精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州2024--2025学年 八年级上学期质量检测数学试题

延边州2024~2025学年度上学期八年级教学质量检测 数学试题 数学试题共7页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 正确佩戴口罩能有效地预防新冠病毒，医用外科口罩可以阻挡直径大于的颗粒，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么点A与点B之间的距离可能是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 6. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 要使分式有意义，满足的条件为________． 8. 分解因式：=_________. 9. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是______． 10. 如图，点A、E、B、D在同一条直线上，，，若利用“SAS”来判定，则需补充一个条件：________． 11. 已知a＋b＝5，ab＝6，则a2＋b2＝_____． 12. 如图，，尺规作图操作步骤如下：①以点为圆心，以适当的长度为半径画弧，分别交的两边于点A，B，连接，②作射线，③以为圆心，以长为半径画弧交射线于点，④以点为圆心，以长为半径画弧，将两弧交点记为点，⑤作射线．则的度数为________． 13. 直角三角板与直尺如图摆放，直尺的两个直角顶点分别在三角板的两条直角边上，则_________． 14. 如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为________． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 16 解方程：． 17. 一个多边形的内角和比它的外角和的倍少，这个多边形的边数是多少？ 18. 如图，在四边形中，，，求证：． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： （1）； （2）． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）若与关于y轴对称，点A、B、C的对应点分别是点、、，在平面直角坐标系中画出，并写出点的坐标为________； （2）点与点关于x轴对称，则________，________； （3）直接写出的面积． 21. 先化简，再求值：，其中，且x为整数．下面是甲、乙两同学部分运算过程： 解：原式 … 解：原式 … （1）甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 22. 甲乙两人一同参加4000米的跑步训练，两人同时出发，甲、乙的速度比是4：5，结果乙比甲提前5分钟跑完．求甲、乙的速度． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，于E，交的延长线于点F． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 24. 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，在中，．求作：的平行线． 小明的作法： （1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交和的延长线于点M，N； （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G； （3）作射线，则． 【解答问题】 （1）你认为小明的回答正确吗？若正确，写出证明过程，若不正确，说明理由； （2）如图1，若平分交于点D，，，，求的长．（用含a，b的式子表示） 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 阅读材料：两个边长分别为a和b的正方形（），如图1所示放置，其中图①阴影四边形的面积记为S，图②两个阴影三角形的面积分别记为和，根据题意，易得出以下结论： ， ， ． （1）根据材料信息，由可得出的乘法公式为（ ）； A． B． C． （2）将图1中边长为b的小正方形沿着直线l向右翻折，并分别在图中取阴影四边形，（如图2中①②所示）分别求出这两个阴影四边形面积和；（用含a，b的式子表示，并将结果化成最简形式） （3）在图3中设计一个阴影四边形，使得阴影四边形四个顶点均为两正方形的顶点，且面积为；（要求：图3中的阴影四边形不能与图2的①②形状相同） （4）如图4，在中，，过点A作于点D，点E是线段上一点，若，则阴影四边形的面积为________． 26. 如图，点P和点Q分别是平面直角坐标系中x轴和y轴上的两个动点，点A的坐标为，点P从点A开始沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从原点开始沿y轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，它们同时出发，设运动时间为t秒． （1）当时，的面积为________，当时，的面积为________； （2）当等腰三角形时，求t值； （3）若和的角平分线所在的直线交于点B，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延边州2024~2025学年度上学期八年级教学质量检测 数学试题 数学试题共7页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 正确佩戴口罩能有效地预防新冠病毒，医用外科口罩可以阻挡直径大于的颗粒，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据将一个数写成的形式叫科学记数法直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 3. 如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么点A与点B之间的距离可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以确定的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故点A与点B之间的距离可能是． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系，解题关键是明确三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C符合题意； D．，故D不符合题意， 故选：C． 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形两锐角互余等知识，由网格可知，，，证明，由全等三角形的性质可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，则可得出． 【详解】解：根据网格可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程即可． 【详解】解：根据图可知：， 即， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 要使分式有意义，满足的条件为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式分母不为零即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，即， 故答案为：． 8. 分解因式：=_________. 【答案】 (2x+3)(2x-3) 【解析】 【详解】利用平方差公式得：(2x+3)(2x-3). 9. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题关键．根据“三角形具有稳定性”，即可获得答案． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 10. 如图，点A、E、B、D在同一条直线上，，，若利用“SAS”来判定，则需补充一个条件：________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查添加条件利用“SAS”来判定三角形的全等，利用已知可得，结合条件再找到一组对边相等即可，若添加或即可证明． 【详解】解：补充一个条件：或． 证明：∵， ∴， 若，则，即， 在与中， ∵， ∴． 故答案为：或． 11. 已知a＋b＝5，ab＝6，则a2＋b2＝_____． 【答案】13 【解析】 【分析】由题意利用完全平方和公式可得，进而整体代入a＋b＝5，ab＝6即可得出答案. 【详解】解：. 故答案为：13. 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握和利用完全平方和公式进行变形是解题的关键，注意整体思维的运用. 12. 如图，，尺规作图操作步骤如下：①以点为圆心，以适当的长度为半径画弧，分别交的两边于点A，B，连接，②作射线，③以为圆心，以长为半径画弧交射线于点，④以点为圆心，以长为半径画弧，将两弧交点记为点，⑤作射线．则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定以及性质，根据作图可知，，，则可得出，由全等三角形的性质可得出． 【详解】解：由作图可知：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 直角三角板与直尺如图摆放，直尺的两个直角顶点分别在三角板的两条直角边上，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与三角板有关的计算，根据题意，得到，进一步求出的值即可． 【详解】解：由图和题意，可知：， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．由图形可得：周长，因为，所以求出的最小值即可求出周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵直线垂直平分， ∴A，B关于直线对称， ∴，， 在中， ， ∴当P和E重合时，C、P、B三点共线， 此时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值， 故答案为：14． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式，以及平方差公式计算，再去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解；原式 ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程两边同乘3(x+1)，解出x的解，再检验解是否满足. 【详解】解：方程两边都乘， 得：， 解得：， 经检验是方程的解， 原方程的解为． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的求解，解题关键是解出的解要进行检验. 17. 一个多边形的内角和比它的外角和的倍少，这个多边形的边数是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理和外角和性质；设这个多边形的边数为，然后根据多边形内角和定理、外角和性质以及题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得： ， 解得：． ∴该多边形的边数为． 18. 如图，在四边形中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出即可． 【详解】证明：连接， ∵， ∴在 和 中， ， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能证明 是解此题的关键． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解以及已知式子的值求代数式的值． （1）根据题意得，，提公因式分解因式，然后再代入式子计算即可． （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后再代入式子计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 当，时， 【小问2详解】 解：当，时， ． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）若与关于y轴对称，点A、B、C的对应点分别是点、、，在平面直角坐标系中画出，并写出点的坐标为________； （2）点与点关于x轴对称，则________，________； （3）直接写出的面积． 【答案】（1）图见详解， （2）， （3）的面积是5 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，割补法求三角形面积，解二元一次方程组： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出A、B、C对应点的坐标，再在坐标系中描出，最后顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得； 如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意得， 21. 先化简，再求值：，其中，且x为整数．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 … 解：原式 … （1）甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算， （1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可； 乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 22. 甲乙两人一同参加4000米的跑步训练，两人同时出发，甲、乙的速度比是4：5，结果乙比甲提前5分钟跑完．求甲、乙的速度． 【答案】甲速度为160米／分，乙的速度为200米／分 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设甲的速度为米／分，乙的速度为米／分，根据乙比甲提前5分钟跑完为等量关系列出分式方程求解，检验，最后再得出甲、乙的速度即可． 【详解】解：设甲的速度为米／分，乙的速度为米／分， 由题意得， 解方程，得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴，， 答：甲速度为160米／分，乙的速度为200米／分． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，于E，交的延长线于点F． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键． （1），则，根据角平分线的判定即可得到结论； （2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴平分； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 24. 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，在中，．求作：的平行线． 小明的作法： （1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交和的延长线于点M，N； （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G； （3）作射线，则． 【解答问题】 （1）你认为小明的回答正确吗？若正确，写出证明过程，若不正确，说明理由； （2）如图1，若平分交于点D，，，，求的长．（用含a，b的式子表示） 【答案】（1）小明的回答正确，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由作图可知：平分，得出，根据等边对等角得出，根据三角形外角的定义和性质得出，等量代换可得出，即可得出； （2）先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得出，再证明，由等角对等边得出，，最后再根据线段的和差关系即可得出答案． 【小问1详解】 解：小明的回答正确． 证明：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查作角平分线，平行线的判定，等腰三角形的判定以及性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质等知识，掌握这些判定定理和性质是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 阅读材料：两个边长分别为a和b的正方形（），如图1所示放置，其中图①阴影四边形的面积记为S，图②两个阴影三角形的面积分别记为和，根据题意，易得出以下结论： ， ， ． （1）根据材料信息，由可得出的乘法公式为（ ）； A． B． C． （2）将图1中边长为b的小正方形沿着直线l向右翻折，并分别在图中取阴影四边形，（如图2中①②所示）分别求出这两个阴影四边形面积和；（用含a，b的式子表示，并将结果化成最简形式） （3）在图3中设计一个阴影四边形，使得阴影四边形的四个顶点均为两正方形的顶点，且面积为；（要求：图3中的阴影四边形不能与图2的①②形状相同） （4）如图4，在中，，过点A作于点D，点E是线段上一点，若，则阴影四边形的面积为________． 【答案】（1）B （2） （3）见详解 （4）300 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式以及平方差公式和几何图形的结合， 根据题干已知求解即可； 将阴影部分面积分为两部分或者一个整体，列代数化简即可； 根据已知面积将其利用平方差公式变形，结合面积公式作图即可； 过点B和点C作连接，则阴影四边形的面积化简为，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，且 ∴， 即， 故选：B； 【小问2详解】 解： ； ； 【小问3详解】 解：如图， 【小问4详解】 解：过点B和点C作连接，如图， ∵，， ∴阴影四边形的面积 ． 26. 如图，点P和点Q分别是平面直角坐标系中x轴和y轴上的两个动点，点A的坐标为，点P从点A开始沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从原点开始沿y轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，它们同时出发，设运动时间为t秒． （1）当时，的面积为________，当时，的面积为________； （2）当是等腰三角形时，求t值； （3）若和的角平分线所在的直线交于点B，直接写出的度数． 【答案】（1）6；14 （2）t值为或10 （3）的度数为或 【解析】 【分析】本题主要考查三角形面积公式、等腰三角形的性质、角平分的性质、三角形的内角和定理及外角性质、坐标与图形，解题的关键是熟悉动态思想和分类讨论思想的应用． （1）由题意可知，当时，，，则可知，再根据三角形面积公式求解即可，同理求出当时，三角形的面积． （2）由可得出，然后分两种情况，当点P在线段上时和当点P在线段的延长线上时分别求解即可． （3）当点P在线段上时，根据角平分得，，结合三角形的外角性质得和，即可求得；当点P在线段的延长线上时，利用三角形内角和定理和外角性质同理可得． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴， 故答案为：6，14． 小问2详解】 解：∵是直角三角形，， ∴当是等腰三角形时，， ∵， ∴当点P在线段上时，即， 则， 解得：； 当点P在线段的延长线上时，即， 则， 解得； ∴t值为或10． 【小问3详解】 解：当点P在线段上时，如图， ∵和的角平分线所在的直线交于点B， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴； 当点P在线段的延长线上时， 如图， 则， ∵和的角平分线所在的直线交于点B， ∴，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$