参数 1．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线夹角的向量公式即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，，，， 平面，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，    可知，，， ，， ，则，设，且，则， 可知，， ，，异面直线与所成的角的余弦值为，，解得或（舍去），. 故答案为： 2．（25-26高二上·广东深圳·月考）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则 . 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 解得（负根舍去），即. 故答案为：1 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析; (2)或. 【分析】（1）在上取一点，得到，则有，利用余弦定理及勾股定理的逆定理证得，则有平面，即有，再结合可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量间夹角的坐标运算公式建立方程，即可得解. 【详解】（1） 在棱上取一点，使得，连接, 因为，所以四边形是平行四边形，则，因为，所以. 又因为，根据余弦定理可得，即， 则有，所以， 又平面，则平面， 又平面，则， 又因为平面， 所以平面. （2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 于是， 化简得，解得或， 所以或. 4．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求出三棱柱的高，再利用体积公式即可求得答案。 【详解】设正三棱柱的高为h，以A为坐标原点，在底面内过点A作的垂线为x轴， 以所在直线为轴，建立空间直角标系， 则， 则， 因为异面直线与所成角的余弦值为， 故， 由于，即，解得， 故该正三棱柱的体积为， 故答案为： 5．（24-25高一上·重庆·期末）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：B. 题型二 由线面角求参数 1．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）先证明线面平行，利用线面平行的性质定理可证结论； （2）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）证明：由正方体性质可知，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为， 则, ； 设平面的一个法向量为，则， 令，可得； 设直线与平面所成角为，则， 解得，即线段的长度为1.    2．（浙江省金华市十校2026届高三上学期1月期末数学试题）如图，多面体ABCDEF的体积为1，四边形ABCD为矩形，平面平面ABCD，. (1)证明：； (2)若，求直线BD和直线CE夹角的余弦值； (3)若，且直线BD和平面BCP所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可； （2）根据直三棱柱的定义，把三棱柱补形成长方体，利用异面直线所成的角的定义、余弦定理进行求解即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； 【详解】（1）∵平面平面ABCD，平面平面， 平面EAD，又平面EAD， . （2）由（1）可知多面体ABCDEF为直三棱柱，作，. 当时，点和点重合， 如图将三棱柱补形成长方体，连， 即为直线BD和直线CE的夹角或其补角. 由题意可得：， ， 综上，直线BD和直线CE夹角的余弦值为. （3）∵平面平面ABCD，平面平面， 平面ABCD，如图，以点为原点建立空间直角坐标系. 设，则， 由可得：， ，另外，设平面BCP的一个法向量为，结合， ，也即，取，则有， 结合，设直线BD和平面BCP所成角为， 则， 化简得：，可解得：（舍去）或. 综上，．             3．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，．． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若点在上，且．是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用面面角的向量法，即可求解； （2）根据条件得，结合条件，利用线面角的向量法建立等量关系，即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，又平面平面，平面， 所以平面 因为平面，所以， 又四边形为直角梯形且， 则，故两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，设， 则，取，则，从而， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （2）因为，则，又， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，从而， 假设存在满足题意，设与平面所成角为， 则， 化简得，解得或． 故存在或，使得与平面所成角的正弦值为. 4．（2026高三上·广东深圳·专题练习）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点.    (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角解出参数，再由棱锥体积公式得解； 【详解】（1）在图①中，由题知四边形为正方形，且； 则在②中，，，且， 又平面，则平面； 又，∴平面， 又平面，∴； 又，且为的中点，则； 又，平面， 则平面，又平面， 可得. （2）由（1）知平面，平面，则平面平面； 由题知二面角的平面角为，则， 则是等边三角形，则； 取的中点为，连接，则， 又平面平面，平面， 所以平面，且， 则可以建立如图所示的空间直角坐标系；      则、、、、， 则、、、， 设，（），则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则， 记直线与平面所成角为， 则， 即，解得， 因此，则. 5．（25-26高二上·广东广州·月考）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，得出为等边三角形，证得，证得平面，即可证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）证明：在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，. （2）解：以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （3）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 题型三 由二面角求参数 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在梯形中，，将沿翻折至二面角为，为中点.    (1)求证：； (2)线段上是否存在一动点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点，. 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，再由线面垂直可得线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，先设 ，再用向量的方法计算面面角可得t的值，从而可得N点位置. 【详解】（1）因为且为中点，所以. 又因为二面角为，所以平面平面，且平面平面，，平面， 所以平面，平面，所以. （2）由（1）知，故以所在直线为轴，以过M点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系如图： 又，所以.    故，，设 ， 设为平面的法向量，， 由，得，取，得，即. 而平面与坐标平面重合，所以法向量取. 因为二面角为，所以 ， 得，，，解得或（舍去）. 所以，得. 故存在点，. 2．（2026·广东茂名·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点．    (1)若，证明：平面； (2)已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）利用线面垂直得到直角三角形，利用直角三角形的性质和线面垂直的判定定理可证结论； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用平面夹角得出的长，结合条件公式可得答案. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，是直角三角形， 因为是的中点，所以，因为，所以，可得， 因为平面，，所以， 因为，，，平面，，所以平面； （2）设，因为两两垂直，以为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系， 有， 设平面的法向量为，由， 有， 取，可得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，由， 有， 取，可得平面PCD的一个法向量为， 又由，， 有，又由平面和平面的夹角的余弦值为，有， 解得， 故，所以．    3．（25-26高三上·江苏扬州·期末）如图，已知多面体中，平面，底面为正方形.    (1)求证：平面平面； (2)若，且平面与平面所成角的余弦值为. ①求线段的长； ②线段上是否存在点，使得平面平面，且满足平面.若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）先证明，，即可得到平面，进而求证即可； （2）①建立空间直角坐标系，设，利用空间向量建立方程求解即可； ②由题设可得平面，进而利用空间向量求解即可. 【详解】（1）在正方形中，， 因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （2）①以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，      则，设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以，解得，即； ②由题意，若存在点，使得平面平面，且满足平面， 而平面，平面，则， 因为平面，平面，所以平面，设， 由①可知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由平面，得，解得， 则存在点，使得平面平面，且满足平面，且. 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）如图所示，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)点在棱上，当二面角的余弦值为时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示证明； （2）利用空间向量与二面角的关系求解. 【详解】（1） 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, , 则 且不在一条直线上，所以，， 所以四边形是平行四边形. （2）设平面的一个法向量为， , 所以，设，则， 所以， 设， 设平面的法向量为， 则, 令，所以， 所以 可得，解得或， 根据对称关系可知或都满足条件； 所以或 5．（24-25高二上·河北唐山·月考）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E．    (1)求证：平面 (2)连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的结构特征，结合线面垂直的性质判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面BCD的法向量，再利用面面角的向量法列式求解. 【详解】（1）在圆柱中，母线底面，而底面，则， 由是圆的直径，得，而平面， 因此平面，又平面，则， 而平面，所以平面. （2）假设在线段上存在一点，在平面内过作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由， 得，则，   ，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，得， 由平面与平面BCD所成角的余弦值为，得， 解得，所以在线段上存在一点，满足题意，此时. 题型四 求线面角的最值或范围 1．（25-26高二上·安徽·月考）已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.    (1)求证：为线段的中点； (2)已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量表示建立方程，得到，进而证明中点即可. （2）利用线面角的向量求法表示出，再利用平方法和换元法求解其最大值即可. 【详解】（1）由题意得，令，则， 连接，作，则由矩形性质得， 因为平面平面，面，所以面， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为等边三角形，所以由勾股定理得，， 则， 得到，，， 设面的法向量为，， 则，令，解得， 则面的法向量为， 由题意得在线段上，则，可得， 而，则，解得， 则，得到， 因为平面，所以， 则，解得， 此时，故为线段的中点. （2）由题意得在线段上，则， 由已知得，则， 设，则， 可得，解得，可得， 由已知得，则， 而，， 设面的法向量为， 则，令，解得， 则面的法向量为， 设直线与平面所成角为，， 则 ， 则， 令，可将化为， 令，由二次函数性质得在上单调递增， 则最小值为，此时取得最大值，， 结合题意可得，当取得最大值时，也取得最大值， 则最大值为. 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）在中，分别是上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使在棱上移动（包含端点）． (1)求证：； (2)当为棱的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． (3)设直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定首先证明平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到答案； （3）设，从而得到的坐标表示，再求出线面角的正弦表达式，利用二次函数性质即可得到最值. 【详解】（1）因为，则，且，可得， 将沿折起到的位置，始终有， 因为平面，所以平面， 由平面，可得， 所以. （2）翻折前，因为，且， 所以，所以，翻折后， 由勾股定理得． 由（1）可知平面，又，所以平面，又，所以两两垂直． 以为原点，直线分别为,,轴建立如下空间直角坐标系， 则， 可得. 设平面的法向量是，则， 令，则，可得． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， ， 所以二面角的余弦值为． （3）设,. ， 当时，， 当时，， 当时，的最大值为． 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，在正方体中，为棱的中点，若正四面体绕直线旋转一周，在旋转过程中，直线与平面所成的角为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示动点旋转的轨迹以及坐标，根据三角函数的恒等式，利用线面角的向量公式，可得答案. 【详解】由题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 点的旋转轨迹为在平面内，以为圆心以及长为半径的圆周， 点的旋转轨迹为在平面内，以为圆心以及长为半径的圆周， 设分别为旋转过程中的点，连接，， 过作，垂足为，过作，垂足为， 如下图： 则，，即， 设，，旋转角， 易知，即，则， 化简可得，即，同理可得， 可得，， 即， 在正方体中，易知平面， 则在旋转过程中，平面的一个法向量， 所以， 令，则， 可得，所以. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知三棱锥，是边长为2的正三角形，，． (1)证明：； (2)动点满足，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线线垂直，可通过线面垂直推导出线线垂直，即证明平面即可. （2）首先根据垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及的坐标，利用向量夹角的余弦值公式将直线与平面所成角的正弦值表示出来，并确定其最大值. 【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接． 在中，根据余弦定理得 ， 得．同理． 所以，又为中点，所以， 又是正三角形，为中点，所以， 又平面， 故平面，因为平面，因此． （2）在中，， 又，所以， 由勾股定理逆定理得，即， 由（1）可知，又，平面， 所以平面． 因此建立如图所示的空间直角坐标系，． ，设，则， 由，得， ． 设平面的法向量为，则 ，令得，即． 设与平面所成角为， 则． 设，则， 由，得，所以， 此时，因此． 5．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）如图，四棱锥的底面为菱形，底面.设平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)若，，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在平面内过点作且，连接，结合平行直线的传递性证得结果； （2）利用空间向量法计算线面所成角的正弦值，结合基本不等式计算得到最大值. 【详解】（1） 证明：如图，在平面内过点作且，连接， 所以四边形是平行四边形，故有且， 因为四棱锥的底面为菱形，所以， 进而，故直线是平面与平面的交线. 所以. （2） 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 若，，为上的点，则 , 设，则， 设平面的一个法向量， 则，令，即 设与平面所成角为，则， 显然，因为，当且仅当时等号成立， 所以 故与平面所成角的正弦值的最大值为. 题型五 求二面角的最值或范围 1．（25-26高二上·山东潍坊·月考）在直角三角形中，，，为的中点，将沿翻折至，其中为动点. (1)若平面，证明：平面平面； (2)当二面角的大小为时，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求直线与所成角的余弦值； (3)当平面时，若，求平面与平面所成角的余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，然后得到面面垂直； （2）过作平面垂线，从而建立空间直角坐标系，写出点坐标.过中点作平面垂线，则球心在这条线上，设点坐标，由球的半径建立方程，解得球心坐标，从而得到向量，然后利用向量的数量积求得线线角的余弦值； （3）设点坐标，由题意求得点坐标，然后利用空间向量的数量积求平面和平面的法向量，然后由空间向量的数量积求得到面面角的余弦值的表达式，通过换元和判别式法求得余弦值的最小值. 【详解】（1）在直角三角形中， ，，且， 平面时，， 且，平面，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面 （2）过点作直线平面， ∴， 故以点为坐标原点如图建立空间直角坐标系， 则，，， 由（1）可知为二面角的平面角，故， ∴， 取中点，过点作平面， ∵，故球心在上， ∴设，则， 故， 即，∴， 故 则， 设直线与所成角为， 则. 直线与所成角的余弦值为. （3）设， ∴， 即，点在平面内 ， 设向量为平面的一个法向量， 则， 令，则， 即， 设向量为平面的一个法向量， 则，设，则， 即， 则， ， 设平面与平面所成角的平面角为， 则 ， 令，，， ∴方程在上有解， 则，即， ∴或（舍去）， 当时，方程为，整理得， ∴， 故当时，取最小值，则取最小值. 2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在三棱锥中，已知，，且，．    (1)若，，求证：； (2)在（1）的条件下，求二面角的余弦值； (3)若，求二面角余弦值的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明线线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角的余弦值即可； （3）由题意可知，点的轨迹为椭圆，点的轨迹为圆，利用二面角的定义作出二面角的平面角，设出点，的坐标联立方程组，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】（1）证明：因为，，， 所以，，， 所以，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）由（1）可知，，，， 以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，   ，，，， ，， 设平面的一个法向量为：， ，则，令，则，， 所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为：， 所以， 由于二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）在所在平面内，由且，满足椭圆定义， 在所在平面内，以的中点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 故点的轨迹方程为， 在所在平面内，由可知，在所在平面内， 以的中点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 故点轨迹方程为. 过点作，垂足为，连接，    由，， ，平面，得面， 又平面，所以. 故是二面角的平面角， 在中，， 设，， 因为，所以， ， 两式作差可得：，即， 所以. 即二面角的余弦值最小为，     当且仅当即，时取等号. 3．（25-26高二上·山东·月考）如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)当异面直线与所成角为时，求实数的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，，根据中位线性质和基本事实4可证得，再根据线面平行的判定定理即可证得结论； （2）根据题设条件建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，结合即可求得的值； （3）利用（2）中建立的坐标系分别求出两平面的法向量，根据空间向量夹角的坐标公式表示出两平面夹角余弦的解析式，结合二次函数的性质即可求得范围. 【详解】（1）如图，连接，交于，连接，则为的中点，又为的中点，所以； 当时，为的中点，又为的中点，所以； 所以，又平面，平面，所以平面； （2）如图，连接，由正四棱锥可知两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以，所以， 所以，； 因为异面直线与所成角为，所以，解得， 实数的值为； （3）由（2）知，， 所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以； 设平面与平面的夹角为， 则 ， 因为，所以函数， 所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围是. 4．（25-26高二上·广西·月考）在四棱台中，平面平面，底面为正方形，，、E，F，G分别是，，的中点，M是线段上的一点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求锐二面角余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明平面； （2）先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和直线的方向向量，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果即可； （3）先利用坐标法求出平面的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦公式列出锐二面角余弦表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）证明：取中点O，连接， ∵，∴易知四边形为等腰梯形 ∵G，O为上下两底中点，∴，∵F为正方形的边中点， ∵与相交于点O，∴平面，∴ （2）由（1）知，∵平面平面于， ∴平面，两两互相垂直， 如图建立空间直角坐标系 在等腰梯形中，，，如图作，易知， ∴，，，， ∴，， ∴设平面的一个法向量， ∴由有，令，则，，∴， ∴ 设直线BC与平面所成角为，则. （3）设M为，∴， ∴设平面的一个法向量， ∴由有，令，则， ∴ ∵，∴设锐二面角的大小为，令 令， 因为，所以，而在内单调递减， 所以当时，取最大值，最大值为. 此时取最小值为. 5．（25-26高二上·上海宝山·月考）某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4.高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点P为圆弧（包括端点）上的动点. (1)若，求工作台的表面积. (2)若平面时，求点P与的最短距离. (3)若，当点P在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正四棱柱及圆柱的侧面积计算求解； （2）建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，由平面，可得，进而得到，则，可得，进而结合即可求解； （3）设，则，所以，求出平面的法向量，而平面的一个法向量，设二面角为，则先求出，从而可得，再由可得的范围. 【详解】（1）因为，所以工作台的表面积 （2）如图，以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 设， 则， ， 平面， ，， 点在圆弧（包括端点）上移动， 则，， ， ， 即，当且仅当时等号成立， ， 点与的最短距离为. （3）若，由（2）知， 设，，则,,， 所以， 又，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 取平面的一个法向量， 设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， ，，， 则，由，则， 平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围为. 题型六 空间向量求角的探索性问题 1．【多选题】（25-26高二上·山东济宁·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边），且.下列说法正确的是（   ） A．当E，F运动时，不存在点E，F使得 B．当E，F运动时，不存在点E，F使得 C．当E运动时，二面角的最大值为45° D．当E，F运动时，二面角为定值 【答案】ABD 【分析】建立坐标系，利用向量法判断AC；由反证法判断B；平面即为平面，平面即为平面，从而得出二面角为定值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则． 因为在上，且，，设，则， 则， 所以，显然恒为正，故A正确． 若，则共面，即四点共面，与和是异面直线矛盾，故B正确． 设平面的法向量为，又， 所以，即，取，则， 平面的法向量为，所以． 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 因为，在上单调递减， 所以，故， 当且仅当时，取得最大值，即取最小值，故C错误． 连接．平面即为平面，而平面即为平面， 故当运动时，二面角的大小保持不变，故D正确． 故选：ABD 2．【多选题】（24-25高二下·福建莆田·期中）如图，正方体，下列说法正确的是（    ） A．点P在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变 B．点P在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变 C．点P在直线上运动时，二面角的大小不变 D．点P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 【答案】CD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法对各项内容逐一验证即可. 【详解】如图，以为原点，建立如图空间直角坐标系，不妨设. 则,，，，，，. 所以，，，， 因点在直线上运动，那么，则. 则； 对于A：因为 不是定值，故A错误； 对于B：因为，，即，， 又，平面，所以平面， 所以为平面的法向量， 所以 不是定值，故B错误； 对于C：设平面的法向量为. 则 ，令，则. 又平面的法向量为， 设二面角为，则，为定值， 所以二面角的大小不随点在上的运动而改变，故C正确； 对于D：因为，因为的面积为定值， 根据正方体的性质可知，平面，平面，所以平面. 所以当点在直线上运动时，点到平面的距离， 即三棱锥的高不变，所以三棱锥的体积不变，故D正确. 故选：CD 3．【多选题】（24-25高二下·江西宜春·月考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．在EF任一确定位置，将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面平面ABFE，则EF从AB向CD滑动的过程中，下列说法中正确的是（    ）    A．∠AGC的角度不会发生变化 B．二面角的大小不可能为 C．AC与平面ABFG所成的角变小 D．AC与EF所成的角先变小后变大 【答案】ACD 【分析】以为原点，，，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，利用空间向量的数量积可判断A，D；求出平面的一个法向量，设与平面所成的角为，利用向量的数量积可求线面角，进而判断C；求出平面的法向量以及平面的法向量，利用空间向量数量积即可求解B. 【详解】以为原点，，，所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，    设正方形ABCD的边长为，， ，，，，，， 对于A，，， 则， 故的角度不会发生变化，所以A正确； 对于B，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 要使二面角的大小为， 则，即， 所以二面角的大小可能为，故B错误； 对于C，平面的一个法向量为，， 设与平面所成的角为， ， ，则单调递减，单调递减， 所以与平面所成的角变小，故C正确； 对于D，设与所成的角为， ，， ， 对称轴为，且，所以先减小后增加， 所以先增加再减小，即与所成的角先变小后变大，故D正确. 故选：ACD. 4．【多选题】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知正三棱柱中，，且满足， ，则（   ） A．当时，与所成角的余弦值为 B．当时，平面 平面 C．存在，，使平面平面 D．存在，，使二面角为钝角 【答案】AC 【分析】根据正三棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用异面直线成角、面面平行、面面垂直和二面角的向量求法逐项判断即可. 【详解】因为三棱柱是正三棱柱，取，中点，， 分别以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，， ，，，， 选项A：当时，，， 此时与所成角的余弦值为，说法正确； 选项B：当时，，，，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， ，解得平面的一个法向量， 因为无解，所以平面与平面不平行，B说法错误； 选项C：显然当，，即与重合，与重合时， 由正三棱柱的性质可知平面 平面，C说法正确； 选项D：过作，垂足为，过作，垂足为， 因为四边形为正方形，故，同理， 故，故， 所以，同理，， 所以，而， 故，所以， 故为锐角即的平面角为锐角， 而的平面角不超过的平面角， 故二面角的平面角小于，故D错误. 故选：AC 5．【多选题】（24-25高二上·山东枣庄·期中）如图，该几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D．存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】先将图形补全为一个正方体，然后建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据向量的坐标运算，结合空间角的求解，对各选项进行判定即可． 【详解】由题意，可将几何体补全为一个正方体， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体棱长为2，则,0,，,0,，,0,，,0,， ,1,，,2,，,2,，， 设,,， 对于A选项，假设存在点，使得平面， 因为,,，，， 则，可得， 因为，则，即当点与点重合时，平面，故A正确； 对于B选项，由A选项可知，平面的一个法向量为， 假设存在点，使得平面平面，则，， ， 则，可得， 又因为，解得，即当点为的中点时，面平面，故B正确； 对于C选项，若存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为， 则直线与平面的所成角的正弦值为，且， 所以， 整理可得， 因为函数在时的图象是连续的，且，，所以存在，使得， 所以，存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为，故C正确； 对于D选项，设平面的法向量为，，， 则，取，可得,1,， 假设存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 则， 可得，即，可得或， 因为，则，则， 所以，故当时，方程和均无解， 综上所述，不存在点，平面与平面的夹角的余弦值为，故D错误． 故选：ABC． 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 1．（25-26高三上·湖北·月考）在三棱锥中，为正三角形，，点为棱的中点，点是线段上的一动点． (1)证明：； (2)求二面角的正弦值的大小； (3)设直线与平面、平面所成角分别为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得； （2）：由（1）得到为二面角的平面角，证得，在直角中，即可求解； （3）方法1：证得为直线与平面所成角，即，得到为直线与平面所成角，即，设，分别求得和，得到，结合三角函数的性质，即可求解； 方法2：以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，得到和，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为为正三角形，且为棱的中点，所以， 又因为，且平面，且， 所以平面，因为平面，所以. （2）解：由（1）知且，所以为二面角的平面角， 因为， 平面，且， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，为正三角形，可得， 在直角中，可得. （3）解：方法1：因为面，所以为直线与平面所成角，即， 因为平面，所以平面平面，且面面， 作于，连接，可得面， 所以为直线与平面所成角，即， 设，其中，且为锐角， 则，可得， 在中，可得，所以，即， 所以，故 所以 当时，取得最大值． 方法2：过B作BM的垂线，以为原点，以所在直线分别为轴， 建立如图空间直角坐标系，则， 设，可得 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以. 所以 取平面的法向量，则 所以， 令， 则 所以当时，即时，的最大值为． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，， (1)求证：平面； (2)设平面平面，求与平面所成角的正弦值． (3)设平面，求当周长最小时三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）如图，取中点为，连接，由题可证，结合，可得平面，从而，最后结合可完成证明； （2）如图建立以为原点的空间直角坐标系，由题求出方向向量与平面的法向量，据此可得答案； （3）如图，由（1）做出关于平面的对称点，连接，其与平面交点即为满足题意的Q，然后由题可得Q坐标，据此可得体积． 【详解】（1）取中点为E，连接PE，因，则， 又平面平面，平面，平面平面， 则平面，平面，则． 又，平面，， 所以平面，平面，则． 又，平面，， 所以平面． （2）如图，连接，因，则， 结合（1），可得两两垂直，故建立以为原点的空间直角坐标系． 因，则． 因，，则． 从而， ． 设平面与平面法向量 分别为，， 则，， 可取，. 设方向向量为，因平面平面， 则，从而可取. 设与平面夹角为，易得平面法向量为， 则； （3）由（1）可得平面，延长至，使， 则为关于平面的对称点，从而， 当且仅当三点共线时取等号， 又，则连接，与平面交点即为满足题意的Q. 由（2），则，. 设，又， 则，注意到平面， 则，则， 又，则，即. 则. 3．（25-26高二上·河南许昌·月考）在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以（a，b，c不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，且；而过点P，且以（a，b，c不同时为0）为法向量的平面方程为.若平面过点A，且满足方程；直线也过点A，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面方程的一般形式，对比题干中的形式，求出平面的法向量；根据直线方程的一般形式，对比题干中的形式，求出直线的方向向量；再利用直线与平面所成角的向量公式求解. 【详解】设. 因为平面过点A，且满足方程，将其写为， 即， 所以，且平面的一个法向量为. 因为直线过点A，满足，且， 所以， 由得. 根据题干中的规定可知，，由可得， 对比可知，不妨取，则， 所以直线的一个方向向量为. 设直线与平面所成角为， 则 ， 所以. 故选：B. 4．【多选题】（25-26高二上·浙江·月考）如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥.若为线段中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） A． 平面 B．的长为定值 C．四棱锥体积的最大值为 D．设二面角的平面角为，若，则平面和平面夹角余弦值的最小值为 【答案】ACD 【分析】先证明平行四边形得出 进而得出线面平行判断A，应用勾股定理计算判断B，应用四棱锥的体积公式计算判断C，应用空间向量法计算二面角余弦的最小值判断D. 【详解】取中点，连接，则因为为中点，所以为的中位线，所以 且. 因为为的中点，四边形为矩形，所以 且，所以 且，故四边形为平行四边形， 所以 ，平面，所以 平面.故A正确； 所以，故B不正确； 取的中点，连接，因为，则，当平面平面时， 点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时平面， 且，底面为梯形，面积为，则四棱锥的体积最大值为，故C正确； 连接，因为，所以，所以为二面角的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，过作于点，由题意得平面， 设，因为，所以， 所以，所以， 所以， 设平面的法向量为，则 令，则， 设平面的法向量为， 因为， 则 令，可得：， 设两平面夹角为， 则 ， 令，所以， 所以， 所以当时，有最小值，所以平面和平面夹角余弦值的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 5．（25-26高二上·河南南阳·月考）如图，在四棱锥中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形. (1)证明：. (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)在棱上是否存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)存在， 【分析】（1）根据边长关系，结合勾股定理得，结合面面垂直性质定理证明平面得，进而证明平面即可证明结论； （2）根据（1）的证明，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用坐标求解平面与平面夹角即可； （3）假设存在，设三棱锥外接球的球心，，，再根据球心到的距离相等解方程即可得答案. 【详解】（1）证明： 因为，， 是以为斜边的等腰直角三角形. 所以，，即 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以 （2）由（1）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系， ，，，，， ，， 设，， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 又平面的法向量为，平面与平面夹角的余弦值为 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以，当为棱靠近点的三等分点时，平面与平面夹角的余弦值为，此时. （3）假设棱上存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内， 设三棱锥外接球的球心，， 所以三棱锥外接球的球心到的距离相等， 即，即， 解方程得，， 所以，棱上存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内，此时 6．（25-26高三上·河南·月考）如图，在三棱台中，平面． (1)若，求三棱台的体积． (2)若直线与平面所成角的正弦值为， （i）求． （ii）三棱台的顶点中，同在一个球面上的点最多有几个？请任选一个包含最多顶点的球面，计算该球的表面积． （注：若选择多个球面分别计算，按第一个结果给分）． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】（1）由台体的体积公式求解； （2）（i）建立如图所示的空间直角坐标系，设由线面角求出的值，即可求解；（ii）利用平面几何知识计算可知等腰梯形的外接圆圆心即点，外接圆半径为2，即可求解. 【详解】（1）因为平面平面， 所以，又， 所以． 同理，． 又，所以与都是等腰直角三角形， 故三棱台的体积为 （2）设的中点为，连接．由（1）可知， 所以， 故以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （i）设， 由，得． 所以， 所以． 设平面的法向量为， 则， 取． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以，解得，所以． 故． （ii）因为侧面和侧面都是直角梯形，不存在外接圆，所以其顶点不可能在同一个球面上，又侧面是等腰梯形，存在外接圆，所以其4个顶点可以在同一个球面上，再加上点或，可知同在一个球面上的点最多有5个． 利用平面几何知识计算可知等腰梯形的外接圆圆心即点，外接圆半径为2． 设所求的球面球心为，半径为，则， 设， 即． ①若选所在的球面： 因为，所以， 即， 解得，此时． ②若选所在的球面： 因为，所以， 即，解得， 此时． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $