精品解析：江西省上饶市2024——2025学年上学期八年级数学期末考试卷

内部★本科目考试启用前（期末卷） 江西省2025届学业水平联合调研试题 八年级数学试题卷 命题校稿：吉安市八校联盟 抚州市第一中学 审核中心：江西省金太阳教育研究院 考试时间：2025年1月2日上午9：00——11：00 共120分钟 试卷满分：120分 ★祝 考 试 顺 利★ 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3． 命题范围：七年级下册占5%，八年级上册占65%，八年级下册占30%． 4．考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 选择题（18分） 一、选择题：本大题共6个小题，每个小题3分，共18分． 1. 下列是不同学校的校徽，圈内的图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：D项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、B、C选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 2. 下列关于的函数是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据形如的函数叫做一次函数进行逐项判断即可． 【详解】解：A、函数不是一次函数，该选项不符合题意； B、函数不是一次函数，该选项不符合题意； C、函数是一次函数，该选项符合题意； D、函数不是一次函数，该选项不符合题意； 故选：C． 3. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D． 4. 在下列说法中，正确的是（ ） A. 如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称； B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形； C. 等腰三角形是关于一边中线成轴对称的图形； D. 一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形和轴对称图形的关系、等腰三角形的对称轴、线段的对称轴分别进行判断即可． 【详解】解：A、如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某直线成轴对称的图形，故选项错误，不符合题意； B、如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，故选项正确，符合题意； C、等腰三角形是关于底边中线所在直线，即底边的垂直平分线成轴对称的图形，故选项错误，不符合题意； D、线段是关于经过该线段中点且与线段垂直的直线，即线段的垂直平分线成轴对称的图形，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形和轴对称图形的关系、等腰三角形的对称轴、线段的对称轴等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5. 如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据4个长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积即可求解． 【详解】解：依题意，， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式与几何图形，数形结合是解题的关键． 6. 如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①DF=DN ②AE=CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中正确的结论个数是 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断①，证△ABF≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判断②；根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM=22.5°，即可判断④，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判断③． 解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC， ∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°， ∴∠BAD=45°=∠CAD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°， ∴AF=AE， ∵M为EF的中点， ∴AM⊥BE， ∴∠AMF=∠AME=90°， ∴∠DAN=90°﹣67.5°=22.5°=∠MBN， 在△FBD和△NAD中 ∴△FBD≌△NAD， ∴DF=DN，∴①正确； 在△AFB和△△CNA中 ∴△AFB≌△CAN， ∴AF=CN， ∵AF=AE， ∴AE=CN，∴②正确； ∵∠ADB=∠AMB=90°， ∴A、B、D、M四点共圆， ∴∠ABM=∠ADM=22.5°， ∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴④正确； ∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°， ∴∠MDN=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°=∠DNM， ∴DM=MN，∴△DMN是等腰三角形，∴③正确； 即正确的有4个， 故选D． 考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形；圆内接四边形的性质． 第Ⅱ卷 非选择题（102分） 二、填空题：本大题共6个小题，每个小题3分，共18分． 7. 若点，则点到轴的距离为______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解答本题的关键． 根据到y轴的距离为点的横坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：点到y轴的距离为3． 故答案为：3． 8. 已知一次函数的图像与x轴交于点与y轴交于点，不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，当时，，即可求出答案． 【详解】解：∵一次函数的图像与x轴交于点与y轴交于点， ∴y随x的增大而减小，且时，， 当时，，即， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 9. 若关于的分式方程无解，则的值为______________． 【答案】或##2或0 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键； 根据掌握分式方程无解的条件，即可求解； 【详解】解：方程两边同乘，得 ，整理得， ∵原方程无解， ∴当时，； 当时，此时，， 当时，无解； 当时， ， 解得：的值为或． 故答案为：或． 10. 如图，在等腰中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，以及等边对等角，由题意求出，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 11. 如图，公园里一个长方形花坛，长为2a米，宽为米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路（阴影部分），剩余部分栽种花卉；栽种花卉部分的面积是______平方米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，长方形的面积，表示出栽种花卉部分的面积是解题的关键．根据平移结合长方形的面积公式即可求解． 【详解】解： 平方米， 故答案为： 12. 有一张三角形纸片，，点是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有①，此时， ∴， 故对于只有 ∴， ②，此时， ∴， 故对于只有 ∴， ③，此时，， ∴， 故对于只有 ∴， 综上所述，度数可以为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 三、解答题Ⅰ：本大题共5个小题，每小题6分，共30分． 13. （1）计算： （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂的意义，负指数幂的意义，绝对值运算，即可解题． （2）根据完全平方公式，运算化简即可，再将代入即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ； 14. 有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查利用分组分解法分解因式，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题，注意分解因式要彻底，后三项一组符合完全平方公式特征，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 15. 如图，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设与交于点O，连接，在不添加任何辅助点的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形（写3组不包含（1）中的全等三角形）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2），，， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合问题． （1）利用证明，由三角形全等的性质可得出； （2）先利用证明，再利用证明，最后再利用证明和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 综上：在不添加任何辅助点的情况下，全等三角形的有，，，． 16. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，分别是，的中点，若，求 的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线定理，由点，分别是，的中点，得是的中位线，根据中位线性质得，又四边形是平行四边形，则，然后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 17. 作图题： （1）在图1中，画出关于直线的对称图形． （2）在图2中，已知和C、D两点，在内部找一点P，使，且P到的两边、的距离相等． 【答案】（1） 如图，即是所求图形． ． （2） 如图，点P即是所求． ． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称图形的性质，利用三角尺得到C、D、E关于直线AB的对称点、、，顺次连接即可． （2）连接，作的中垂线，再作的角平分线，的角平分线与线段的中垂线的交点即是点P． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，用尺规作图画中垂线、画角平分线，掌握画轴对称图形及用尺规作图画中垂线、角平分线的方法是解题关键． 四、解答题Ⅱ：本大题共3个小题，每小题8分，共24分． 18. 已知：的三边长、、满足． （1）求、、的值； （2）试判断三角形的形状，请说明理由． 【答案】（1），， （2）等腰直角三角形，理由如下： ， ，即， ， ∴以、、为边能构成三角形， ，且， 三角形的形状是等腰直角三角形； 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，绝对值、平方的非负性，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； （1）根据绝对值、平方的非负性，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理就可以证明是等腰直角三角形， 【小问1详解】 解：． ∴，，． ，，． 【小问2详解】 略 19. 如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，过点E作于G，于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∴，即：， 解得，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 20. 如图，直线：与直线：交于点，与x轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求直线和直线的表达式； （2）点P是y轴上一点，点Q是直线上一点，以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且，求点Q的坐标． 【答案】（1）直线：；直线： （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点C坐标，设设，，根据平行四边形的性质，分为对角线和为对角线两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：将代入中，得，则， ∴直线：； 将代入中，得，则， ∴直线：； 【小问2详解】 解：令，则，∴， 设，， 如图，∵， ∴点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况： 若为对角线，则平行四边形中，， 解得，则， ∴； 若为对角线，则平行四边形中，， 解得，则， ∴， 综上，满足条件的点Q坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、平行四边形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 五、解答题 Ⅲ：（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某超市采购了A、B两种网红冰淇淋，已知购进3盒A冰淇淋和5盒B冰淇淋共需86元，购进5盒A冰淇淋和10盒B冰淇淋共需160元． （1）求每盒A冰淇淋、B冰淇淋的进价各需多少钱？ （2）如果该超市共购进A、B两种冰淇淋共400盒，且总费用不超过4600元，并按照每盒A冰淇淋20元，每盒B冰淇淋16元的售价全部售出，那么该超市购进多少盒A冰淇淋获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每盒A冰淇淋的进价需12元，B冰淇淋的进价需10元 （2）该超市购进300盒A冰淇淋获得利润最大，最大利润是3000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （）设每盒A冰淇淋的进价需元， 冰淇淋的进价需元，根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （）根据题意可以写出利润与的函数关系式，然后根据的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值； 【小问1详解】 解：设每盒A冰淇淋的进价需元， 冰淇淋的进价需元， 由题意得：，解得：， 答：每盒A冰淇淋的进价需元， 冰淇淋的进价需元； 【小问2详解】 解：设该超市购进盒A冰淇淋，则购进盒冰淇淋，利润为元， 由题意得：， 解得， ， ∵随的增大而增大， ∴当时，取最大值，此时（元）， 答：该超市购进盒冰淇淋获得利润最大，最大利润是元． 22. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点，点B为y轴上一动点，如图以为边在其一侧作等边三角形，连接． （1）求证：； （2）当点B在y轴上运动时，点C的运动轨迹是一条直线，延长交y轴于点，求点C所在直线的解析式； （3）连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：和都为等边三角形， ， ， ， ； （2） （3） 的最小值为6，理由如下： 如图3，， 点D 为中点， 直线是的中垂线， 点C在直线上运动，所以点三点共线时，最小， 最小值为，即的最小值为6． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式及轴对称的性质， （1）直接证明即可证明结论； （2）当点B与点O重合时，点C与点D重合，求出此时点C坐标；当点C运动到y轴负半轴时且C位于x轴上时，求出此时点C坐标；再用待定系数法求一次函数表达式即可； （3）证明直线是的中垂线，得出，从而得出点三点共线时，最小，并求出最小值即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 如图1，当点B与点O重合时，点C与点D重合，此时点C坐标为， 如图2，当点C运动到y轴负半轴时且C位于x轴上时， ，， ， 设点C所在直线的解析式为，把，代入， ， 解得：， ； 【小问3详解】 略 六、解答题Ⅳ：本大题共12分． 23. 【情景感知】 （1）如图①，在正方形中，绕着点B旋转，与交于点E，与交于点F，连接，如果，请直接写出三条线段之间的数量关系为______ （2）如图②，在四边形中，，绕B点旋转．它的两边分别交于E、F．上述问题（1）中的结论是否仍然成立？______（填“成立”或“不成立”） 【探究发现】 （3）如图③，在四边形中，，绕B点旋转．它的两边分别交于E、F．上述中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展应用】 （4）今年的5月1日，我国第三艘航母“福建舰”开启首次海试，我国东海舰队派出现代级驱逐舰“杭州舰”为其护航．如图所示，“福建舰”在指挥中心（O处）北偏西的A处．“杭州舰”在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，“福建舰”向正东方向以30海里/小时的速度前进，同时“杭州舰”沿北偏东的方向以35海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到“福建舰”、“杭州舰”两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心雷达观测两舰艇之间的夹角．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）；（2）成立； （3）结论成立，理由如下： 如图，延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）130海里 【解析】 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可证明，可得，再根据，可得，然后证明，可得，即可； （2）延长到点G，使，连接，可证明，可得，再根据，可得，然后证明，可得，即可； （3）延长到点G，使，连接，可证明，可得，再根据，可得，然后证明，可得，即可； （4）连接，延长相交于点G，根据题意可得，，可得符合（3）中的条件，再由（3）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长到点G，使，连接， 在正方形中，， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：如图，延长到点G，使，连接，则， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：成立 （3）略 （4）连接，延长相交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴符合（3）中的条件， 由（3）得：， 由题意得：海里/小时，海里/小时， ∴（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为130海里． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内部★本科目考试启用前（期末卷） 江西省2025届学业水平联合调研试题 八年级数学试题卷 命题校稿：吉安市八校联盟 抚州市第一中学 审核中心：江西省金太阳教育研究院 考试时间：2025年1月2日上午9：00——11：00 共120分钟 试卷满分：120分 ★祝 考 试 顺 利★ 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3． 命题范围：七年级下册占5%，八年级上册占65%，八年级下册占30%． 4．考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 选择题（18分） 一、选择题：本大题共6个小题，每个小题3分，共18分． 1. 下列是不同学校的校徽，圈内的图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的函数是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 4. 在下列说法中，正确的是（ ） A. 如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称； B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形； C. 等腰三角形是关于一边中线成轴对称的图形； D. 一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 5. 如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①DF=DN ②AE=CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中正确的结论个数是 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（102分） 二、填空题：本大题共6个小题，每个小题3分，共18分． 7. 若点，则点到轴的距离为______ 8. 已知一次函数的图像与x轴交于点与y轴交于点，不等式的解集是______． 9. 若关于的分式方程无解，则的值为______________． 10. 如图，在等腰中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则______． 11. 如图，公园里一个长方形花坛，长为2a米，宽为米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路（阴影部分），剩余部分栽种花卉；栽种花卉部分的面积是______平方米． 12. 有一张三角形纸片，，点是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题Ⅰ：本大题共5个小题，每小题6分，共30分． 13. （1）计算： （2）已知，求的值． 14. 有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 15. 如图，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设与交于点O，连接，在不添加任何辅助点的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形（写3组不包含（1）中的全等三角形）． 16. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，分别是，的中点，若，求 的长． 17. 作图题： （1）在图1中，画出关于直线的对称图形． （2）在图2中，已知和C、D两点，在内部找一点P，使，且P到的两边、的距离相等． 四、解答题Ⅱ：本大题共3个小题，每小题8分，共24分． 18. 已知：的三边长、、满足． （1）求、、的值； （2）试判断三角形的形状，请说明理由． 19. 如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的面积． 20. 如图，直线：与直线：交于点，与x轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求直线和直线的表达式； （2）点P是y轴上一点，点Q是直线上一点，以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且，求点Q的坐标． 五、解答题 Ⅲ：（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某超市采购了A、B两种网红冰淇淋，已知购进3盒A冰淇淋和5盒B冰淇淋共需86元，购进5盒A冰淇淋和10盒B冰淇淋共需160元． （1）求每盒A冰淇淋、B冰淇淋的进价各需多少钱？ （2）如果该超市共购进A、B两种冰淇淋共400盒，且总费用不超过4600元，并按照每盒A冰淇淋20元，每盒B冰淇淋16元的售价全部售出，那么该超市购进多少盒A冰淇淋获得利润最大？最大利润是多少？ 22. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点，点B为y轴上一动点，如图以为边在其一侧作等边三角形，连接． （1）求证：； （2）当点B在y轴上运动时，点C的运动轨迹是一条直线，延长交y轴于点，求点C所在直线的解析式； （3）连接，请直接写出的最小值． 六、解答题Ⅳ：本大题共12分． 23. 【情景感知】 （1）如图①，在正方形中，绕着点B旋转，与交于点E，与交于点F，连接，如果，请直接写出三条线段之间的数量关系为______ （2）如图②，在四边形中，，绕B点旋转．它的两边分别交于E、F．上述问题（1）中的结论是否仍然成立？______（填“成立”或“不成立”） 【探究发现】 （3）如图③，在四边形中，，绕B点旋转．它的两边分别交于E、F．上述中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展应用】 （4）今年的5月1日，我国第三艘航母“福建舰”开启首次海试，我国东海舰队派出现代级驱逐舰“杭州舰”为其护航．如图所示，“福建舰”在指挥中心（O处）北偏西的A处．“杭州舰”在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，“福建舰”向正东方向以30海里/小时的速度前进，同时“杭州舰”沿北偏东的方向以35海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到“福建舰”、“杭州舰”两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心雷达观测两舰艇之间的夹角．试求此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $