精品解析：陕西省榆林市八校联考2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试题

陕西省榆林市八校联考2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，由于位于第三象限，从而得到答案. 【详解】依题意，，由于，位于第三象限， 所以是第三象限角． 故选：C． 2. 如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系即可. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则，且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D． 3. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，根据三角函数定义求，结合诱导公式求结论. 【详解】角的终边过点， 则点到原点的距离， 所以， 所以． 故选：A． 4. 已知函数，且的图象恒过点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】令，即可得出图象恒过的定点，进而求解. 【详解】令，解得，又， 所以函数，且）的图象恒过点， 即，所以． 故选：B． 5. 已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间（1，3）上有零点”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，及定理本身就是充分不必要条件，即可作出判断. 【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间（1，3）上有零点， 所以“”是“在区间（1，3）上有零点”的充分条件； 若，满足在区间（1，3）上有零点，但是， 所以“”不是“在区间（1，3）上有零点”的必要条件， 所以“”是“在区间（1，3）上有零点”的充分不必要条件． 故选:A． 6. 小张、小胡两人解关于x的不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，结合韦达定理即可得解. 【详解】因为小张写错了常数，得到的解集为，所以， 小胡写错了常数，得到的解集为，所以，解得， 所以原不等式为，解得， 即原不等式的解集为. 故选：B. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可. 【详解】当时，函数单调递增，则，即； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数单调递增，则， 由函数在上单调递增，有解得． 故选：C 8. 定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“正积函数”的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，由， 当时，则不存在满足情况，故函数不是正积函数； 对于B选项，，由， 则任意一个自变量的值，都存在唯一一个满足，故函数是正积函数； 对于C选项，， 由， 得，当时，，则不唯一， 故函数不是正积函数； 对于D选项，，由， 当时，则不存在满足情况，故函数不是正积函数． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由指数函数的单调性即可判断A，由的单调性即可判断B，由对数函数的单调性以及换底公式代入计算，即可判断C，由作商法代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，因为，且在上单调递增， 则，故A正确； 对于B，由在单调递减可得，故B错误； 对于C，由在上单调递增， 则，所以， 即，故C正确； 对于D，由可得， 由可得，故D正确； 故选：ACD 10. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用两角和正切公式变形化简判断A；逆用两角差正弦公式化简判断B；利用两角差余弦公式化简判断C；通分后，结合二倍角正弦公式，逆用两角差正弦公式化简判断D. 【详解】因为， 所以， 所以，A正确； ， B错误； ，故C错误； ，D正确. 故选：AD 11. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐个选项判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 因为，所以， 所以，所以，故C正确； 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 又，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式即可得解. 【详解】设圆心角的弧度数为， 则，解得. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上的最大值记为，则的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的周期，可得区间的长度为，再结合函数图象判断取得最小值与最大值时的位置，由此即可得解. 【详解】函数的周期，而区间的长度为1，即为， 令，可得时函数取最小值， 如图所示，当函数图象的最低点位于区间的图象上， 且函数在区间的图象关于对称时，取得最小值， 不妨取，当时，， 由正弦函数的图象与性质可知，当或恰好是函数最大点时 取值范围为． 故答案为：． 14. 已知若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】令，问题转换成有两个零点，结合图像得到零点分布区间，即可求解； 【详解】令，画出的图象，如图，要使函数有5个不同的零点，即函数有两个零点，或， 当时，即，所以有两根-1和1，符合题意； 当时，又因为，所以解得． 综上所述，的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解出集合，再由补集和并集的运算可得； （2）由已知，再根据集合间的包含列不等式组求解即可； 【小问1详解】 由题意知， ， 若，则，所以 所以 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围是． 16. 已知幂函数的图象过点． （1）求实数的值； （2）设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义求出并验证，进而求出值. （2）由（1）求出，再利用增函数的定义推理论证. 【小问1详解】 由是幂函数，得，解得， 当时，的图象不过点，不满足题意； 当时，的图象过点，所以. 小问2详解】 由（1）知，，则， 任取，且， 则 由，得，则， ，， ， 因此，即， 所以在上单调递增. 17. 已知函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将的定义域为转化为对任意的恒成立，按照和分类讨论，利用判别式法列不等式组求解即可. （2）按照和、分类讨论，当时，利用复合函数单调性法则判断；当和时，结合二次函数的单调性及对数的真数恒为正，利用复合函数单调性法则列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意知对任意恒成立， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得． 综上，a的取值范围是. 【小问2详解】 当时，在区间上单调递减，符合题意； 当时，若在区间上单调递减，则，所以； 当时，若在区间上单调递减，则，所以． 综上，a的取值范围是. 18. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②；③． （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 【答案】（1）选择模型③，，178千人． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据变化情况选择模型，再利用待定系数法求出解析式及函数值. （2）利用（1）的结论建立不等式，分离参数构造函数并求出其最大值即得. 【小问1详解】 由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快， 模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③， 于是，解得， 所以函数模型对应的解析式为， 当时，预测2024年年末的会员人数为千人． 【小问2详解】 由（1）及已知得，对，都有，令，则， 令，则不等式右边等价于函数， 函数在区间上单调递增，因此， 则，所以的最小值为． 19. 已知函数． （1）已知集合，函数的值域为，若是的一个子集，求实数的取值范围； （2）已知函数，若，求使函数取得最小值的自变量的取值集合； （3）若函数的定义域为，求函数的单调区间． 【答案】（1） （2） （3）单调递减区间为，单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，令，则，其中，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域，根据题意可得出关于实数的不等式组，解之即可； （2）由（1）得到的代入得到，将使得取最小值的自变量转化为取最大值的自变量，再根据余弦函数性质即可得到C； （3）由（1）知，其中，利用二次函数的的单调性，利用复合函数法可求得函数的单调区间，最后再反代回即可得到答案.. 【小问1详解】 ， 令，则，其中， ， 函数的值域为， 集合，且是的一个子集， 解得， 实数的取值范围是． 【小问2详解】 当时，函数， 令， 得， 使函数取得最小值的自变量的集合． 【小问3详解】 二次函数在上单调递减，在上单调递增， ①当时，即， 由，得， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，即，则有， 又函数上单调递减，在上单调递增， 由复合函数法的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 陕西省榆林市八校联考2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 如图，已知表示全集，A，B是两个非空子集，则阴影部分可表示为（ ） A B. C. D. 3. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，且的图象恒过点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间（1，3）上有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 小张、小胡两人解关于x的不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______. 13. 已知函数在区间上最大值记为，则的取值范围为_____________． 14. 已知若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. 已知幂函数图象过点． （1）求实数的值； （2）设函数，用单调性定义证明：在上单调递增． 17. 已知函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围． 18. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②；③． （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 19. 已知函数． （1）已知集合，函数的值域为，若是的一个子集，求实数的取值范围； （2）已知函数，若，求使函数取得最小值的自变量的取值集合； （3）若函数的定义域为，求函数的单调区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$