精品解析：辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第四册11.4，选择性必修第一册至选择性必修第二册第三章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点关于轴的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 2. 小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉的选择共有（ ） A. 5种 B. 10种 C. 20种 D. 25种 3. 已知双曲线焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知展开式共有项，则该展开式中含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（ ） A. 120 B. 300 C. 180 D. 150 6. 已知，抛物线：的焦点为，为上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（ ） A. 或 B. 或7 C. 或5 D. 5或7 8. 已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 14 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C D. 10. 已知在四棱台中，平面，底面为菱形，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 若向量与在向量上投影向量分别为，，则 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称，且关于直线对称 B. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过2 C. 若是曲线上的任意一点，则的最大值为 D. 已知，直线与曲线交于两点，则为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：与直线：平行，则直线倾斜角为______． 13. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______． 14. 由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有______个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆，直线． （1）证明直线恒过定点，并求定点的坐标； （2）当时，求直线被圆所截得的弦长． 16. 如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； （2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； （3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 18. 已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点. （1）求双曲线的离心率； （2）若线段的中点坐标为，求直线的斜率； （3）直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 19. 若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程； （3）若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第四册11.4，选择性必修第一册至选择性必修第二册第三章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点关于轴的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合对称性求点的坐标，再求的坐标，利用模长公式求结论. 【详解】点关于轴的对称点为点， 所以点的坐标为， 所以 则． 故选：A. 2. 小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉的选择共有（ ） A. 5种 B. 10种 C. 20种 D. 25种 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数的定义即可求解. 【详解】根据题意可得小沉的选择种数为． 故选：B 3. 已知双曲线的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的关系可得，即可由渐近线方程求解. 【详解】由于，故，故双曲线的焦点在轴上， 根据焦距为4，故, 故，解得，则双曲线的渐近线方程为． 故选：C 4. 已知的展开式共有项，则该展开式中含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理的展开式的性质求，再利用通项公式求结论. 【详解】因为的展开式共有项， 所以， 二项式的展开式的通项公式为，， 所以展开式中含的项为， 故这个展开式中含的项的系数为． 故选：C. 5. 将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（ ） A. 120 B. 300 C. 180 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】将5名党员按或分组，再安排到3个社区列式计算得解. 【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 6. 已知，抛物线：的焦点为，为上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程求焦点坐标，根据向量垂直的坐标表示列方程求，结合抛物线定义求. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，又，， 所以，， 因为， 所以，即， 又，所以， 解得，， 所以． 故选：C. 7. 已知直线与圆相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（ ） A. 或 B. 或7 C. 或5 D. 5或7 【答案】B 【解析】 【分析】根据相切的性质以及面积公式可得，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意得圆C：的圆心为，半径为3．， 根据题意可得四边形的面积为，则， 因为，故的最小值为， 所以点到直线的距离为，解得或． 故选：B 8. 已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知分析得P在平面上，且，应用向量数量积的运算律及已知可得，且，再由，即可求目标式最值. 【详解】由题设，易得点P在平面上，且， 则，得． 由直四棱柱的性质，得平面，平面， 所以，则． 因为， 所以的最小值为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解.对于选项A，令即可求解；对于选项B，令即可求解；对于选项C，令，与时的式子作差即可求解；对于选项D，令，结合选项A即可求解. 【详解】令，得，故选项A正确； 令，得①，故选项B错误； 令，得②， 由①②得，故选项C正确； 令，得， 则， 得，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知在四棱台中，平面，底面为菱形，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B 平面 C. 平面平面 D. 若向量与在向量上的投影向量分别为，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直，即可根据面面垂直的判定求解A，根据假设得线面垂直，进而得，得矛盾求解B,根据线线垂直可证平面，即可根据面面垂直的判定求解C，根据线面垂直，结合投影向量的定义即可求解D. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，A正确． 若平面，平面，则，因为平面，平面，所以，所以平面，平面，则，显然不成立，B错误． 因为底面为为菱形，所以，因为平面，平面，所以，，所以平面，平面，所以平面平面，C正确， 因为平面，且，，C，四点共面，所以，D正确． 故选：ACD 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称，且关于直线对称 B. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过2 C. 若是曲线上的任意一点，则的最大值为 D. 已知，直线与曲线交于两点，则为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据曲线上任意点，结合曲线方程判断是否在曲线上判断A；令第一象限点在曲线上，得，应用基本不等式求的范围判断B；根据题意位于第二象限时取得最大值，令得，利用求的范围判断C；设第一象限点，则且，结合两点距离公式求判断D. 【详解】根据曲线方程，若点在曲线上，易知点都满足曲线的方程， 所以曲线关于原点对称，且关于直线对称，A正确； 令第一象限点在曲线上，则， 因为，则，解得，当且仅当时等号成立， 所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，B正确； 由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值， 所以，令， 将代入，可得， 故，解得，即的最大值为6，C错误； 由题，知点关于原点对称，不妨设第一象限点， 则且， 则， ， 所以为定值，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据曲线方程的特征判断曲线的对称性，结合各项描述并应用特殊象限点、基本不等式、两点距离公式、方程法判断各项正误为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：与直线：平行，则直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线平行列方程求，由此可求直线的斜率，再由斜率和倾斜角关系求结论. 【详解】因为直线：与直线：平行， 又，所以， 解得，故直线的方程为， 所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则 所以， 故直线的倾斜角为． 故答案为：. 13. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【详解】直线与平面所成的角为， 则， 当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 14. 由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有______个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 【答案】27 【解析】 【分析】用集合的思想，分为四个不同情况并计算出序列种数，再考虑两两之间重复的序列数，然后得到含有连续子序列ABA的序列数 【详解】考虑出现子序列ABA时，可能出现的位置有4个，把依次对应的序列放入集合，，，（ABA×××，×ABA××，××ABA×，×××ABA）中， 记为集合中元素的个数，则. 再考虑重复的序列，，，，任意多于2个集合的交集均为空集. 所以含有连续子序列ABA的序列有个． 故答案为：27. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆，直线． （1）证明直线恒过定点，并求定点的坐标； （2）当时，求直线被圆所截得的弦长． 【答案】（1）证明见解析，定点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程变形，即可求出直线所过定点的坐标； （2）求出圆心坐标和圆的半径，当时，可求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得直线被圆所截得的弦长. 【小问1详解】 直线的方程可化为， 由得得，所以直线恒过定点． 【小问2详解】 圆的标准方程为， 圆心，半径． 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为. 16. 如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求证平面即可由线面垂直定义得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的一个法向量即可由平面夹角的向量法公式计算得解. 【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因平面，所以. （2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面一个法向量为，则，即， 取，，则， 设平面的一个法向量为，则，即 取，，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； （2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； （3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【答案】（1）16 （2）384 （3）96 【解析】 【分析】（1）利用分步计数原理即可； （2）利用插空法来排列即可； （3）利用捆绑法来排列即可. 【小问1详解】 先排2名指导老师，有种站法， 再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. 【小问2详解】 先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法， 再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. 小问3详解】 先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法， 最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法， 所以共有种不同的站法. 18. 已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点. （1）求双曲线的离心率； （2）若线段的中点坐标为，求直线的斜率； （3）直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 【答案】（1）2 （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程可解得，再根据离心率即可求解； （2）设出点坐标，代入双曲线方程，利用点差法及中点坐标公式即可求得直线的斜率； （3）根据直线斜率是否存在进行分类讨论.当直线斜率存在时，设出直线l的方程，与双曲线方程联立，运用韦达定理和平面向量数量积为0即可解得直线方程. 【小问1详解】 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的离心率. 【小问2详解】 根据题意易得直线的斜率存在，设， 则，两式相减得， 整理得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为3. 【小问3详解】 由题意得双曲线的右焦点为. 若以线段为直径的圆经过坐标原点，则. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 根据对称性不妨设，则，， 所以直线的斜率存在， 则可设直线的方程为. 由，得， ， 所以， 因为， 所以， 解得， 所以直线的方程为，即或. 【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线与直线的位置关系. 1.双曲线的中点弦问题的求解方法：①点差法：设出直线与双曲线的交点坐标，代入双曲线方程，作差后利用中点坐标公式即可求出直线斜率； ②方程组法：设出直线方程，联立方程组消元，结合韦达定理与中点坐标公式即可求解. 2.对于第（3）小问，设出直线方程，联立方程组消元，利用韦达定理与直线垂直的向量表示即可求解. 19. 若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程； （3）若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据，四边形的面积为4.，列出，求解即可； (2)由(1)可分别讨论两个方程是否符合“内含椭圆”，即是否恒成立； (3)由(2)得：，由题意可知，求函数在上的最值，整理即可得出的取值范围. 【小问1详解】 根据题意可得，即. 因为四边形的面积为，所以. 由，解得或， 所以椭圆的标准方程为或. 【小问2详解】 若椭圆的标准方程为，则，，设椭圆的左顶点为， 则，，，不符合题意，舍去. 若椭圆的标准方程为，则，，设， 则，符合题意. 故椭圆的标准方程为. 【小问3详解】 由(2)得椭圆的方程为.设，则. 若存在实数，使得，则， 得， . 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 则，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $