精品解析：辽宁省鞍山市2024-2025学年上学期期末质量检测九年级数学试卷

2024—2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分为120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中；有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是( ) A. B.   C. D. 2. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 某品牌蓄电池的电压为，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，有两点，以原点O为位似中心，相似比为，把线段缩小，则对应点的坐标分别是（ ） A. B. C. 或；或 D. 或；或 5. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数，其中，这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 某输油管道运输时，油面最高位置如图所示，若油面最大深度为米时，污水横截面的宽度为米，则排水管的半径是（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到与交于点P，下列结论正确的是( ) A B. C. D. 9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球落地的水平距离是；④当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是；正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，是的内接三角形，连接并延长，以为圆心，任意长为半径画弧交射线于两点，分别以这两个交点为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向下平移1个单位后得到的抛物线是_________． 12. 一元二次方程的两个根分别为，则_______． 13. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是_______里． 14. 如图，四边形是圆的内接四边形，若，则的度数是_______． 15. 如图，平面直角坐标系中，点坐标为，经过原点交轴于点，点是圆上任意一点，将沿弦折叠后恰好与轴相切，则点的坐标是_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； （1）求的函数解析式； （2）若的面积为8，求m的值． 18. 如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点的坐标为，点是边上一点，是对角线． （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转，使点D对应点为，请在坐标系中画出旋转后的图形，并直接写出点的坐标； （2）以点为直角顶点，画出直角三角形（，，按逆时针顺序排列），并且满足，猜想并直接写出的形状． 19. 如图，矩形中，点O是对角线上一动点；以O为圆心，长为半径作圆，使边与相切于点E，若； （1）求的半径； （2）若与边相交于点F，G，连接，求的值． 20. 某新型电子元件在正式上市之前作市场前期调研，一商场承担调研任务进行试销售，在一段时间中通过整理可以确定每天销售数据如下表： 售价（元/件） 每天销量（件） 已知该电子元件的成本价为每件元，物价局限定其销售价不能超过元件，也不能低于成本价销售，设销售该商品的每天利润为元． （1）求出与的函数关系式； （2）该商品在销售过程中，若每天销售利润不低于元，请求出其价格的合适范围． 21. 数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系： 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，连接，作线段的的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P，设点P的坐标为，探究y与x的函数关系． 【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下： 线段长 … 线段长 … 如果，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象； 【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点P的坐标满足的函数关系： （1）猜想关于的函数解析式，请直接写出结论，并写出的取值范围； （2）在图1中利用几何推理证明（1）中的结论． 22. 如图1，中，，若点C在射线上移动，将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，过点D作于点E． （1）求证：； （2）如图2，若，在延长线上取点M，连接，过点D作于点F，过点C作于点H，已知，求四边形的面积； （3）如图3，若，在延长线上取点M，连接，在延长线上取一点P，连接，已知，且，求的长． 23. 已知抛物线，若其顶点在一条直线上，则称这条直线为该抛物线基准线． （1）如图1，抛物线的基准线是直线，若抛物线与x轴有两个交点，求出满足条件的a，k的取值范围； （2）如图2，抛物线的基准线，且经过点，已知抛物线开口向上，求出h的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，将基准线l向上平移1个单位得到，设抛物线的基准线为，且经过点，与直线的另一个交点为B，若点B向左平移12个单位的对应点也在抛物线上，求抛物线与直线l的两个交点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分为120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中；有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是( ) A. B.   C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐一进行分析判断即可. 【详解】A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，故符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键. 2. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个相等实数根，故C选项符合题意； D． ，该方程没有实数根，故D选项不符合题意； 故选：C． 3. 某品牌蓄电池的电压为，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据电流与电阻之间函数关系可知图象为双曲线，并且在第一象限，即可得到答案． 【详解】∵反比例函数的图象是双曲线，且，， ∴图象是第一象限双曲线的一支． 故选：A． 4. 如图，在平面直角坐标系中，有两点，以原点O为位似中心，相似比为，把线段缩小，则对应点坐标分别是（ ） A. B. C. 或；或 D. 或；或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质．分两种情况进行讨论，的坐标分别乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，原点O为位似中心，相似比为，把线段缩小， 则对应点的坐标分别是或；或 故选：C． 5. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可． 【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题． 6. 二次函数，其中，这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的判断，根据可得出抛物线开口向下，再根据可得出对称轴在y轴右侧．再根据可得出抛物线交y轴于负半轴，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴直线 ∴对称轴在y轴右侧． ∵， ∴抛物线交y轴于负半轴， 故选：B． 7. 某输油管道运输时，油面最高位置如图所示，若油面最大深度为米时，污水横截面的宽度为米，则排水管的半径是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 作于点，连接，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：作于点，连接， 设排水管的半径为， ，， ， 根据勾股定理可知，， 即， 解得：； 故选：C 8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到与交于点P，下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据旋转的性质可得，即可判断B选项，在上截取，先证得，可得，，从而得到是等边三角形，进而得到，进而判断A，D，选项，根据已有条件，无法证明C选项，据此，即可求解． 【详解】∵将绕点A逆时针旋转得到 ∴ ∴，故B选项错误； 如图，在上截取， 根据题意得：，，，， ， ， ，， ， 即， 是等边三角形， ，故A不正确， ，故D正确 没有条件证明，故C不正确， 故选： D． 9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球落地的水平距离是；④当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是；正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②④；根据解析式不能判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是，故④正确； ③小球落地的水平距离无法判断，故③不正确； 故选C． 10. 如图，是的内接三角形，连接并延长，以为圆心，任意长为半径画弧交射线于两点，分别以这两个交点为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，圆周角定理；根据作图可得，进而得出，根据三角形内角和定理，得出，根据圆周角定理可得 ，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据作图可得， 又∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向下平移1个单位后得到抛物线是_________． 【答案】 【解析】 【分析】考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键； 根据二次函数的平移规律进行解答即可． 【详解】解：向下平移1个单位后得到的抛物线是； 故答案为： 12. 一元二次方程的两个根分别为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．先利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得， 所以． 故答案为：． 13. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是_______里． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定；先根据正方形的性质得出，再根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设正方形是灭一面城墙的长度为里， 正方形的中心为， 里，， ， 即 解得：，或不合题意，舍去， ， 故答案为：． 14. 如图，四边形是圆的内接四边形，若，则的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，平面直角坐标系中，点坐标为，经过原点交轴于点，点是圆上任意一点，将沿弦折叠后恰好与轴相切，则点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设关于的对称点为，连接，根据题意得出圆的半径为，进而得出，根据折叠的性质可得，且的纵坐标为，则四边形是菱形，，设，进而根据中点坐标公式求得，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设关于的对称点为，连接， ∵点坐标为， ∴ ∵经过原点交轴于点，设， ∴ ∴或（舍去） ∴， ∵将沿弦折叠后恰好与轴相切， ∴，且纵坐标为，则四边形是菱形， 设，则 ∴ ∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠问题，切线的性质，勾股定理，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用公式法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴， ∴， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解： ∴ ∴ 或， 解得； 17. 如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； （1）求的函数解析式； （2）若的面积为8，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，中心对称，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点B的坐标为，得出，根据的面积为8，得出，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：∵函数经过点， ∴， ∴的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A关于原点对称的对称点为C， ∴点C的坐标为， ∵过点A作轴交函数的图象于点B， ∴点B的坐标为， ∴， ∵的面积为8， ∴， 解得：． 18. 如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点的坐标为，点是边上一点，是对角线． （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转，使点D的对应点为，请在坐标系中画出旋转后的图形，并直接写出点的坐标； （2）以点为直角顶点，画出直角三角形（，，按逆时针顺序排列），并且满足，猜想并直接写出形状． 【答案】（1）图形见详解； （2）图形见详解，等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据题意，画出旋转后的图形，求解即可； （2）根据相似的性质求得点的坐标，即可求解； 【小问1详解】 解：将逆时针旋转，点的对应点为， 点的对应点为； 作图如下； 【小问2详解】 猜想：为等腰直角三角形； 证明：以点为直角顶点，画出直角三角形，满足， 根据题意可知为斜边，，， 则， 如图所示； ，，， 满足， ， ， 为等腰直角三角形； 19. 如图，矩形中，点O是对角线上一动点；以O为圆心，长为半径作圆，使边与相切于点E，若； （1）求的半径； （2）若与边相交于点F，G，连接，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出，证明，则，得到，即，解得,即可得到答案； （2）过点O分别作，垂足分别为点P和Q，连接，证明四边形都是矩形，得到，，证明三点共线，则，证明，得到，解得,,则，得到则，证明，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中， ， ∵与相切于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，即， 解得, 即的半径为； 【小问2详解】 过点O分别作，垂足分别为点P和Q，连接， 则， ∵， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得,, ∴， ∵过圆心O， ∴ ∴， ∴， ， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的性质、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20. 某新型电子元件在正式上市之前作市场前期调研，一商场承担调研任务进行试销售，在一段时间中通过整理可以确定每天销售数据如下表： 售价（元/件） 每天销量（件） 已知该电子元件的成本价为每件元，物价局限定其销售价不能超过元件，也不能低于成本价销售，设销售该商品的每天利润为元． （1）求出与的函数关系式； （2）该商品在销售过程中，若每天销售利润不低于元，请求出其价格的合适范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数应用； （1）根据题意，当时，与满足一次函数关系，设，当时，；进而根据，得出函数关系式； （2）分别求得当利润为元的函数值，结合二次函数与一次函数的图象与性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，当时，售价每减少元，销量增加， 与满足一次函数关系，设，代入，， 得， 解得：， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当， 解得：， ∴当时，销售利润不低于元； 当， 解得：， ∴当时，销售利润不低于元； 综上所述：． 21. 数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系： 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，连接，作线段的的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P，设点P的坐标为，探究y与x的函数关系． 【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下： 线段长 … 线段长 … 如果，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象； 【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点P的坐标满足的函数关系： （1）猜想关于的函数解析式，请直接写出结论，并写出的取值范围； （2）在图1中利用几何推理证明（1）中的结论． 【答案】归纳猜想：见详解；总结结论：（1），（x为任意实数）；（2）证明见详解 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键； 归纳猜想：根据描点法作图即可； 总结结论：（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）连接，过点作与点，利用勾股定理证明即可求解； 【详解】解：归纳猜想：函数图像如图所示， （1）解：函数图像为抛物线的一部分，故与满足二次函数的关系， 函数解析式为：； 设解析式为：， 将，，代入， 可得：， 解得：， 函数解析式为：（x为任意实数）； （2）如图，连接，过点作与点， ， 四边形为矩形， ，， ， 为线段的垂直平分线， 在中，， ， ， 故与满足的关系式为：（x为任意实数）； 22. 如图1，中，，若点C在射线上移动，将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，过点D作于点E． （1）求证：； （2）如图2，若，在延长线上取点M，连接，过点D作于点F，过点C作于点H，已知，求四边形的面积； （3）如图3，若，在延长线上取点M，连接，在延长线上取一点P，连接，已知，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）36 （3） 【解析】 【分析】（1）利用旋转得到，，利用垂直的定义和余角的性质得到，再利用“”即可求证； （2）过D点作于G，证明，得到，，令，得，表示出，和四边形的面积，即可求解； （3）过M点作于K，设，则，，利用勾股定理表示出，，得出，再利用勾股定理得出，建立方程，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 证明：∵中，， ∴ , ∵将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：由（1）可知， 如图，过D点作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 令， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， ∴四边形的面积四边形的面积 ； ∴四边形的面积为36； 【小问3详解】 由（1）可知， ∵将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 过M点作于K， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质，涉及到了矩形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造直角三角形． 23. 已知抛物线，若其顶点在一条直线上，则称这条直线为该抛物线的基准线． （1）如图1，抛物线的基准线是直线，若抛物线与x轴有两个交点，求出满足条件的a，k的取值范围； （2）如图2，抛物线的基准线，且经过点，已知抛物线开口向上，求出h的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，将基准线l向上平移1个单位得到，设抛物线的基准线为，且经过点，与直线的另一个交点为B，若点B向左平移12个单位的对应点也在抛物线上，求抛物线与直线l的两个交点之间的距离． 【答案】（1），或， （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）由基准线得，代入解析式化简，由，即可求解； （2）由基准线得，将代入解析整理得，当时，计算可判定，，由开口方向得，即可求解； （3）由平移得，由基准线得，同理可求，设，将、代入解析式得，解得，求出，代入后求出、，的值，联立直线与的解析式，求出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：基准线是直线， ， ， 抛物线与x轴有两个交点， ， ， ，或，； 【小问2详解】 解：基准线，顶点， ， 抛物线经过点， ， ， ， ， 当时， 矛盾， ， ， 抛物线开口向上， ， ， ， 故：且； 【小问3详解】 解：基准线l向上平移1个单位得到， ， ， 抛物线经过点， 同理可求：， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， 解得：， ， ， ， 抛物线， 联立得， 解得：，， ． 【点睛】本题考查了新定义二次函数，二次函数的综合应用，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的基本性质等；理解新定义，能熟练利用二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的基本性质进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $