2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列（人教版）七年级数学下册《相交线平行线》7.2 平行线的判定十大题型解题技巧（解析版）

2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线平行线》 7.2 平行线的判定十大题型解题技巧 知识要点归纳 知识点1.平行线的定义 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。直线a、b平行记作a∥b （2）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行。 知识点2.平行线的画法 一落：把三角尺的一边落在已知直线a上 二靠：紧靠三角尺的另一边放 三推：沿直尺推动三角尺，使原来落在直线a上的那一边过已知点p 四画：沿原来落在已知直线a上的这一条边画直线b. 注意：推动三角尺时必须保持紧靠直尺，且直尺不能移动，否则画出来的直线与已知直线不平行 知识点3. 平行公理及推论 （1）平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 （2）.平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 注意：平行公理中强调“直线外一点”，是因为若点在直线上，不可能有平行线。 知识点4.平行线的判定 （1）.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行。 （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单说成：同旁内角互补，两直线平行。 知识点5 平行线判定方法的综合应用 除了平行线的三种判定方法外，还可以根据平行线的定义，平行公理的推论，以及在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 平行线的识别】 【例1-1】．同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直 【例1-2】．下面语句中，正确的是（    ） A．永不相交的两条直线叫做平行线． B．在同一平面内的两条直线叫做互相平行． C．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行． D．直线A是平行线，直线B是平行线，直线A和直线B互相平行． 【变式1-1】．下列说法中，正确的是（     ） A．相交的两条直线叫做垂直 B．经过一点可以画两条直线 C．平角是一条直线 D．两条直线相交，只有一个交点 【变式1-2】．如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（    ） A．a B．b C．m D．n 【变式1-3】．如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号） 【题型2 平行公理及推论】 【例2-1】．数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【例2-2】．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线a，b，c在同一平面内，若，，则 【变式2-1】．生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【变式2-2】．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【变式2-3】．已知直线及其外一点B，过B点作，过B点作，点A，C分别为直线，上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 ． 【题型3 平行线的画法】 【例3-1】．如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】．妡图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网络中按要求画图，不要求写作法． (1)画射线； (2)过点画的平行线（点在格点上）； (3)在射线上取一点，画线段． 【变式3-1】．如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【变式3-2】．按要求完成作图．如图，在三角形中： (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的平行线，交于点． 【变式3-3】．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 【题型4 添加条件使两直线平行】 【例4-1】．如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】．如图，有以下四个条件：①；②；③；④．其中能判定的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【变式4-1】．如图，下列条件中，能证明的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】．下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】．如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【题型5 补充过程使两直线平行】 【例5-1】．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【例5-2】．完成下面证明： 如图，平分，．求证． 证明：∵平分 ∴（ ） ∵． ∴ ．（ ） ∴（ ）． 【变式5-1】．如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【变式5-2】．如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：平分，平分（已知） __________，__________．（    ） 又，（已知） ____________________．（等量代换） 又，（已知） ____________________．（等量代换） ∴．（__________） 【变式5-3】．把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（        ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 【题型6 直接证明两直线平行】 【例6-1】．根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． (1)∵（已知） ∴____________（   ） (2)∵（已知） ∴（   ） (3)∵（已知） ∴（   ） (4)∵（已知） ∴____________（   ） 【例6-2】．如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 【变式6-1】．如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【变式6-2】．如图，已知，，请说明的理由． 【变式6-3】．如图，，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，判断射线与线段的位置关系并证明． 【题型7 利用同角的余角（补角）相等证平行】 【例7-1】．如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 【例7-2】．如图，若，，，，试说明． 【变式7-1】．已知：如图，直线被直线所截，与互补，求证：． 【变式7-2】．如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 【变式7-3】．如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 【题型8 利用等式性质证平行】 【例8-1】．如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【例8-2】．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【变式8-1】．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 【变式8-2】．如图，已知分别平分与且，请填写理由说明． 解：因为分别平分与（已知）， 所以，（ ）． 因为（已知）． 所以∠ ＝∠ （等量代换）． （完成以下说理过程） 【变式8-3】．如图，已知，，垂足为点、，，猜想与的位置关系，并证明你的结论． 【题型9 平行线的判定的应用】 【例9-1】．阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【例9-2】．数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． (1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． (2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． (3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 【变式9-1】．如图，一块不规则木料，只有一边成直线，木工师傅想在这块木料上截出一块有一组对边平行的木板，用“丁”字尺在处画了一条直线，然后又用“丁”字尺在处画了一条直线，画完后用锯沿锯开就截出了一块有一组对边平行的木料，请你用所学的几何知识说明这样做的道理．    【变式9-2】．如图，把含角的直角三角尺的两个顶点分别放在纸片的两条边上，测得，，直线与平行吗？为什么？    【变式9-3】．（1）我们曾用移动三角尺的方法画出了两条平行线（如图1），请说明依据的基本事实为：___________；    （2）基本事实可作为依据，用来证明新的结论．请根据以上基本事实证明平行线的判定方法：“同旁内角互补，两直线平行” 已知：如图2，∠1和∠2是直线被直线截出的同旁内角，且与互补，求证：．（推理过程请注明理由） （3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：如图3，在铺设铁轨时，两条铁轨必须是互相平行的．将铁轨和枕木看成直线（如图4 所示，直线a、b为直轨，m、n为枕木），是直角，可以通过度量图中已标出的哪个角的度数，来判断两条铁轨是否平行？为什么？    【题型10 作辅助线证明平行】 【例10-1】如图，已知，于点，．    (1)与平行吗？请说明理由； (2)与平行吗？请说明理由； (3)连接，若，且，求的度数． 【例10-2】如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．    (1)求证：； (2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒． ①当，且时，求t的值； ②当，，则t的值是___________． 【变式10-1】．如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由. 【变式10-2】如图直线与直线分别交于E，F，且与互补，O为线段上一点．    (1)求证：． (2)如图1，已知平分，平分，求的大小． (3)将图1中的射线绕O点顺时针转一个角度α（）至与交于，其它图线保持不变，如图2所示，作的平分线与的平分线交于，求的大小（用含α的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线平行线》 7.2 平行线的判定十大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 知识点1.平行线的定义 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。直线a、b平行记作a∥b （2）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行。 知识点2.平行线的画法 一落：把三角尺的一边落在已知直线a上 二靠：紧靠三角尺的另一边放 三推：沿直尺推动三角尺，使原来落在直线a上的那一边过已知点p 四画：沿原来落在已知直线a上的这一条边画直线b. 注意：推动三角尺时必须保持紧靠直尺，且直尺不能移动，否则画出来的直线与已知直线不平行 知识点3. 平行公理及推论 （1）平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 （2）.平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 注意：平行公理中强调“直线外一点”，是因为若点在直线上，不可能有平行线。 知识点4.平行线的判定 （1）.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行。 （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单说成：同旁内角互补，两直线平行。 知识点5 平行线判定方法的综合应用 除了平行线的三种判定方法外，还可以根据平行线的定义，平行公理的推论，以及在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 平行线的识别】 【例1-1】．同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查平面内直线的位置关系，根据平面内两条直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行； 故选C． 【例1-2】．下面语句中，正确的是（    ） A．永不相交的两条直线叫做平行线． B．在同一平面内的两条直线叫做互相平行． C．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行． D．直线A是平行线，直线B是平行线，直线A和直线B互相平行． 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了两条直线的位置关系、平行线的意义，熟练掌握相交线与平行线是解题关键． 根据两条直线的位置关系、平行线的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，则此项错误，不符合题意； B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意； C、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，则此项正确，符合题意； D、平行是两条直线之间的位置关系，故叙述不规范，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】．下列说法中，正确的是（     ） A．相交的两条直线叫做垂直 B．经过一点可以画两条直线 C．平角是一条直线 D．两条直线相交，只有一个交点 【答案】D 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、垂线的定义理解、平面内两直线的位置关系 【分析】此题考查垂直、直线、平角、相交等知识，根据相关知识逐项进行判断即可. 【详解】解：A. 相交的两条直线，有一个夹角是时，叫做两条直线互相垂直；故选项错误，不符合题意； B. 经过一点可以画无数条直线，故选项错误，不符合题意； C. 平角不是一条直线，故选项错误，不符合题意； D. 两条直线相交，只有一个交点，选项正确，符合题意. 故选：D 【变式1-2】．如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（    ） A．a B．b C．m D．n 【答案】B 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断， 本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义． 【详解】解：用直尺分别作a，b，l，m，n的延长线， 其中只有b的延长线不与l相交， ∴． 故选：B． 【变式1-3】．如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号） 【答案】 ③ ⑤ 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、相交线、平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由一条直线、一条射线组成，且射线只可向右无限延伸，与直线没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条线段组成，当直线延伸时与线段没有交点，故不能相交； 对于③，是由一条直线、一条线段组成，当直线线延时，与线段有交点，故可以相交； 对于④，是由两条线段组成，没有交点，故不能相交； 对于⑤，由两条直线组成，且在同一平面内，故一定平行． 故答案为：③；⑤． 【题型2 平行公理及推论】 【例2-1】．数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【答案】A 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题主要考查了平行线公理，根据平行线公理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这说明了如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故选A． 【例2-2】．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线a，b，c在同一平面内，若，，则 【答案】B 【知识点】点到直线的距离、平行公理推论的应用 【分析】此题考查了平行线的判定．根据平行公理、点到直线的距离、平行线的判定等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选项A不符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选项B符合题意； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是这点到这条直线的距离， 故选项C不符合题意； 直线，，在同一平面内，若，，则， 故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】．生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据与相交，来判定与的关系． 【详解】解：∵与相交，， ∴不平行于，即与相交（同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． 故答案为：相交；同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式2-2】．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【答案】1 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确； ④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误； 综上所述，正确的为③，共个， 故答案为：． 【变式2-3】．已知直线及其外一点B，过B点作，过B点作，点A，C分别为直线，上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理及推论，牢记“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”是解题的关键．由“为直线外的一点，且，”，利用“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，即可得出，，三点一定在同一条直线上． 【详解】解：点为直线外的一点，且，，（已知） ，，三点一定在同一条直线上．（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【题型3 平行线的画法】 【例3-1】．如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 【例3-2】．妡图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网络中按要求画图，不要求写作法． (1)画射线； (2)过点画的平行线（点在格点上）； (3)在射线上取一点，画线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了射线、直线、线段作图，作平行线，点到直线的距离． （1）根据线段的定义作图即可； （2）根据格点特点画平行线即可； （3）根据格点特点，过点B作的垂线即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求． 【变式3-1】．如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查画平行线： （1）借助三角板和直尺画平行线即可； （2）借助三角板和直尺画平行线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； 【变式3-2】．按要求完成作图．如图，在三角形中： (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的平行线，交于点． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查的知识点是作垂线、平行线，解题关键是熟练掌握垂线和平行线的作法． （1）利用三角板过点作于点即可； （2）利用三角板和直尺过点作，交于点即可． 【详解】（1）解：利用三角板过点作于点，即为所求，如下图： （2）解： 利用三角板和直尺过点作，交于点，即为所求，如下图： 【变式3-3】．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查画射线、直线、平行线、垂线、线段，两点之间线段最短． （1）以点C为端点作射线，过点B、C作直线即可； （2）过点A作直线l的垂线，垂足为D，连接点A与垂足D即可； （3）根据“一放、二靠、三推、四画”的步骤作直线m即可； （4）根据两点之间线段最短，连接交直线l于E即可． 【详解】（1）解 ∶如图所示，射线，直线即为所求； （2）解 ∶ 如图所示，线段即为所求； （3）解：如图，直线m即为所求； （4）解：如图，点E即为所求．理由是，两点之间线段最短． 【题型4 添加条件使两直线平行】 【例4-1】．如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．，根据内错角相等，两直线平行可得，故不符合题意； B．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故符合题意； C．，根据两同位角相等，两直线平行可得，故不符合题意； D．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故不符合题意； 故选B． 【例4-2】．如图，有以下四个条件：①；②；③；④．其中能判定的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，弄清截线与被截线．根据平行线的判定定理求解，即可求得答案． 【详解】解：①∵， ∴（同旁内角互补两直线平行）； ②∵， ∴（内错角相等两直线平行）； ③∵， ∴（内错角相等两直线平行）； ④∵， ∴（同位角相等两直线平行）； ∴能得到的条件是①③④． 故选：D． 【变式4-1】．如图，下列条件中，能证明的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定逐个判断即可． 【详解】解：A．由可判定，不能证明，不符合题意； B．不能判定图中直线平行，不符合题意； C．由可判定，不能证明，不符合题意； D．由可判定，符合题意． 故选：D． 【变式4-2】．下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A、由，不能得到，此选项不符合题意； B、由，得到，不能得出，此选项不符合题意； C、由，不能得到，此选项不符合题意； D、由，能得到，此选项符合题意； 故选D． 【变式4-3】．如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 【详解】解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：(答案不唯一)· 【题型5 补充过程使两直线平行】 【例5-1】．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【知识点】平行公理的应用、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案． 【详解】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【例5-2】．完成下面证明： 如图，平分，．求证． 证明：∵平分 ∴（ ） ∵． ∴ ．（ ） ∴（ ）． 【答案】角平分线的定义，3，等量代换，内错角相等两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．根据角平分线的定义得到，而，则得到，根据“内错角相等两直线平行”即可得到结论． 【详解】证明：∵平分． ∴．（角平分线的定义） ∵． ∴．（等量代换） ∴（内错角相等两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义，3，等量代换，内错角相等两直线平行． 【变式5-1】．如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角性质．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】∵平分， ∴（角平分线定义）， ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【变式5-2】．如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：平分，平分（已知） __________，__________．（    ） 又，（已知） ____________________．（等量代换） 又，（已知） ____________________．（等量代换） ∴．（__________） 【答案】；；角平分线的定义；；；；；同位角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义及平行线的判定，根据角平分线的定义得，，进而可证，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：平分，平分， ，（角平分线的定义）， 又∵， （等量代换）， 又， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为： ；；角平分线的定义；；；；；同位角相等，两直线平行． 【变式5-3】．把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（        ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 【答案】垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，对顶角相等，由，得，从而有，通过等量代换求出即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， 又∵（已知）， ∴， ∴（对顶角相等）． 又∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 【题型6 直接证明两直线平行】 【例6-1】．根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． (1)∵（已知） ∴____________（   ） (2)∵（已知） ∴（   ） (3)∵（已知） ∴（   ） (4)∵（已知） ∴____________（   ） 【答案】(1)，内错角相等，两直线平行 (2)同位角相等，两直线平行 (3)同旁内角互补，两直线平行 (4)，同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判断，根据平行线的判定方法逐一进行作答即可，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） （2）∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） （3）∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） （4）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） 【例6-2】．如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线得到，对顶角相等得到，利用等量代换得到，即可证明． 【详解】解：． 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴ 【变式6-1】．如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【答案】见详解 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得，结合已知得，那么，，利用同位角相等两直线平行即可得． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】．如图，已知，，请说明的理由． 【答案】见解析 【知识点】平行公理推论的应用、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，即可解答． 【详解】解：（已知） （内错角相等，两直线平行） 又（已知） （同位角相等，两直线平行） （平行于同一条直线的两条直线互相平行） 【变式6-3】．如图，，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，判断射线与线段的位置关系并证明． 【答案】(1)作图见解析； (2)射线与线段平行，证明见解析． 【知识点】同位角相等两直线平行、作角平分线(尺规作图) 【分析】（）根据角平分线的作法作的平分线即可； （）根据角平分线的定义和平行线的判定方法即可求解； 本题考查了基本作图——角平分线，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∴射线即为所求； （2）射线与线段平行， 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∵， 即， ∴， ∴． 【题型7 利用同角的余角（补角）相等证平行】 【例7-1】．如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 【答案】．理由见解析 【知识点】利用邻补角互补求角度、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查的是邻补角的性质，平行线的判定，证明，即可得到结论． 【详解】解：． 理由：， ． ， ， ∴． 【例7-2】．如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【知识点】平行公理的应用、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 【变式7-1】．已知：如图，直线被直线所截，与互补，求证：． 【答案】见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、同位角相等两直线平行 【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答． 根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】证明：，， ， ． 【变式7-2】．如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，垂线等知识点的应用，求出，根据平行线的判定定理即可推出答案． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【变式7-3】．如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 【答案】，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、利用邻补角互补求角度、同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，根据同角的补角相等得到，等量代换得到，则． 【详解】解：将的邻补角记作，则 （邻补角的定义） 因为（已知） 所以（同角的补角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 【题型8 利用等式性质证平行】 【例8-1】．如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】平行，见解析 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据，，可得，从而得到，由内错角相等，两直线平行即可得到答案． 【详解】解：， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例8-2】．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：可以判断，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式8-1】．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定．根据题意可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】．如图，已知分别平分与且，请填写理由说明． 解：因为分别平分与（已知）， 所以，（ ）． 因为（已知）． 所以∠ ＝∠ （等量代换）． （完成以下说理过程） 【答案】角平分线的定义；1，2，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定，熟记平行线的判定方法并灵活运用是解本题的关键． 证明，．可得．可得．证明．可得． 【详解】证明：∵分别平分与（已知）， ∴，（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；1，2． 【变式8-3】．如图，已知，，垂足为点、，，猜想与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【知识点】平行公理的应用、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，，，则，得到，得到，即可证明结论． 【详解】解：， 证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 【题型9 平行线的判定的应用】 【例9-1】．阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 【详解】解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 【例9-2】．数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． (1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． (2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． (3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行） (2)内错角相等，两直线平行 (3)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法解题即可． （1）根据或者即可得出答案． （2）根据即可得出答案． （3）证明，即可得出． 【详解】（1）解∶∵， ∴， 或∵， ∴， 故答案为：同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行）． （2）∵ ∴， 故答案为：内错角相等，两直线平行． （3）理由：，， ． 又， ， ． 【变式9-1】．如图，一块不规则木料，只有一边成直线，木工师傅想在这块木料上截出一块有一组对边平行的木板，用“丁”字尺在处画了一条直线，然后又用“丁”字尺在处画了一条直线，画完后用锯沿锯开就截出了一块有一组对边平行的木料，请你用所学的几何知识说明这样做的道理．    【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查用平行线的判定解决实际问题的能力，比较简单．根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行作答． 【详解】解：，， ， ， 沿，锯开就截出了一块有一组对边平行的木料． 【变式9-2】．如图，把含角的直角三角尺的两个顶点分别放在纸片的两条边上，测得，，直线与平行吗？为什么？    【答案】平行；理由见解析 【知识点】三角板中角度计算问题、内错角相等两直线平行 【分析】求出，，从而得出，根据平行线的判定得出． 【详解】解：平行；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，三角板中的角度计算，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行． 【变式9-3】．（1）我们曾用移动三角尺的方法画出了两条平行线（如图1），请说明依据的基本事实为：___________；    （2）基本事实可作为依据，用来证明新的结论．请根据以上基本事实证明平行线的判定方法：“同旁内角互补，两直线平行” 已知：如图2，∠1和∠2是直线被直线截出的同旁内角，且与互补，求证：．（推理过程请注明理由） （3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：如图3，在铺设铁轨时，两条铁轨必须是互相平行的．将铁轨和枕木看成直线（如图4 所示，直线a、b为直轨，m、n为枕木），是直角，可以通过度量图中已标出的哪个角的度数，来判断两条铁轨是否平行？为什么？    【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）见解析；（3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；见解析 【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】（1）依据同位角相等，两直线平行作答； （2）根据同角的补角相等可得，再根据同位角相等，两直线平行作答即可； （3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；然后利用（1）的基本事实和（2）的结论证明即可． 【详解】（1）用移动三角尺的方法画出了两条平行线，依据的基本事实为：同位角相等，两直线平行； 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）证明：如图2，∵与互补，即（补角的定义）， 又∵（邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）； （3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行； 理由：∵是直角， ∴， 若，则，由（2）同旁内角互补，两直线平行可知； 若，则，根据同位角相等，两直线平行可知； 若，由于，则，根据同位角相等，两直线平行可知． 【点睛】本题考查了平行线的判定和演绎推理，正确理解题意、熟知同位角相等、两直线平行是解题的关键． 【题型10 作辅助线证明平行】 【例10-1】如图，已知，于点，．    (1)与平行吗？请说明理由； (2)与平行吗？请说明理由； (3)连接，若，且，求的度数． 答案：(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“，”利用“内错角相等，两直线平行”即可推导； （2）由平行线的性质推导“”，再利用同角的补角相等推导，从而证明； （3）先求出，从而得到，继而得到，据此解得． 【详解】（1）解：．理由如下： 因为 所以 又因为 所以 所以． （2）．理由如下： 因为 所以 又因为 所以 所以 （3）依题意，连接，    因为， 所以 即 又因为 所以 所以 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 【例10-2】如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．    (1)求证：； (2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒． ①当，且时，求t的值； ②当，，则t的值是___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②32或50 【分析】（1）先求出，再由角平分线的定义得到，则，由此即可证明； （2）①如图所示，过点G作，则，由平行线的性质得到，，则，再由 ， 得到，解方程即可；②分图2-1和图2-2，过点G作，则，利用平行线的性质求出，的度数，然后根据建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的邻补角，， ∴， 又∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①∵ ∴， 如图所示，过点G作， 又∵     ∴， ∴，， ∴    又∵， ∴， ∴； ②如图2-1所示，当时，过点G作， 又∵     ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得；    如图2-2所示， 由（2）①， ∴， ∵， ∴ 解得； 综上所述，t的值为或50．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，利用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式10-1】．如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由. 【答案】平行，理由见解析. 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】先做辅助线延长BE，交CD于F，根据∠BEC+∠CEF=180°可得到∠CEF的度数；再根据三角形内角和定理即可得到∠BFC=60°，至此，再结合平行线的判定定理即可得到结论. 【详解】解：AB∥CD,理由如下: 如图所示,延长BE,交CD于点F, 因为∠BEC=95°, 所以∠CEF=180°-95°=85°. 又因为∠DCE=35°, 所以∠BFC=180°-∠DCE-∠CEF=180°-35°-85°=60°. 因为∠ABE=120°(已知), 所以∠ABE+∠BFC=180°, 所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行). 【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键. 【变式10-2】如图直线与直线分别交于E，F，且与互补，O为线段上一点．    (1)求证：． (2)如图1，已知平分，平分，求的大小． (3)将图1中的射线绕O点顺时针转一个角度α（）至与交于，其它图线保持不变，如图2所示，作的平分线与的平分线交于，求的大小（用含α的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）与互补，则，而，可得，进而判定． （2）由得，由平分，平分得，，由三角形内角和定理可得结果． （3）过点O作，过点作，得到，，又由平分，平分，得到，从而得到结果． 【详解】（1）∵与互补， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）由（1）得，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，过点O作，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，余角和补角，正确添加平行线，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$