精品解析：黑龙江省新时代高中教育联合体2024-2025学年高一上学期期末联合考试数学试卷

黑龙江省新时代高中教育联合体 2024—2025学年度上学期期末联合考试 高一数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟.） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名､准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则（ ） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的半径为，它的周长为，那么该扇形的圆心角为（ ） A. B. 4 C. D. 2 5. 若且，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 12 6. 已知角的终边在直线上，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知函数，若有四个不同的零点且.则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 给定函数，对于，用表示中的最小者，记为，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数有三个零点 C. 函数在递增 D. 函数有四个单调区间 10. 已知，下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为__________. 12. 已知，则__________. 13. 已知函数为定义在上的奇函数，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知是第二象限角. （1）化简； （2）若，求的值. 15. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）求不等式的解集； （3）若关于的不等式在区间恒成立，求实数的取值范围. 16. 近几年手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2025年利用3D技术生产手办，通过调研分析：生产手办全年需要投入固定成本8万元，生产手办（千件），其它成本为（万元），且，经调研可知每件手办的售价为100元，且每年内生产的手办当年全部销售完. （1）求出2025年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； （2）2025年的年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 17. 设，已知. （1）求函数的解析式； （2）判断在区间上的单调性并证明； （3）解关于的不等式. 18. 定义三阶行列式运算：，其中.已知函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上的最大值为，求的值； （3）若函数，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省新时代高中教育联合体 2024—2025学年度上学期期末联合考试 高一数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟.） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名､准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】， 故选：C 2. 已知命题，则（ ） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质可得恒成立，即可判断命题的真假，再写出命题的否定即可判断选项. 【详解】根据指数函数的值域可知，则， 又对数函数是上的增函数，所以，则是假命题； 又， 故选：B. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 函数的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，A错误， 对于B，为周期函数，在不单调，故B错误， 对于C, 为奇函数，故C错误， 对于D，,故为偶函数，且在时，为单调递增函数，故D正确， 故选：D 4. 已知扇形的半径为，它的周长为，那么该扇形的圆心角为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 由题意可得，故， 故选：B 5. 若且，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，再利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】由题意，，又，则由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 6. 已知角的终边在直线上，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，即可利用弦切互化求解. 【详解】由的终边在直线上可得， 故 故选：A 7. 已知函数，若有四个不同的零点且.则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，根据条件，将问题转化成与有四个不同交点，结合图形，即可判断选项A的正误；选项B，利用二次函数的性质得，再结合图形，即可求解；选项C，由题知，再利用选项A即可求解；选项D，根据条件得，再利用基本不等式，可得，即可求解. 【详解】对于选项A，令，得到，令， 因为的图象可由的图象向下平移个单位，再把轴下方的图象关于轴翻折上去得到， 所以的图象如图所示， 由图知有四个不同的零点， 即与的四个交点， 由图知，所以选项A正确， 对于选项B，当时，，对称轴为，所以， 由图易知，所以，故选项B正确， 对于选项C，因为是的两根，所以， 又，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，得到，得到， 所以，当且仅当，即时取等号，又，所以，故选项D错误， 故选：D. 【点晴】关键点晴，本题的关键在作出的图象，根据题设，将问题转化成与有四个交点，再数形结合，即可求解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据角的象限，结合同角三角函数关系，以及诱导公式逐项判断即可. 【详解】由题意，，则， 对于A，，故A不正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D不正确； 故选：BC. 9. 给定函数，对于，用表示中的最小者，记为，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数有三个零点 C. 函数在递增 D. 函数有四个单调区间 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出函数的图象，确定函数的图象，利用图象结合奇偶性、单调性、零点逐项判断即可. 【详解】作出函数的图象，则函数的图象为图中实线部分所示， 对于A，函数的图象关于轴对称，因此是偶函数，A正确； 对于B，函数的图象与轴有三个交点，因此函数有三个零点，B正确； 对于C，函数在上单调递减，C错误； 对于D，在上的图象都是上升的，在上的图象都是下降的， 因此函数有四个单调区间，D正确. 故选：ABD 10. 已知，下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出的图象，结合条件及图形，可得，在同一坐标系中作出的图象，结合条件及图形，可得，再对各选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】令，在同一直角坐标系中作出的图象，如图1， 当时，，当时，， 当，由图可得， 令，在同一直角坐标系中作出的图象，如图2， 当时，，所以时，， 当时，，， 当，由图可得，所以选项A正确，选项B错误，选项C正确 对于选项D，因为，所以，所以选项D正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于在同一直角坐标系中作出和图象，借助图形，求出的取值范围，即可求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到，从而，利用幂函数的性质，即可求解. 【详解】设，由题知，得到，所以， 得到，由，得到， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 12. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】令，再利用诱导公式及平方关系得到，即可求解. 【详解】令，则，， 所以， 又，则， 故答案为：. 13. 已知函数为定义在上的奇函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性可得，即可求解. 【详解】由于为定义在上的奇函数， 故的对称中心为，则，. 故答案为：2025 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知是第二象限角. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平方关系化简，再根据角的象限确定开方符号，最后化简得结果； （2）先根据条件解得，再将待求式化成关于的齐次分式，并利用弦化切求结果. 【小问1详解】 ∵为第二象限角，∴ ∴ . 【小问2详解】 由，得， ∴， 所以 . 15. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）求不等式的解集； （3）若关于的不等式在区间恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再根据奇函数的定义得，结合对数运算即可求解； （2）根据对数函数的单调性化简不等式，转化为解分式不等式，求解即可； （3）将恒成立问题转化为最值问题，利用换元法化简函数解析式，再根据对数函数的单调性，对勾函数的单调性，以及复合函数单调性的判断方法求出最值即可. 【小问1详解】 由得，解得，所以的定义域为， 由为奇函数，得，即， 化简得，解得. 【小问2详解】 由（1）可知， 由得，又对数函数是增函数， 所以，即，化简得，解得， 因此，不等式的解集为. 【小问3详解】 由在区间上恒成立， 得在区间上恒成立， 即， 令， 则，，令， 由对勾函数单调性知在上单调递减，又对数函数是增函数， 所以函数在上单调递减， 所以， ，解得. 16. 近几年手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2025年利用3D技术生产手办，通过调研分析：生产手办全年需要投入固定成本8万元，生产手办（千件），其它成本为（万元），且，经调研可知每件手办的售价为100元，且每年内生产的手办当年全部销售完. （1）求出2025年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； （2）2025年的年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为10千件，最大利润是17万元. 【解析】 【分析】（1）根据销售额减去成本即可得利润， （2）根据二次函数以及基本不等式求解最值，结合分段函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意得总收入：（万元）， 当时，， 当时， 所以2025年总利润为： 【小问2详解】 当时，， 当时，利润最大，最大利润是8万元. 当时，， 当且仅当，即：时，利润最大，最大利润是17万元. 因为，所以年产量为10千件时，利润最大，最大利润是17万元. 17. 设，已知. （1）求函数的解析式； （2）判断在区间上的单调性并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明如下： 任取，则 ， 因为， 所以，所以， 所以， 所以在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）将和代入，根据即可求解， （2）根据函数单调性的定义即可求解， （3）根据函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以，即，与题意矛盾. 当时，， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以原不等式等价于， 因为，由（2）问知在上单调递增， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为. 18. 定义三阶行列式运算：，其中.已知函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上的最大值为，求的值； （3）若函数，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据三阶行列式运算的定义求函数解析式即可； （2）根据对称轴与闭区间的位置关系分类讨论，结合二次函数的单调性确定最大值，解出的值即可； （3）根据题意得，利用指数函数的单调性得，进而将问题转化为，再根据二次函数的对称轴与闭区间的位置关系分类讨论，结合二次函数的单调性确定最大值，解出的值即可. 【小问1详解】 由三阶行列式运算的定义，得. 【小问2详解】 由（1）可知，， ①当，即时，函数在上单调递增， 此时，解得（舍去）， ②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，解得， ③当，即时，函数在上单调递减， 此时，解得（舍）或， 综上所述，实数的值为或. 【小问3详解】 因为，使得成立，所以， 因为函数在上单调递增，所以，从而. ①当，即时，函数在上单调递增， 此时恒成立， ②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时恒成立， ③当，即时，函数在上单调递减， 此时，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $