精品解析：天津市红桥区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

八年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第6页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、准考证号、学校、班级填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一种病毒的直径约为，将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 9. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在凸五边形中，，是边的中点．有下列条件：①；②；③；④．其中，能推出与一定垂直的条件的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 注意事项： 用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分式有意义，则满足的条件是______． 12. 计算的结果等于__________． 13. 如图，，若，，则的度数为______． 14. 将代数式分解因式的结果为__________． 15. 分式方程的解为_________． 16. 如图，在中，，，． （1）的面积等于_______． （2）是边上的定点，是边上的动点（），且，连接．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）______． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，．若与关于轴对称，点的对应点分别为、、．请在图中作出，并写出点、、的坐标． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，，是边上的高，是的平分线． （1）求的大小； （2）求的大小． 20. 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 21. 如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求证：． 22. 某校组织师生去距离学校的纪念馆开展研学活动．骑行爱好者张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．设张老师骑自行车的速度为． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）用含有的代数式填空： ①汽车的速度为________； ②张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为_________； ③其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为_________； （2）求张老师骑自行车的速度． 23. 已知是边长为6的等边三角形，是边上的动点（点不与点，重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． （1）如图①，当D为边的中点时，求证：； （2）如图②，连接，求证：； （3）F为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点G，求线段的长（直接写出结果即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第6页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、准考证号、学校、班级填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据此概念进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2. 一种病毒的直径约为，将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是解题的关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法，当原数的绝对值时，把原数变为a时，小数点向左移动的位数即为n的值；当原数的绝对值时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：C ． 3. 以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形三边数量关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判定即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：B ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方等知识．根据同底数幂的乘除法则与积的乘方法则计算，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同分母分式的加减法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了同分母分式的加减，掌握“同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”是解题的关键． 7. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 8. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 9. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 10. 如图，在凸五边形中，，是边的中点．有下列条件：①；②；③；④．其中，能推出与一定垂直的条件的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，证明，，可得条件①可推出结论；证明，，可得条件②可推出结论；证明，，可得条件③可推出结论；④过点A作，，证明，然后利用等腰三角形的三线合一即可得出结论由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ①， ∵， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即能推出与一定垂直； ②， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即能推出与一定垂直； ③， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即能推出与一定垂直； ④, 过点A作，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴ ∵是边的中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，即能推出与一定垂直； 综上所述，能推出与一定垂直的有①②③④，共4个． 第Ⅱ卷 注意事项： 用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分式有意义，则满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为0时，分式有意义．根据分式有意义的条件得到，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 计算的结果等于__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次式混合运算，根据二次根式乘法运算，利用平方差公式计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 14. 将代数式分解因式的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 15. 分式方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 解得：， 当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，． （1）的面积等于_______． （2）是边上的定点，是边上的动点（），且，连接．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）______． 【答案】 ①. 6 ②. 见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，轴对称的性质． （1）根据三角形面积的计算公式计算即可； （2）作点关于的对称点，再过点作垂足为点，在上截取，连接交于点，再在上截取，由，结合两点之间线段最短即可得到点的位置． 【详解】解：（1）∵，，， ∴； （2）作点关于的对称点，再过点作垂足为点，在上截取，连接交于点，再在上截取，点的位置如图所示． 故答案为：6；见解析． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，．若与关于轴对称，点的对应点分别为、、．请在图中作出，并写出点、、的坐标． 【答案】画图见解析、、 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，根据轴对称的性质作图，即可得出答案．熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， 由图知：、、． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据整式的除法运算法则计算，系数除以系数，同底数幂相除，底数不变，指数相减，由此即可求解； （2）运用完全平方公式展开，多项式乘以多项式的运算展开，最后再运用整式加减运算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，在中，，，是边上的高，是的平分线． （1）求的大小； （2）求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． （1）求出，则，，即可解决问题； （2）由角平分线的定义得，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：是边上的高， ， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：是的平分线， ， ． 20. 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值； （1）根据同分母的分式减法进行计算，最后代入求值，即可． （2）先通分，再算分式减法和除法，进行化简，最后代入求值，即可． 【小问1详解】 解： 当时，原式； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式 21. 如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，两直线平行内错角相等，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由线段中点的定义可得，由两直线平行内错角相等可得，，然后利用即可得出结论； （2）由（1）可得，于是可得，由已知条件可得，然后利用可证得，于是结论得证． 【小问1详解】 证明：∵D为边的中点， ∴， ∵， ，， ； 【小问2详解】 证明：由（1）可得：， ， 又， ， 又， ， ． 22. 某校组织师生去距离学校的纪念馆开展研学活动．骑行爱好者张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．设张老师骑自行车的速度为． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）用含有的代数式填空： ①汽车的速度为________； ②张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为_________； ③其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为_________； （2）求张老师骑自行车的速度． 【答案】（1）①；②；③ （2）张老师骑自行车的速度为 【解析】 【分析】本题主要考查代数式，分式方程的运用，理解题目数量关系，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）①根据汽车速度是张老师速度的3倍列式即可；②根据行程中时间等于路程除以速度列式即可；③根据时间等于路程除以速度列式即可； （2）根据数量关系，列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：①设张老师骑自行车的速度为， ∴汽车的速度为， 故答案为：； ②去距离学校的纪念馆开展研学活动，设张老师骑自行车的速度为， ∴张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为， 故答案为：； ③去距离学校的纪念馆开展研学活动，汽车的速度为， ∴其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意列式得，， 解得，，， 检验，当时，原分式方程分母为0，不符合题意，舍去， 当时，原分式方程有意义，符合题意， ∴张老师骑自行车的速度为． 23. 已知是边长为6的等边三角形，是边上的动点（点不与点，重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． （1）如图①，当D为边的中点时，求证：； （2）如图②，连接，求证：； （3）F为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点G，求线段的长（直接写出结果即可）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据等边三角形的性质和三线合一的性质即可得结论； （2）根据“”证明，得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论； （3）根据可知：点在过点与平行的射线上运动，如图③，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小，根据全等三角形的性质和判定即可解答． 【小问1详解】 证明：是等边三角形，为边的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ； 【小问2详解】 证明：和是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：为边的中点，， ， 由（2）知：， 点在过点与平行的射线上运动， ， ， 如图③，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 垂直平分， ，， ，， ，， ， ． 即线段的长为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $