上海市嘉定区2024-2025学年九年级上学期期末（一模）数学试题

上海市嘉定区2024学年第一学期九年级质量调研 数学试卷 （满分150分，完成时间100分钟） 考生注意： 1． 本试卷含三个大题，共25题； 2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ▲ ） A．； B．； C．； D．． 2．抛物线一定经过点（ ▲ ） A．（1,0）； B．（-1,0）； C．（2,4）； D．（-2，-4）． 3．下列两个三角形一定相似的是（ ▲ ） A．两个直角三角形； B．有一个内角为40°的两个直角三角形； C．两个等腰三角形； D．有一个内角为40°的两个等腰三角形． 4．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，如果对角线AC⊥AB，那么的值是（ ▲ ） A．sin B； B．cos B； C．tan B； D．cot B． 5．下列命题正确的是（ ▲ ） A．如果，那么； B．如果和都是单位向量，那么； C．； D．如果（k≠0），那么． 6．如图2，两条不平行的直线与直线相交于点O，四条平行线分别交直线于点A、B、C、D，分别交直线于点、、、，则有。如果=3，=2，=4.那么在下列结果中，线段之差最大的是（ ▲ ） A．BD-AB； B．OC-OA； C．OC-CD； D．CD-OB． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．已知，那么 ▲ ． 8．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ▲ ． 9．将抛物线 向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是_▲_____ . 10．已知点，在函数的图像上，如果＞＞1，那么 ▲ ．（填“＞”、“＝”、“＜”） 11．已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ▲ ． 12．如图3，AD∥BC，AC、BD相交于点O，如果，那么的值是 ▲ ． 13．如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，EC=2AE，联结DE，如果，，那么 ▲ ．（用含向量、的式子表示） 14．在等腰△ABC中，AB=AC，如果AB：BC=3:2，那么sin∠BAC的值是 ▲ 15．手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象。它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像。如图5，为了投影出一个动物照型CD，手AB的长度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米，此时CD的长度是 ▲ 厘米． 16．某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，如图6，已知楼梯高AB=6米，坡面AC的坡度i=1:，则至少需要红地毯 ▲ 米． 17．已知平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”，如图7，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=10，点E、F分别在边AB、CD上（AE＞BE），如果EF是梯形ABCD的“黄金分割线”，那么EF= ▲ ． 18．如图8，将一块含30°角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心G逆时针旋转180°，如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为 ▲ 平方厘米． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：． 20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分） 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D， （1）为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个： ①它与轴交点的坐标是（0，-1）；②顶点D的坐标为（1，）。 你选择的条件是_____▲_______ （填写编号），并求b,c的值。 （2）由（1）确定的抛物线与轴正半轴交于点A，求tan∠DAO的值。 21．（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分） 如图9，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BD=12，CD=15，且∠BAD=∠C。 （1）求线段AB的长； （2）当∠ADE=∠C，∠B=60°时． 求△EDC的面积。 22．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分） 如图10，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E是边AB的中点，联结CE，作AF⊥CE，垂足为点F，联结BF。 （1）求证：△EFB∽△EBC； （2）该取BC边的中点D，联结DF，求证： 23．（本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分） 火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全。我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来检测轨道的各种参数（几何尺寸、转轨、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷。某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像。一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变。可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离。 发现原理 被检测物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离。假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像。 建立模型 如图11，直线M’N’∥直线∥直线，直线MN垂直于和，垂足分别为M和N，线段MM’与线段NN’交于点O，∠M’MP=a. 探究（1） 设MN=m，请用含m和a的式子表示点N到直线MM’的距离。 探究（2） 已知M’N’=5，OM’=23，OM=132，求MN的长度。（结果精确到个位，sina=0.8, cosa=0.6, cota=0.75） 24．（本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分） 在平面直角坐标系中，抛物线经过点（2,3）和点（-4,3）． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图12，该抛物线上有三个点A、B、C，AB∥x轴，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB与抛物线的对称轴交于点M（点A在对称轴的左侧） ①如果点C到抛物线对称轴的距离为t，请用含t的代数式表示点B的横坐标； ②求点C的横坐标。 25．（本题满分14分，第(1)①小题满分5分，第(1)②小题满分5分，第(2)小题满分4分） 如图13，在△ABC中，AB=AC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，点D在AB边上（不与点A重合），点E是边AC上的点，且满足CD=CE，设k=tan B. （1） 求证：∠CDE=∠BCD+45°； （2） 如图14，过点D作DH⊥BC，垂足为点H，求证：； （3） 设点F是CD的中点，联结EF并延长交边BC于点G，当△CFG与△BCD相似时，求k 的值。 上海市嘉定区2024学年第一学期九年级质量调研 数学试卷 （满分150分，完成时间100分钟） 考生注意： 3． 本试卷含三个大题，共25题； 4． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ▲ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数定义知识点 【详解】由二次函数定义知识点，判断得到A，B，D不是二次函数。 A中，要求； B中，化简得到一次函数，不是二次函数； D中，显然不是二次函数。 正确答案为C 2．抛物线一定经过点（ ▲ ） A．（1,0）； B．（-1,0）； C．（2,4）； D．（-2，-4）． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像知识点 【详解】将A，B ,C ,D 四个选项，逐个代入，看等号是否成立，可以得到答案。 正确答案为B 3．下列两个三角形一定相似的是（ ▲ ） A．两个直角三角形； B．有一个内角为40°的两个直角三角形； C．两个等腰三角形； D．有一个内角为40°的两个等腰三角形． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定知识点 【详解】A中，仅有两个直角相等，无法判定相似； B中，有直角和40°角两对角相等，可以判定相似； C中，仅能够得到两边对应成比例，无法判定相似； D中，仅能够得到两边对应成比例，40°角不一定是夹角，所以无法判定相似。 正确答案为B 4．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，如果对角线AC⊥AB，那么的值是（ ▲ ） A．sin B； B．cos B； C．tan B； D．cot B． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角比知识点 【详解】在Rt△ACD中，等于sin∠DAC，又∠DAC=∠ACB，∠ACB+∠B=90°，所以 sin∠DAC=sin∠ACB=cos B。 正确答案为B 5．下列命题正确的是（ ▲ ） A．如果，那么； B．如果和都是单位向量，那么； C．； D．如果（k≠0），那么． 【答案】D 【分析】本题考查向量相关知识点 【详解】A中，根据向量的模相等，无法得到向量相等，因为向量还需要考虑方向是否相同； B中，由单位向量，仅得到向量的长度相等，无法得到向量相等； C中，向量的和或者差运算，结果仍是向量，所以错误； D选项正确。 正确答案为D 6．如图2，两条不平行的直线与直线相交于点O，四条平行线分别交直线于点A、B、C、D，分别交直线于点、、、，则有。如果=3，=2，=4.那么在下列结果中，线段之差最大的是（ ▲ ） A．BD-AB； B．OC-OA； C．OC-CD； D．CD-OB． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例及应用 【详解】由题意，及平行线分线段成比例，可设AO=3m, OB=2m, BC=2m,CD=4m,(m≠0)， 选项A中，BD-BA=m; 选项B中，OC-OA=m; 选项C中，OC-CD=0； 选项D中，CD-OB=2m，显然D中线段之差最大，选D。 正确答案为D 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．已知，那么 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查比例运算知识点 【详解】可设，（k≠0），代入化简，求解即可得到答案。 8．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ▲ ． 【答案】＞2 【分析】本题考查抛物线开口方向相关知识点 【详解】根据抛物线性质，开口向下，所以得二次项系数小于0，即2-＜0，解得答案。 9．将抛物线 向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是_▲_____ . 【答案】（4,0） 【分析】本题考查抛物线的平移知识点 【详解】原抛物线的顶点坐标为（1,0），向右平移3个单位，新顶点坐标为（4,0）即为答案。 10．已知点，在函数的图像上，如果＞＞1，那么 ▲ ．（填“＞”、“＝”、“＜”） 【答案】＜ 【分析】本题考查二次函数的图像和性质知识点 【详解】由题意得，抛物线对称轴为直线，又抛物线开口向下，所以在对称轴右侧部分，y随的增大而减小，所以得答案为＜。 11．已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性知识点 【详解】由表格得到，抛物线过点（-4,11）和（2,11） 两个点。由这两个点纵坐标相等，得到这两个点关于对称轴对称，所以对称轴为-4和2的中点所在的直线，即为直线。 12．如图3，AD∥BC，AC、BD相交于点O，如果，那么的值是 ▲ ． 【答案】4:9 【分析】本题考查相似三角形性质知识点 【详解】因为，所以得到OD：OB=2:3，因为AD∥BC，所以得到△AOD∽△BOC，所以=4:9。 13．如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，EC=2AE，联结DE，如果，，那么 ▲ ．（用含向量、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查相似三角形与向量的运算知识点 【详解】由题意得，又因为BD=2AD，EC=2AE，所以DE∥BC，DE：BC=1:3，所以，即答案为。 14．在等腰△ABC中，AB=AC，如果AB：BC=3:2，那么sin∠BAC的值是 ▲ 【答案】 【分析】本题考查锐角三角比的求解 【详解】由题意，过 A作AH⊥BC于点H，因为等腰，则H为BC的中点。设AB=3，则BH=1，所以得AH=。过B作BD⊥AC交AC于点 D，由等面积得BD=，sin∠BAC=，解得答案为。 15． 手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象。它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像。如图5，为了投影出一个动物照型CD，手AB的长度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米，此时CD的长度是 ▲ 厘米． 【答案】18厘米 【分析】本题考查三角形一边平行线的性质知识点及应用 【详解】因为AB∥CD，由三角形一边平行线的性质，所以得OG：OH=AB：CD，代入数据得到答案为18厘米。 16．某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，如图6，已知楼梯高AB=6米，坡面AC的坡度i=1:，则至少需要红地毯 ▲ 米． 【答案】14米 【分析】本题考查坡度及应用知识点 【详解】由坡度及AB=6米，得到BC=8米，所以红毯水平方向的总长度为BC的长度8米，红毯竖直方向的总长度为AB的长度6米，所以至少需要红地毯为6+8=14米。 17．已知平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”，如图7，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=10，点E、F分别在边AB、CD上（AE＞BE），如果EF是梯形ABCD的“黄金分割线”，那么EF= ▲ ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及应用知识点 【详解】由题中的“黄金分割线”及AE＞BE，得AE：AB=DF：DC=，过点D作直线DMN分别交EF于点M，交BC于点N，所以MF：NC=DF：DC=，由图形得CN=10-6=4，所以MF=，所以EF=EM+MF=6+=。 18．如图8，将一块含30°角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心G逆时针旋转180°，如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为 ▲ 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查三角形重心性质，图形旋转，相似三角形面积比等知识点 【详解】由题意，设∠A=90°，∠B=30°，点A，B，C绕点G旋转后对应点为A’ ，B’，C’，因为旋转角为180°，所以得到旋转前后的对应线段平行，设线段AA’ 与B’C’，BC分别交于点M，N，所以AM：MG：NG=1：1:1。设未重叠部分的三个三角形的面积分别记为，，，由题意得==，且：=，所以未重叠部分总面积为3=，运动前后两个三角形重叠部分的面积为，又，由锐角三角比得AC=6，AB=代入得答案为。 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角比的计算，分母有理化的计算。 【详解】原式= = = = 20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分） 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D， （1）为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个： ①它与轴交点的坐标是（0，-1）；②顶点D的坐标为（1，）。 你选择的条件是_____▲_______ （填写编号），并求b,c的值。 （2）由（1）确定的抛物线与轴正半轴交于点A，求tan∠DAO的值。 【答案】（1）②；b=,c=1；（2） 【分析】本题考查抛物线解析式的求解；考查抛物线与锐角三角比结合求三角比的值。 【详解】（1）由顶点坐标公式得；， 解得b=,c=1。 （2）抛物线解析式为，经计算得点A坐标为（3,0）， 又D的坐标为（1，）所以tan∠DAO=. 21．（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分） 如图9，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BD=12，CD=15，且∠BAD=∠C。 （1）求线段AB的长； （2）当∠ADE=∠C，∠B=60°时． 求△EDC的面积。 【答案】（1）AB=18；（2）面积为 。 【分析】本题考查相似三角形判定，相似三角形性质，相关面积的求解。 【详解】（1）∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠ABC ∴△ABD∽△ABC ∴ 代入数据，解得AB=18； （2）∵∠ADE=∠C ∴AB∥DE ∵∠B=60° ∴∠CDE=60° 又DE：AB=CD：CB，代入数据，解得DE=10， 过E作EF⊥CD交CD于点F，在Rt△DEF中，EF=DEsin60°=， 所以△EDC的面积。 22．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分） 如图10，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E是边AB的中点，联结CE，作AF⊥CE，垂足为点F，联结BF。 （1）求证：△EFB∽△EBC； （2）该取BC边的中点D，联结DF，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析。 【分析】本题考查相似三角形的判定，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质 【详解】（1）∵∠BAC=90°，AF⊥CE ∴△AEF∽△AEC ∴ ∵点E是边AB的中点 ∴EA=EB ∴ 又∵∠FEB=∠BEC ∴△EFB∽△EBC （2）∵△EFB∽△EBC ∴∠EBF=∠ECB ∵等腰直角三角形ABC ∴∠EBF+∠CBF=45°，∠ECB+∠ECA=45° ∴∠CBF=∠ECA ∵∠ECA=∠EAF ∴∠CBF=∠EAF ∴△ABF∽△CBF ∵FD，FE分别为BC，BA对应的中线 由相似三角形的性质得 ∵等腰直角三角形ABC ∴ ∴ 23．（本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分） 火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全。我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来检测轨道的各种参数（几何尺寸、转轨、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷。某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像。一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变。可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离。 发现原理 被检测物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离。假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像。 建立模型 如图11，直线M’N’∥直线∥直线，直线MN垂直于和，垂足分别为M和N，线段MM’与线段NN’交于点O，∠M’MP=a. 探究（1） 设MN=m，请用含m和a的式子表示点N到直线MM’的距离。 探究（2） 已知M’N’=5，OM’=23，OM=132，求MN的长度。（结果精确到个位，sina=0.8, cosa=0.6, cota=0.75） 【答案】（1）mcosa； （2）MN=60 【分析】本题考查锐角三角比，解直角三角形，相似三角形知识点综合解题 【详解】（1）由题意，作NA⊥MM’的延长线于点A， 又∵MP⊥MN 得∠MNA=a， 所以NA=NMcosa=mcosa； （2）作N’H⊥OM’，在Rt△M’N’H中，M’N’=5， ∵直线M’N’∥直线 ∴∠N’M’H=∠MNA=a ∵sina=0.8, cosa=0.6, ∴N’H=4，M’H=3 ∵N’H∥NA ∴△N’HO∽△NOA ∴ ∵OM’=23，OM=132， ∴OH=20，N’H：OH=1:5 ∴NA：AO=1:5 在△MNA中，设MN=m，则NA=NMcosa=mcosa=0.6m, MA=0.8m ∴NA：AO=0.6m：（132+0.8m）=1:5 ∴m=60。 答：MN的长度为60。 24．（本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分） 在平面直角坐标系中，抛物线经过点（2,3）和点（-4,3）． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图12，该抛物线上有三个点A、B、C，AB∥x轴，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB与抛物线的对称轴交于点M（点A在对称轴的左侧） ①如果点C到抛物线对称轴的距离为t，请用含t的代数式表示点B的横坐标； ②求点C的横坐标。 【答案】（1）抛物线表达式为；（2）① 2t-1 ；② 。 【分析】本题考查求抛物线的解析式， 【详解】（1）把点（2,3）和点（-4,3）代入，得a=，b=1， 抛物线表达式为； （2） ①由（1）得抛物线的对称轴为直线=-1， ∵点C到抛物线对称轴的距离为t，C又在抛物线上 ∴点C坐标为 ∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB与抛物线的对称轴交于点M ∴M为AB中点，联结MC，得∠CMB=60°， ∴△MCB为等边三角形 ∴由等边三角形性质得，点C的横坐标为点M，点B两点横坐标得中点， 过C作CH⊥AB，交AB于点H，则H为BM中点， 点M横坐标为-1，∴点B的横坐标为2（t-1）-(-1)=2t-1； ②由题意点C到抛物线对称轴的距离为t，得HM=t， ∵∠BMC=60°，∴在Rt△MCH中，CH= 由①得B点横坐标为2t-1，又B在抛物线上，所以B点坐标为 所以点H纵坐标为，得CH= 即 解得或者 所以点C的横坐标为，即为 25．（本题满分14分，第(1)①小题满分5分，第(1)②小题满分5分，第(2)小题满分4分） 如图13，在△ABC中，AB=AC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，点D在AB边上（不与点A重合），点E是边AC上的点，且满足CD=CE，设k=tan B. （1） 求证：∠CDE=∠BCD+45°； （2） 如图14，过点D作DH⊥BC，垂足为点H，求证：； （3） 设点F是CD的中点，联结EF并延长交边BC于点G，当△CFG与△BCD相似时，求k 的值。 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）k的值为或者2 。 【分析】本题考查角度换算；添加辅助线构造全等三角形，全等三角形判定及应用；相似三角形性质及应用等知识点的综合应用 【详解】（1）设∠BCD=，∴∠B=90°- ∵AB=AC ∴∠C=∠B=90°- ∴∠ECD=90°-2 ∵CD=CE ∴∠CDE=∠CED ∵∠CDE+∠CED+∠ECD=180° ∴∠CDE=45°+ ∴∠CDE=∠BCD+45° （2） 过点E作EM⊥BC于点M，过D作DN⊥EM于点N，则四边形DHMN为矩形， △EMC为Rt△， ∵DM∥BC ∴∠NDC=∠BCD= ∴∠EDN=∠DEN=45° ∴DE= ∠CEM= 在Rt△CDH和Rt△CEM中， ∠CHD=∠CME=90° ∠DCH=∠CEM= CD=CE ∴Rt△CDH≌Rt△CEM ∴EM=CH ∴CH-DH=EM-DH=EM-NM=EN ∵DE= ∴ （3） ∵△CFG与△BCD相似 ∴①当∠CFG=∠BDC=90°时， ∵点F是CD的中点， ∴由三线合一，得ED=EC，∴△CDE为等边三角形 ∴∠EDC=60°，即∠BCD=15° ∠CBD=75° ∴∠EGC=∠C=75° 设FC=FD =m，则CD=CE=2m，∴在Rt△CEF中，EF= ∵EF⊥CD BD⊥CD ∴EF∥BD ∴∠EGC=∠CBD=∠ECG ∴EG=EC=2m ∴FG= ∴k=tan B=tan EGC= ②当∠CGF=∠BDC=90°时，显然△CGF∽△CGE ∴ 又∵ ∠B =∠ECG ∴k=tan B=tan ECG=2 答：k的值为或者2。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$