1.3第3课时　完全平方公式的认识 教学设计 2024—2025学年北师大版七年级数学下册

第一章　整式的乘除 3　乘法公式 第3课时　完全平方公式的认识 课标摘录 知道完全平方公式的几何背景,并能运用公式进行简单计算和推理。 教学目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点。 2.会运用公式进行简单的运算。 教学重难点 重点:理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点。 难点:会运用公式进行简单的运算。 教学策略 本节课的教学方向是引导、鼓励学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式分别从几何直观和代数运算的角度分别推导并验证出本课新知,发展学生的符号感和推理能力。从而学生经历了从几何解释到代数运算,再到几何解释的过程,学生的数形结合意识得以培养,并且从不同的角度推导出了公式,并且加以巩固。 情境导入　一位老人非常喜欢孩子。每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们。来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,来三个孩子,老人就给每个孩子三块糖……(依此类推)。 (1)第一天有a个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (2)第二天有b个女孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖? (4)这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多少?为什么? 思考回答:(1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖; (2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖; (3)第三天老人一共给了这些孩子(a+b)2块糖; (4)孩子们第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数比较,应用减法,即(a+b)2-(a2+b2). (5)我们上一节学了平方差公式,即(a+b)(a-b)=a2-b2,现在遇到了两个数的和的平方,该怎样处理呢? 新知初探 探究一　完全平方公式 活动1:观察下列算式及其运算结果,你有什么发现? (1)(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9。 (2)(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=22+2×3x+2×3x+9x2=4+2×2×3x+9x2=4+12x+9x2。 发现:(a+b)2=a2+2ab+b2。 新知初探 想一想:你能根据图中的面积解释完全平方公式吗? 和的完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2 活动2:议一议 (a-b)2=?你是怎样做的? 方法1 (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2。 方法2 (a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2。 发现:(a-b)2=a2-2ab+b2。 师生活动:教学中可以先让学生自己计算并比较结果与方法,方法1与方法2依教学需要而呈现,如教学中已出现这两种方法,则不必重复。 活动3:做一做 (a-b)2=a2-2ab+b2, 请你设计一个图形解释这一公式。 (a-b)2=a2-ab-b(a-b)=a2-2ab+b2。 活动4:归纳总结 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2。 (a-b)2=a2-2ab+b2。 两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。这两个公式叫作完全平方公式。 简记为:“首平方,尾平方,积的2倍放中间” 公式特征: 1.积为二次三项式。2.积中的两项为两数的平方。3.另一项是两数积的2倍,且与原式中间的符号相同。4.公式中的字母a,b可以表示数、单项式和多项式。 意图说明 完全平方公式是多项式乘多项式运算的直接结果,是多项式乘多项式运算的一种特殊情况。让学生先通过计算、观察、对比等式两边代数式的结构,得到一般性的结论。再让学生从几何和代数的角度推导并验证公式的成立,加深对公式的体会。 探究二　完全平方公式的应用 活动5:例题解析 例题 利用完全平方公式计算: (1)(2x-3)2; 解: (2)(4x+5y)2; 解: (3)(mn-a)2。 解: 师生活动:学生先独立完成,再小组合作探究学习。 想一想 思考:(1)(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (2)(a-b)2与(b-a)2相等吗? (3)(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么? 解:(1)(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2。 (2)(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2。 (3)(a-b)2与a2-b2不一定相等, 只有当b=0或a=b时,(a-b)2=a2-b2。 活动6:拓展应用 如果36x2+(m+1)xy+25y2是一个完全平方式,求m的值。 师生活动:学生独立思考,学生代表讲述思路,教师整理板书,并引导学生总结。 方法总结:两数的平方和加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式。注意积的2倍的符号,避免漏解。 意图说明 让学生理解公式的结构特征,知道a和b可以表示什么?经过思考和讨论让学生探究并建构自己的知识结构和能力结构,老师再适当引导和精讲,使全体学生真正理解和的完全平方公式的结构特征。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 完全平方公式的认识 1.完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2。 (a-b)2=a2-2ab+b2。 简记为:“首平方,尾平方,积的2倍放中间”　　　 2.例题解析 3.拓展应用 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$