精品解析：河北省唐山市2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题

唐山市2024—2025学年度高三年级第一学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合交集、补集运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，则或， 且集合，所以. 故选：B. 2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算即可. 【详解】由得：， 故选：D. 3. 已知向量，，若与平行，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，及共线的坐标运算，即可求解. 【详解】由向量，，可得，， 由与平行，可得：，解得：， 故选：C. 4. 甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 6种 C. 24种 D. 60种 【答案】A 【解析】 【分析】先排甲，确定乙的排法种数，剩下的3人全排列可得结果. 【详解】∵甲在中间，乙不在两端， ∴先排甲，则乙有2种排法，剩下的3人任意排列，故有种. 故选：A. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到，结合题目条件可得，利用倍角公式可计算的值. 【详解】∵，∴. ∵，∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴. 故选：C. 6. 如图，在三棱柱中，平面，，，则三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出的面积，把求三棱锥的体积转化成求三棱锥的体积，再根据的关系进行求解． 【详解】平面， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 所以， 故选：B． 7. 已知椭圆，C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用面积得到的关系，再结合椭圆，消去，即可得的二次齐次方程，然后转化为离心率求解即可. 【详解】 由可得：， 再由，代入可得：， 整理得：， 解得：， 故选：B. 8. 设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，记，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，再求出切线方程，求出交点的横坐标，再利用裂项相消法对数列求和即可． 【详解】解：，当时，， 在点处的切线为：， 化简为：， 当代入中， ，即， ， 化简：， 则数列的前50项和为： ， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A，B相互独立，则 B. 残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“X与Y没有关联” D. 样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相互独立的概念可知选项A正确；根据残差等于观测值减去预测值可知选项B正确；根据独立性检验的原理可知选项C错误；根据样本相关系数的概念可知选项D正确. 【详解】A. 若事件A，B相互独立，则，选项A正确. B. 残差的散点图分布的区域越窄，说明预测值与观测值的偏离越小，拟合效果越好，选项B正确. C.零假设为：X与Y相互独立，即X与Y没有关联，由可知依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，可以认为“X与Y有关联”，选项C错误. D. 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的一个周期为 C. 的一条对称轴为 D. 的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可得选项A错误；根据可得选项B正确；根据可得选项C错误；计算函数在上的值域，结合函数为偶函数及函数的周期性可得选项D正确. 【详解】函数定义域为. A.∵， ∴为偶函数，选项A错误. B. ∵， ∴的一个周期为，选项B正确. C.∵，， ∴函数的图象不关于直线对称，选项C错误. D.当时，， ，其中，， ∵，∴， ∴当时，， 当时，， ∴函数在上的值域为， ∵为偶函数，∴在上的值域为， ∵的一个周期为，∴在上的值域为，选项D正确. 故选：BD. 11. 已知圆心在y轴上的动圆经过点，与x轴的一个交点为，与y轴交于，点的轨迹为E，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. E的方程为 B. E上恰有三个点到焦点弦所在直线l的距离为，则l的倾斜角为 C. E上两点A，B和直线上两点C，D能够构成正方形的个数为2 D. 过点的直线与E交于A，B两点，过A作y轴的垂线与直线OB交于点Q，则线段AQ的中点在直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】由动圆圆心在y轴上且过点可得圆心为线段中点，利用可得选项A正确；根据条件分析得且与抛物线相切，利用两平行直线距离为可得选项B错误；根据正方形边长相等计算可得选项C正确；设直线方程，与抛物线方程联立，表示点坐标得横、纵坐标相等可得选项D正确. 【详解】A.∵动圆圆心在y轴上且过点，，∴圆心为线段中点，即， ∵，∴， 整理得，选项A正确. B.由选项A得点的轨迹为开口向上的抛物线，且焦点为. 如图，直线l过点且与抛物线交于两点，则存在两直线满足，且与之间的距离均为. 由题意得，与抛物线有2个公共点，与抛物线有1个公共点，即直线与抛物线相切， 设， 由得，由相切得，，即， 由两条平行线间距离为得，，解得， ∴l的倾斜角为或，选项B错误. C.如图，四边形为正方形，则. 设直线方程为，，则直线与之间的距离为，即. 由得，由得， ∴，∴. 由得，，整理得，解得或， ∴能够构成正方形的个数为2，选项C正确. D. 由题意得，直线斜率存在. 设，， 由得，∴，即， 由得，直线方程为，直线方程为， ∴，∴线段AQ的中点坐标为， ∵， ∴线段AQ的中点在直线上，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线综合问题，解决选项A的关键是利用圆心在轴上及半径相等得到的关系式；解决选项B的关键是找到和直线平行且与抛物线相切的直线，利用两平行线间距离建立等量关系；解决选项C的关键是利用正方形的几何特征建立等量关系；解决选项D的关键是利用韦达定理表示点的坐标，利用横、纵坐标说明结论成立. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项是__________． 【答案】15 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，根据指数为可得结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 由得，， ∴展开式中的常数项是. 故答案为：15. 13. 已知，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用代换1法，结合均值不等式来求最小值. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当：，即时不等式取等号， 故答案为：. 14. 某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为__________次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为__________． 附：，则，． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式求解即可；利用公式把二项分布转化为标准的正态分布，然后利用正态分布的概率公式求解即可. 【详解】①根据题意：投篮命中的次数服从二项分布， 所以（次）， 故该同学投中次数的期望为20次； ②由该同学n次投篮总得分在区间， 则该同学n次投篮命中次数在区间， ， 又因为，所以， 根据服从标准正态分布，可知，所以， 则n需满足， 故n的最小值为， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C； （2）若的面积为，求AB边上的高． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理角化边，再由余弦定理求角即可； (2)利用正弦面积公式求出边的关系，即可求出三边，从而可求高. 【小问1详解】 由，结合正弦定理角化边得： 又由，代入，得：，解得：， 再由余弦定理得：， 又因为，所以； 【小问2详解】 由的面积为，则，解得：， 又因为，代入解得：，，代入得，， 所以设边上的高为，则，解得：, 故边上的高为. 16. 某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p． （1）若，，，求p； （2）若，，求p取最大值时的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用分类思想及相互独立事件同时发生，即概率乘法公式来求解即可； （2）利用同（1）方法，引入变量，可得三次函数，再用导数来求最值即可. 【小问1详解】 根据，，， 可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为; 【小问2详解】 根据，， 可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为 ， 求导得：， 当时， ，函数在上单调递增； 当时， ，函数在上单调递减； 所以当时，取到最大值，此时， 故取最大值时， 17. 如图，在四棱锥中，，，，，点 在棱上，且． （1）证明：平面； （2）若底面 ，直线与直线所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在线段上取一点 ，使得，连接、，如下图所示： 在中， 、 分别为线段、上的点，且， 所以，且， 又因为，则，即且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）在线段上取一点 ，使得，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点 为坐标原点， 、 、所在直线分别为、 、轴建空间直角坐标系，利用空间向量法求出的长，再利用空间向量法额可求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面 ，， 以点 为坐标原点， 、 、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点， ，， 由题意可得，解得， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 易知平面的一个法向量为，所以，， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦距长为4． （1）求C的标准方程； （2）点在C上，点P的坐标为，O为原点，求面积的最小值； （3）过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 【答案】（1）; （2）; （3）或或. 【解析】 【分析】（1）利用渐近线和焦距可求得双曲线的标准方程； （2）利用切线结合几何意义可求得面积最小值； （3）利用方程组计算弦长和中点坐标，结合垂径定理和勾股定理可列出方程求解即可. 【小问1详解】 由双曲线（，）的渐近线方程为，可得， 又由焦距长为4，可得即则有， 联立上面两式解得：， 所以双曲线方程为：； 【小问2详解】 由点P的坐标为，O为原点，则， 此时直线的斜率为， 利用平行于的直线与双曲线相切，即联立方程组得： ，整理得：， 由，解得， 此时切点为，可以得到这个的面积最小， 再由平行线间的距离公式可得：， 则最小面积为； 【小问3详解】 设过C的右焦点F的直线为，与双曲线联立方程组得： ， 设交点，则有 所以 设交点的中点为， 则有，则， 所以中点为到直线的距离为， 再由，结合勾股定理可得： ，解得：或； 所以直线DE的方程或或. 19. 已知：对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P． （1）已知平面内点，点，把点B按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标； （2）若曲线上的点可以由曲线（，）上的点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转角得到，求曲线的方程； （3）将曲线上的所有点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转，得到曲线，证明：和有且仅有一条公切线． 【答案】（1） （2） （3）证明：对于曲线，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 可得切线方程为，即， 设为切线上任一点， 点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转， 得到， 即，可得， 则， 整理可得， 可知为曲线的切线， 假设曲线和有公切线， 即存在，使得， 可得，整理可得， 构建， 则， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述：对任意恒成立， 可知在内单调递增，且， 可知在内有且仅有一个零点，所以和有且仅有一条公切线. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合旋转的特征分析求解即可； （2）设为曲线上任一点，根据题意求得在曲线上，列式求解即可； （3）根据导数的几何意义可得曲线的切线，根据旋转可求曲线的切线，列方程整理可得，构建函数利用导数分析零点即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 点B按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转即等价于点B绕点A沿逆时针方向旋转， 可得， 则，即点P的坐标. 【小问2详解】 设为曲线上任一点，则，， 点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转角得到， 即在曲线上， 则， 整理可得 又因为，则，可得， 且，则，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 所以曲线的方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问：对于曲线的切线，不需要求曲线方程，根据题意求切线方程即可，可以简化计算和理解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市2024—2025学年度高三年级第一学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与平行，则（ ） A. B. 6 C. D. 4. 甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 6种 C. 24种 D. 60种 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱柱中，平面，，，则三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，记，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A，B相互独立，则 B. 残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“X与Y没有关联” D. 样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的一个周期为 C. 的一条对称轴为 D. 的值域为 11. 已知圆心在y轴上的动圆经过点，与x轴的一个交点为，与y轴交于，点的轨迹为E，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. E的方程为 B. E上恰有三个点到焦点弦所在直线l的距离为，则l的倾斜角为 C. E上两点A，B和直线上两点C，D能够构成正方形的个数为2 D. 过点的直线与E交于A，B两点，过A作y轴的垂线与直线OB交于点Q，则线段AQ的中点在直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项是__________． 13. 已知，则的最小值为__________． 14. 某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为__________次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为__________． 附：，则，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C； （2）若的面积为，求AB边上的高． 16. 某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p． （1）若，，，求p； （2）若，，求p取最大值时的值． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，点 在棱上，且． （1）证明：平面； （2）若底面 ，直线与直线所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦距长为4． （1）求C的标准方程； （2）点在C上，点P的坐标为，O为原点，求面积的最小值； （3）过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 19. 已知：对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P． （1）已知平面内点，点，把点B按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标； （2）若曲线上的点可以由曲线（，）上的点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转角得到，求曲线的方程； （3）将曲线上的所有点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转，得到曲线，证明：和有且仅有一条公切线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $