精品解析：湖南省郴州市桂阳县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

桂阳县2025届九年级第一次质量监测试题卷数学 （时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 一元二次方程的二次项系数为2，则一次项系数是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 2. 下列函数中，表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 4. 希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，这个数我们把它叫做黄金分割数，若介于整数和之间，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若是某个一元二次方程的根，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 其图象分别位于第一、三象限 C. y随x的增大而增大 D. 如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 7. 有一名初中生，前两年学习不够努力．进入初三后，在老师和同学的帮助下，逐渐意识到学习的重要性和紧迫性，勤奋苦读，成绩突飞猛进．已知他初二下学期期末考试数学成绩为73分，初三第一次和第二次测试成绩均进步明显，第二次成绩为118分．假定两次增长率相同，设每次平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像交于、两点．若，则的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 或 10. 如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mm A. B. C. D. 二、填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 将一元二次方程配方为的形式为______． 12. 在函数中，自变量的取值范围是______． 13. 如图，ABCD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为____． 14. 一元二次方程方程的根的判别式的值为______． 15. 如图，在中，是斜边上的高，若，，则_______． 16. 点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等，则m的值是______． 17. 方程的解是，，现在给出另一个方程，它的解是______． 18. 某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤： 第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学； 第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学； 第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学， 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________． 三、解答题（19-20每小题6分，21-22每小题8分，23-24每小题9分，25-26每小题10分共66分） 19. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 小明制作了一张边长为厘米的正方形贺卡想送给朋友，现有一个面积为平方厘米的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为． （1）求此长方形信封的长和宽； （2）小明能否将这张贺卡不折叠就放入此信封？请通过计算说明理由． 21. 如图，、交于点E，，且平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心，并直接写出与的相似比； （2）以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出． 23. 阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 24. 为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． （2）第二小组测得米，则______米． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 25. 如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值． 26. 综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，直线是由轴绕点逆时针旋转得到的．如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，在旋转过程中，交直线于点交轴于点． （1）当旋转角为多少度时，（直接写出结果，不要求写解答过程）； （2）若点的横坐标为，求的长； （3）若点的横坐标为，点的纵坐标为，请判断与的数量关系及的取值范围，并写出解答过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂阳县2025届九年级第一次质量监测试题卷数学 （时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 一元二次方程的二次项系数为2，则一次项系数是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为2，一次项系数是，常数项是1． 故选C． 2. 下列函数中，表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A． 表示是的正比例函数； B． 表示是的反比例函数； C． 表示是的正比例函数； D．表示是的一次函数． 故选B． 3. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义列出算式，求出解即可． 【详解】∵a，b，c，d是成比例的线段， ∴． ∵， ∴， 解得． 故选：D． 4. 希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，这个数我们把它叫做黄金分割数，若介于整数和之间，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据，判断出的值即可．本题考查黄金分割，估算无理数的大小等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 5. 若是某个一元二次方程的根，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴，， ∴满足要求的方程为：． 故选：C． 6. 已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 其图象分别位于第一、三象限 C. y随x的增大而增大 D. 如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，根据反比例函数知识点逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴点不在它的图象上，故A项不符合题意， ∵ ∴图象分别位于第二、四象限，故B项不符合题意， ∴函数在时，即和时，y随x的增大而增大，故C项不符合题意， ∵如果点在它的图象上，即， ∴点也在它的图象上，故D选项符合题意， 故选：D． 7. 有一名初中生，前两年学习不够努力．进入初三后，在老师和同学的帮助下，逐渐意识到学习的重要性和紧迫性，勤奋苦读，成绩突飞猛进．已知他初二下学期期末考试数学成绩为73分，初三第一次和第二次测试成绩均进步明显，第二次成绩为118分．假定两次增长率相同，设每次平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每次平均增长率为x，根据增长率问题列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设每次平均增长率为x，根据题意得， ， 故选：C 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 9. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像交于、两点．若，则的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是通过观察函数图像，发现当或时，反比例函数图像都在一次函数图像下方． 【详解】解：由图像可知，当或时，反比例函数图像都在一次函数图像下方， ∴若，则的取值范围是或． 故选：B． 10. 如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mm A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得，且 ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 二、填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 将一元二次方程配方为的形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法解方程，掌握配方法的步骤是解本题的关键，先把方程化为，再进一步解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 故答案为：． 13. 如图，ABCD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例即可求解． 【详解】 ， ， 即： 故答案为：． 14. 一元二次方程方程的根的判别式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据一元二次方程根判别式的定义式可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，在中，是斜边上的高，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，先根据勾股定理求出，再证明，然后根据相似三角形对应边成比例得出答案． 【详解】解：在中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 16. 点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第四象限内点的坐标特点，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，第四象限内的点纵坐标为负，据此得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 方程的解是，，现在给出另一个方程，它的解是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则方程可以化为，根据题意可得方程的解是，，则或，据此求解即可． 【详解】解：设，则方程可以化为， ∵方程的解是，， ∴方程的解是，， ∴或， 解得或， 故答案为：或， 18. 某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤： 第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学； 第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学； 第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学， 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案． 【详解】设每个同学的扑克牌的数量都是； 第一步，A同学的扑克牌的数量是，B同学的扑克牌的数量是； 第二步，B同学的扑克牌的数量是，C同学的扑克牌的数量是； 第三步，A同学的扑克牌的数量是2()，B同学的扑克牌的数量是()； ∴B同学手中剩余的扑克牌的数量是：()． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系． 三、解答题（19-20每小题6分，21-22每小题8分，23-24每小题9分，25-26每小题10分共66分） 19. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）整理后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴或 ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴． 20. 小明制作了一张边长为厘米的正方形贺卡想送给朋友，现有一个面积为平方厘米的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为． （1）求此长方形信封的长和宽； （2）小明能否将这张贺卡不折叠就放入此信封？请通过计算说明理由． 【答案】（1）此长方形信封的长为厘米，宽为厘米 （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封， 理由：∵， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，以及实数的大小比较，正确理解题意是解题关键． （1）设信封的长和宽分别为，由题意得：，据此即可求解； （2）比较信封的宽与贺卡的边长即可判断； 【小问1详解】 解：设信封的长和宽分别为， 由题意得：， 解得：（舍负）， ∴， 即：此长方形信封的长为厘米，宽为厘米 【小问2详解】 略 21. 如图，、交于点E，，且平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，结合即可得证． （2）根据，得到，结合，代入解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 解得． 22. 如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心，并直接写出与的相似比； （2）以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出． 【答案】（1） 图中点为所求； 与的位似比等于； （2） 如图所示：为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作位似图形，作旋转图形， （1）连接并延长，连接并延长，两延长线交于点；由，即可得出与的位似比为； （2）分别将点、、绕点O顺时针旋转得到点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． 【详解】（3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 24. 为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． （2）第二小组测得米，则______米． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】（1） （2）30 （3） 解：可行，理由如下： 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． （1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； 【小问3详解】 略 25. 如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值． 【答案】2或6或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．设，表示出，然后分①和是对应边，②和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】解：设， ∵等边的边长为8， ∴， ∵E为中点， ∴， ①和是对应边时，， ∴， 即， 整理得，， 解得，， 即的长为2或6， ②和是对应边时，， ∴， 即， 解得， 即， 综上所述，的值是2或6或． 26. 综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，直线是由轴绕点逆时针旋转得到的．如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，在旋转过程中，交直线于点交轴于点． （1）当旋转角为多少度时，（直接写出结果，不要求写解答过程）； （2）若点的横坐标为，求的长； （3）若点的横坐标为，点的纵坐标为，请判断与的数量关系及的取值范围，并写出解答过程． 【答案】（1）； （2）； （3），， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点F与点C重合时，，即； 当点F与点B重合时，， ∵旋转角为， ∴， ∴与的数量关系是，的取值范围是． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是正确添加辅助线，构造相似三角形． （1）证明，则进而求解； （2）由勾股定理求出，证明得到，即可得解； （3）根据（2）的思路可得，再根据点C、B与点F重合时得出，结合旋转角为可得出的取值范围，从而解决问题． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 当时， 在和中， ， ∴， ∴， ∵直线是由轴绕点逆时针旋转得到的， ∴， ∴， ∴； ∴当旋转角为时，； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，如图， ∵点的横坐标为， ∴， 在中， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $