2022-2023学年沪教版（上海）九年级数学第一学期期中易错练习

2022-2023年九上期中易错练习 一、选择。 1、下列命题正确的个数有（ ）个 （1）长度相等的两个非零向量相等 （2）平行向量一定在同一直线上 （3）与零向量相等的向量必定是零向量 （4）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2、如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么向量用单位向量表示 为（ ） A． B． C． D． 3、当时，、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4、如图，在中，，BC = 3，AC = 4，AB的垂直平分线DE交BC 的延长线于点E，则CE的长为（ ）A B C D E A． B． C． D．2 5、如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，，AB = 8，AD = 3，BC = 4， 点P为AB边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）．A B C D P A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6、如图，D、E分别是的边AB、AC上的点，且DE // BC，BE交DC于点F， EF : FB = 1 : 3，则的值为（ ）A B C D E F A．1 : 9 B．1 : 3 C．2 : 9 D．1 : 7 二、填空 1、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB = 10 cm，则PQ长为_____． 2、已知P是线段AB的一个黄金分割点，且AB = 20 cm，AP < BP，那么AP =______． 3、已知点C是线段AB的黄金分割点，，且AC > BC，则线段AB =______， BC =______． 4、已知三个数2、、5，填一个数，使这四个数能组成比例，这个数可能是 ____________． 5、已知三个数2、、5与x成比例，则x是 ____________． 6、中，，点D在AB上，点E在BC上，若，那么DE______ 平行于AC．（填“一定”、“不一定”或者“一定不”） 7、如果从灯塔A处观察到船B在它的北偏东35°方向上，那么从船B观察灯塔A 的方向是______．A B C G 8、如图，点G是的重心，，AC = 4，那么BG的长为______． 9、如图，已知ABCD是梯形，其中AB // CD，对角线AC与BD交于O，过O作AB 的平行线交AD于点E，交BC于点F，若AO : OC = 2 : 1，且CD = 1.8，CF = 0.8，那 么AB = ______，BC =______．A B C D E F O 10、 在中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的一条直线截， 使截得的三角形与相似，我们不妨称这种直线为过点P的相似线．如图，，AB = AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的的相似线最多有______条．A B C P 11、已知线段4是线段a和线段9的比例中项，请问a为_____。 12、已知：如图，AD是的中线，E为AD上的一点，且，射线CE交 AB于F，______．A B C D E F 13、如图所示，在中，BC = 6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线 EF上，BP交CE于D，的平分线交CE于Q，当时，EP + BP =______．D A B C E F P Q 14、如图，在中，已知，AO = 3，BO = 6，将绕顶点O 逆 时针旋转到处，此时线段与BO的交点E为BO的中点，那么线段的 长度为______． A B O E 15、如图，在矩形ABCD中，已知AB = 12，AD = 8，如果将矩形沿直线l翻折后点A落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB、AD交于点M、N，那么MN =______． 16、如图，在矩形ABCD中，AB = 8，BC = 9，点P在BC边上，CP = 3，点Q为线段AP上的动点，射线BQ与矩形ABCD的一边交于点R，且AP = BR，则______． A B C D P R Q 3、 解答 1、已知是锐角，化简：． 2、的三个顶点均在格点上，求cos A的值。A B C 3、化简：． 4、已知实数a、b、c满足，求的值． A B C D E F 5、如图，在中，DE // BC，EF // CD，AF = 3，FD = 2，求AB的长． 6、如图，AD // OM // BC，AC、BD相交于点O． 求证：．A B C D O M 7、如图，在矩形ABCD中，截去一个矩形ABFE（图中阴影部分），余下的矩形DEFC与原矩形ABCD相似． （1）设AB = 6 cm，BC = 8 cm，求矩形DEFC的面积； （2）若截去的矩形ABFE是正方形，求的值． A B C D E F 8、如图，已知在平面直角坐标系中正三角形ABC的顶点B（1，0），C（3，0），过 坐标原点O的一条直线分别与边AB、AC交于点M、N，若OM = MN，求点M的坐标为．A B C O N M x y 9、在中，E、F是BC上的三等分点，M在AC上满足AM : MC = 2 : 3，BM 分别交AE、AF于点G、H，设BG = x，GH = y，HM = z，求x : y : z．A B C E F M H G 10、我们知道，在直角三角形中，一个锐角的三角比由三角形中相应两条边边长的比值 确定，由此建立了直角三角形中边角之间的联系．类似的，可以在等腰三角形中建立边角 之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比值叫做顶角的“正对”（sad）．如图 （a），在中，AB = AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A =．容易知道， 一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据定义，求解下列问题： （1）sad 60°=______； （2）对于0°< A < 180°，sad A的取值范围是______； （3）如图（b），已知，则sad A的值是（ ） A． B． C． D． A B C A B C （a） （b） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023年九上期中易错练习 一、选择。 1、下列命题正确的个数有（ ）个 （1）长度相等的两个非零向量相等 （2）平行向量一定在同一直线上 （3）与零向量相等的向量必定是零向量 （4）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【难度】★★ 【答案】B 【解析】相等的向量需确保方向相同，（1）错误；平行向量是同一平面内平行的两条有向线 段，不一定在同一直线上，（2）错误；只有零向量模长为0，可知与零向量相等的必定 是零向量，（3）正确；相等向量可以在同一直线上，此时四个点不能构成四边形， （4）错误．综上所述，只有（3）正确，故选B． 2、如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么向量用单位向量表示 为（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】C 3、当时，、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】B 4、如图，在中，，BC = 3，AC = 4，AB的垂直平分线DE交BC 的延长线于点E，则CE的长为（ ）A B C D E A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】根据勾股定理，可得，则有 ，由，为公共角， 根据相似三角形判定定理1，可证∽，则有 ，代入线段可求得，则． 5、如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，，AB = 8，AD = 3，BC = 4， 点P为AB边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点P的个数 是（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【难度】★★A B C D P 【答案】C 【解析】与是相似三角形，根据相似三角形判定定理2，首先易得 ，则只需要两三角形夹直角的两边对应成比例 即可，分成两种情况讨论，即或，可分别 得到或或，即满足条件的P点有3个，故选C． 6、如图，D、E分别是的边AB、AC上的点，且DE // BC，BE交DC于点F， EF : FB = 1 : 3，则的值为（ ）A B C D E F A．1 : 9 B．1 : 3 C．2 : 9 D．1 : 7 【难度】★★ 【答案】C 【解析】由DE // BC，即得：，则有， 设，则，由，即可得， 又，即得：． 由此可得：． 二、填空 1、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB = 10 cm，则PQ长为_____． 【难度】★★ 【答案】 2、已知P是线段AB的一个黄金分割点，且AB = 20 cm，AP < BP，那么AP =______． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】根据黄金分割点的意义，由AP < BP，可得，则有 ． 3、已知点C是线段AB的黄金分割点，，且AC > BC，则线段AB =______， BC =______． 【难度】★★ 【答案】10，． 【解析】根据黄金分割点的概念，且AC > BC，可知，代入可得 ，则． 【总结】考查黄金分割点的概念，以及相关的黄金比． 4、已知三个数2、、5，填一个数，使这四个数能组成比例，这个数可能是 ____________． 【难度】★★★ 【答案】或或． 【解析】设这个数是，根据比例的基本性质，转化后，可以得到三种情况，即， ，，分别解得，，． 【总结】考查对比例基本性质的应用，一定要注意题目条件的说明是否需要进行分类讨论的情况，通过转换为乘积的形式，可以做到不重不漏． 5、已知三个数2、、5与x成比例，则x是 ____________． 【答案】 6、中，，点D在AB上，点E在BC上，若，那么DE______ 平行于AC．（填“一定”、“不一定”或者“一定不”） 【难度】★★ 【答案】不一定． 7、如果从灯塔A处观察到船B在它的北偏东35°方向上，那么从船B观察灯塔A 的方向是______．A B C G 【难度】★★ 【答案】南偏西． 8、如图，点G是的重心，，AC = 4，那么BG的长为______． 【难度】★★A B C G D 【答案】4 【解析】延长交于点，则是中点， 由，则有，根据重心性质， 即可得． 9、如图，已知ABCD是梯形，其中AB // CD，对角线AC与BD交于O，过O作AB 的平行线交AD于点E，交BC于点F，若AO : OC = 2 : 1，且CD = 1.8，CF = 0.8，那 么AB = ______，BC =______．A B C D E F O 【难度】★★ 【答案】，． 【解析】由，根据三角形一边平行线的性质 定理及推论，可得，由此可 求得：，，故． 10、 在中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的一条直线截， 使截得的三角形与相似，我们不妨称这种直线为过点P的相似线．如图，，AB = AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的的相似线最多有______条．A B C P 【难度】★★ 【答案】3． 【解析】过点可分别作出、的一条平行线，即有两条相似 线，同时原图是一个黄金三角形，连结也可得到一个黄金三角形， 也相似，即一共可以得到3条相似线． 【总结】考查黄金三角形的性质． 11、已知线段4是线段a和线段9的比例中项，请问a为_____。 12、已知：如图，AD是的中线，E为AD上的一点，且，射线CE交 AB于F，______．A B C D E F G 【难度】★★ 【答案】． 【解析】作交于点，则有， 因为为中点，且，则为中点， 即有，则．A B C D E F 13、如图所示，在中，BC = 6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线 EF上，BP交CE于D，的平分线交CE于Q，当时，EP + BP =______． 【难度】★★★ 【答案】12． 【解析】延长交延长线于点． 由E、F分别是AB、AC中点，得为中位线， 则有，可得:，由，则有， 则有，，由，则有，则有， 由，则，即． D A B C E F P Q 14、如图，在中，已知，AO = 3，BO = 6，将绕顶点O 逆 时针旋转到处，此时线段与BO的交点E为BO的中点，那么线段的 长度为______． 【难度】★★★A B O E F 【答案】． 【解析】作交于点，根据勾股定理可得： ，根据面积法可得：，A B O E 勾股定理可得：，根据旋转性质， 由此可得：，． 15、如图，在矩形ABCD中，已知AB = 12，AD = 8，如果将矩形沿直线l翻折后点A落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB、AD交于点M、N，那么MN =______．A B C D E M N l 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】连结，依题意可得垂直平分，则有， 设，则有，， 在中用勾股定理，则有， 即，解得:，，，易得， 勾股定理得：，则有，A B C D E 即，得：． 16、如图，在矩形ABCD中，AB = 8，BC = 9，点P在BC边上，CP = 3，点Q为线段AP上的动点，射线BQ与矩形ABCD的一边交于点R，且AP = BR，则______． 【难度】★★★ 【答案】1或． 【解析】由BC = 9，CP = 3，可得， 勾股定理可得：． （1）当射线与交于点时，可得，由，则有； （2） 射线与交于点，延长交延长线于点， 勾股定理可得：，由， 则有，即，得， 由此可得：． A B C D P R Q 3、 解答A B C D P 1、已知是锐角，化简：． 【难度】★ 【答案】． 【解析】是锐角，则有，原式． 【总结】考查锐角三角比的取值范围． 2、的三个顶点均在格点上，求cos A的值。 【难度】★★★A B C 【答案】． 【解析】连结，易得，D 由图可知， 则有． 3、化简：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】根据锐角三角比之间的相互关系，， 原式 ． 4、已知实数a、b、c满足，求的值． 【难度】★★★ 【答案】2或 【解析】当时，根据比例的等比性质，可得； 当时，则有，由此． 故的值为2或． 5、如图，在中，DE // BC，EF // CD，AF = 3，FD = 2，求AB的长． 【难度】★★A B C D E F 【答案】． 【解析】AF = 3，FD = 2，可得，由DE // BC， EF // CD，可得，即得，求得． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意利用基本“A”字型，尤其有叠合的图形进行等比例转化． 6、如图，AD // OM // BC，AC、BD相交于点O． 求证：．A B C D O M 【难度】★★★ 【答案】略 【解析】证明：， ，． ． 即得：． 7、如图，在矩形ABCD中，截去一个矩形ABFE（图中阴影部分），余下的矩形DEFC与原矩形ABCD相似． （1）设AB = 6 cm，BC = 8 cm，求矩形DEFC的面积； （2）若截去的矩形ABFE是正方形，求的值．A B C D E F 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）余下矩形与原矩形相似，根据相似形的性质， 则有，代入即为，求得， 则有； （2） 同（1）有，设原矩形宽为，则有，代入即为， 整理得：，两边同除以，即得，解方程得 ，即，此时为黄金比． 8、如图，已知在平面直角坐标系中正三角形ABC的顶点B（1，0），C（3，0），过 坐标原点O的一条直线分别与边AB、AC交于点M、N，若OM = MN，求点M的坐标为．A B C O N M x y 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】过点作交于， 过点作交于， 由OM = MN，易证得， 则有，， 由B（1，0），C（3，0），可得， 是正三角形，则有，，且有， 得，由此，由，可得：， ，即得． 9、在中，E、F是BC上的三等分点，M在AC上满足AM : MC = 2 : 3，BM 分别交AE、AF于点G、H，设BG = x，GH = y，HM = z，求x : y : z． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】过点作分别交、于点、 点，过点作交于点， E、F是BC上的三等分点， ，． 即得． AM : MC = 2 : 3，A B C E F M H G ， ，即得． ， ， ． ，即得：． ． 即得． 10、我们知道，在直角三角形中，一个锐角的三角比由三角形中相应两条边边长的比值 确定，由此建立了直角三角形中边角之间的联系．类似的，可以在等腰三角形中建立边角 之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比值叫做顶角的“正对”（sad）．如图 （a），在中，AB = AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A =．容易知道， 一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据定义，求解下列问题： （1）sad 60°=______； （2）对于0°< A < 180°，sad A的取值范围是______； （3）如图（b），已知，则sad A的值是（ ） A． B． C． D． 【难度】★★★ 【答案】（1）1；（2）； （3）D 【解析】（1）顶角为，即这个等腰三角 形是等边三角形，三边长都相等， 由此可知； （2）根据三角形三边关系， 可知，由此可得； （3）取的角平分线交于点\，作交于点，连结交 于点，由，则有，垂直平分， ，可设，则有，，， 则有，由，即得，根据勾股定理， 则有，由三角形的面积法，则有， 可得，则， 由此可得：，故选D． 学科网（北京）股份有限公司 $$