精品解析：辽宁省兴城市第二初级中学等校2024-2025学年九年级上学期阶段检测（期中）数学试卷

期中检测九年级数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程 ，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 已知二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 函数的最小值是7 D. 当时，随增大而增大 5. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将△AOB绕着点顺时针旋转，得△COD，若∠AOB=45°，∠AOD=110°，则旋转角度数是（ ） A. 45° B. 55° C. 65° D. 110° 8. 如图，为直径，为的弦，，的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，为直径，点A，D在上，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 10. 如图，正方形是边长为6，点M从点A出发以的速度沿运动，动点N从点A出发以的速度沿向点D运动，两点均到达D点停止运动．设M点的运动时间是，的面积是，则能正确反映S关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数图象的顶点在第________象限． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是___． 13. 抛物线绕原点O旋转所得抛物线的函数表达式为________． 14. 如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接，若，，则的直径为______． 15. 如图，在中，，D为上一动点，将线段绕点C逆时针旋转得到线段．则的最小值为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 设关于x的一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中的一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程． ①，；②，；③，；④，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的，并写出，，的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转得到，请画出，并写出，，的坐标． 18. 如图，的直径弦相交于点E，点E是弦的中点，连接，若，．求的长度． 19. 九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练．如图所示，某同学实心球出手（点A处）的高度是2米，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最高点时，运行高度为米，水平距离为4米． （1）试求实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式； （2）设实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求某同学的成绩； 20. 世界羽坛最高水平团体赛成都“汤尤杯”将于月日至月日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为元，如果以单价元销售，那么每天可以销售套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高元，销售量相应减少套．设此商品销售单价为（元），每天的销售量为（套）． （1）求关于之间的函数关系式． （2）销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 21. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 22. 新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）①若△ABC是等边三角形（如图2），BC＝4，则AD＝ ； ②若∠BAC＝90°（如图3），BC＝6，AD＝ ； 【猜想论证】 （2）在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形） 【拓展应用】 （3）如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD＝6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长． 23. 【概念感知】 两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”． 【概念理解】 如图1，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，二次函数与是“异b族二次函数”，其图象经过点． （1）求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （2）如图2，直线，交抛物线于E，F，当四边形为平行四边形时，求直线的解析式； （3）如图3，点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N，连接，当是以为底的等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测九年级数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，解题的关键是根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 用配方法解方程 ，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵x2-6x+1=0， ∴x2-6x=-1， ∴x2-6x+9=-1+9， ∴（x-3）2=8． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握一元二次方程-配方法的步骤． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 4. 已知二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 函数的最小值是7 D. 当时，随增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向上，函数有最小值，为， 当时，y随x的增大而增大． ∴A、C、D选项正确，不符合题意，B选项错误，符合题意， 故选：B 5. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：A、由二次函数的图象可知，由直线可知，矛盾，故A可排除； B、由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，由直线应经过二、三、四象限可知，，矛盾，故B可排除； C、由二次函数的图象可知，由直线可知，矛盾，故C可排除； D、由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，由直线应经过一、三、四象限可知，，一致，故D符合题意． 故选：D． 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小， ∵， ∴， 故选：． 7. 如图，将△AOB绕着点顺时针旋转，得△COD，若∠AOB=45°，∠AOD=110°，则旋转角度数是（ ） A. 45° B. 55° C. 65° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和角的和差即可得到结论． 【详解】解：∵∠BOD＝∠AOD−∠AOB＝110°−45°＝65°， ∴旋转角度数是65°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 8. 如图，为直径，为的弦，，的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆周角定理及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：在中，为直径， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，能够熟练运用圆周角定理及互余的关系是解题关键． 9. 如图，为直径，点A，D在上，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接BD，由BC为⊙O直径，可得∠BDC=90°，由点A、B、C、D在⊙O上，∠DAB=135°，可得∠BCD=45°，然后根据，BC=4，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接BD， ∵BC为⊙O直径， ∴∠BDC=90°， ∵点A、B、C、D在⊙O上，∠DAB=135°， ∴∠BCD=45°， 在Rt△BCD中，， 即：， ∴CD=． 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质和特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握相关定理是解题关键． 10. 如图，正方形是边长为6，点M从点A出发以的速度沿运动，动点N从点A出发以的速度沿向点D运动，两点均到达D点停止运动．设M点的运动时间是，的面积是，则能正确反映S关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据正方形的边长与动点M、N的速度可知动点N始终在边上，而动点M可以在边、边、边上，再分三种情况进行讨论，分别得出S关于x的函数解析式，即可解答． 【详解】解：由题意可得，， ①时，M在边上，，则的面积， 即， ②时，M在边上，则的面积， 即， ③时，M在边上，，则的面积， 即， 综上所述，S关于x的函数解析式是， 由此可得到S关于x的函数图象是： 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的判断，正方形的性质，三角形的面积，涉及到有关动点的问题时，需要分类讨论． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数图象的顶点在第________象限． 【答案】二##2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，可以直接写出顶点坐标，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ∴该函数图象的顶点坐标为， ∵点在第二象限， ∴二次函数图象的顶点在第二象限， 故答案为：二． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是___． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求m的值即可. 【详解】∵是一元二次方程 解得 故答案为1 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，一定要注意二次项系数不能为0. 13. 抛物线绕原点O旋转所得抛物线的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案． 【详解】解：将化为顶点式，得， 抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线的解析式是， 化为一般式，得， 故答案为：． 14. 如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接，若，，则的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由切线的性质可得，即得，进而得，得到，可得，又由圆周角定理得，最后根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 15. 如图，在中，，D为上一动点，将线段绕点C逆时针旋转得到线段．则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点C作于点K，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于点J；通过证明，进而证明所构建的四边形是正方形，所以当点E与点J重合时，的值最小，再通过在中已知的边角条件，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作于点K，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于点J， ∵将线段绕点C逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点E在直线上运动，当点E与点J重合时，的值最小， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 设关于x的一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中的一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程． ①，；②，；③，；④，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键：根的判别式大于0，则方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，则方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，则方程无实数根． 由题意可知，，的值应满足，即，据此对四组条件逐一分析判断即可得出答案． 【详解】解：若要使这个方程有两个不相等的实数根，则，即：， 在①中，，方程有两个相等的实数根，不合题意； 在②中，，方程有两个不相等的实数根，符合题意， 此时方程为：， ， ∴，； 在③中，，方程有两个不相等的实数根，符合题意， 此时方程为：， ， ∴，； 在④中，，方程没有实数根，不合题意． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的，并写出，，的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转得到，请画出，并写出，，的坐标． 【答案】（1）见解析，，，； （2）见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换、旋转变换，掌握变换规律是解题的关键． （1）由轴对称的性质先确定的坐标，然后再描点、连线即可，再写出，，的坐标； （2）由旋转的性质先确定，，的坐标，然后再描点、连线即可，再写出，，的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求；，， 【小问2详解】 解：如图，即为所求；，，． 18. 如图，的直径弦相交于点E，点E是弦的中点，连接，若，．求的长度． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理，先证明，设半径为r，再由勾股定理得出结论． 【详解】解：∵点E是弦的中点，， ， ∵.是的直径， 设半径为r， 在中依据勾股定理可知： 解得： ∴半径为5． 19. 九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练．如图所示，某同学实心球出手（点A处）的高度是2米，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最高点时，运行高度为米，水平距离为4米． （1）试求实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式； （2）设实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求某同学的成绩； 【答案】（1） （2）10米 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数 ，待定系数法求出二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先设抛物线解析式为，再将代入，得，进行计算，即可作答． （2）依题意，因为实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，所以将代入，得，解得，（不符合题意，舍去），即可作答． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线最高点坐标 ∴设抛物线解析式为， ∵某同学实心球出手（点A处）的高度是2米， ∴， 再将代入，得， 则， 解得， 则实心球运行高度y与水平距离x之间的函数表达式：； 【小问2详解】 解：依题意，将代入， 得 解得，（不符合题意，舍去） ∴米， 答：某同学原地掷实心球的成绩为10米； 20. 世界羽坛最高水平团体赛成都“汤尤杯”将于月日至月日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为元，如果以单价元销售，那么每天可以销售套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高元，销售量相应减少套．设此商品销售单价为（元），每天的销售量为（套）． （1）求关于之间的函数关系式． （2）销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）销售单价为元时每天获利最大，最大利润元 【解析】 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）由不等式组求出的取值范围，再根据题意列出与之间的二次函数关系式，最后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用，不等式组的应用，二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 即； 【小问2详解】 解：设每天销售吉祥物获得的利润为元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为， 答：销售单价为元时，每天获利最大，最大利润元． 21. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 22. 新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）①若△ABC是等边三角形（如图2），BC＝4，则AD＝ ； ②若∠BAC＝90°（如图3），BC＝6，AD＝ ； 【猜想论证】 （2）在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形） 【拓展应用】 （3）如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD＝6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长． 【答案】（1）①2；②3； （2） ， 证明：在图1中，过点B′作B′E∥AC′，且B′E＝AC′，连接C′E、DE， 则四边形AC′EB′为平行四边形． ∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′E＝180°， ∴∠BAC＝∠AB′E． 在△BAC和△AB′E中， ， ∴△BAC≌△AB′E（SAS）， ∴BC＝AE． ∵ADAE， ∴ADBC； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得出AB＝AC＝4、∠BAC＝60°，结合“旋补三角形”的定义可得出AB′＝AC′＝4、∠B′AC′＝120°，利用等腰三角形的三线合一可得出∠ADC′＝90°，通过解直角三角形可求出AD的长度； ②由“旋补三角形”的定义可得出∠B′AC′＝90°＝∠BAC、AB＝AB′、AC＝AC′，进而可得出△ABC≌△AB′C′（SAS），根据全等三角形的性质可得出B′C′＝BC＝6，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AD的长度； （2）ADBC，过点B′作B′E∥AC′，且B′E＝AC′，连接C′E、DE，则四边形AC′EB′为平行四边形，根据平行四边形的性质结合“旋补三角形”的定义可得出∠BAC＝∠AB′E、BA＝AB′、CA＝EB′，进而可证出△BAC≌△AB′E（SAS），根据全等三角形的性质可得出BC＝AE，由平行四边形的对角线互相平分即可证出ADBC； （3）过点P作PF⊥BC于点F，由（2）的结论可求出PF的长度，在Rt△BPF中，利用勾股定理可求出BF的长度，进而可求出BC的长度． 【小问1详解】 ①∵△ABC是等边三角形，BC＝4， ∴AB＝AC＝4，∠BAC＝60°， ∴AB′＝AC′＝4，∠B′AC′＝120°． ∵AD为等腰△AB′C′的中线， ∴AD⊥B′C′，∠C′＝30°， ∴∠ADC′＝90°． 在Rt△ADC′中，∠ADC′＝90°，AC′＝4，∠C′＝30°， ∴ADAC′＝2． ②∵∠BAC＝90°， ∴∠B′AC′＝90°． 在△ABC和△AB′C′中， ， ∴△ABC≌△AB′C′（SAS）， ∴B′C′＝BC＝6， ∴ADB′C′＝3． 故答案为：①2；②3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在图4中，过点P作PF⊥BC于点F． ∵PB＝PC， ∴PF为△PBC的中线， ∴PFAD＝3． 在Rt△BPF中，∠BFP＝90°，PB＝5，PF＝3， ∴BF4， ∴BC＝2BF＝8． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）①利用解含30°角的直角三角形求出ADAC′；②牢记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 23. 【概念感知】 两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”． 【概念理解】 如图1，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，二次函数与是“异b族二次函数”，其图象经过点． （1）求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （2）如图2，直线，交抛物线于E，F，当四边形为平行四边形时，求直线的解析式； （3）如图3，点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N，连接，当是以为底的等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形性质，两点间距离公式等，理解并应用新定义“异b族二次函数”是解题关键． （1）将代入，即可求得答案； （2）根据题意可得抛物线可以由抛物线向右移动1个单位，再向上移动1个单位得到，再根据平行四边形性质可得，运用待定系数法即可求得直线的解析式； （3）设，则，利用两点间距离公式得出，，，根据建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）∵二次函数 与是“异b族二次函数”， ∴， 将代入，得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）∵抛物线， 抛物线， ∴抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， ∵抛物线与抛物线的a值相同， ∴抛物线可以由抛物线向右移动1个单位，再向上移动1个单位得到， ∵四边形为平行四边形，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （3）设，则， ∵， ∴， ， 当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 所以，当是以为底的等腰三角形时，点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $