精品解析：山东省聊城市冠县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期期中学业水平检测 九年级数学试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题有选择题与非选择题两部分组成．共120分．考试时间120分钟． 2．将姓名、准考证号、考场号、座号填写在答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束，只交答题卡． 愿你放飞思维，认真审题，充分发挥，争取交一份圆满的答案． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求．） 1. 如图，，若，，，则的长是（ ） A. 1．5 B. 6 C. 9 D. 12 2. 如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格的交点处，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A. 第①块 B. 第②块 C. 第③块 D. 第④块 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 7. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（ ） A. 1 B. C. -1 D. +1 8. 如图，已知，，以O为位似中心，把缩小到原来的，则点E的对应点的坐标为是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 9. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．） 11. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______． 12. 半径为的中有长为的弦，则 弦所对的圆周角度数为____________ 13. 如图所示，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则此三角形移动的距离是________． 14. 如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是，和，则的面积是 ________． 15. 如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___． 16. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是________海里． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它的相似比为． 19. 如图，点D在的边BC上，，，，求BD的长． 20. 已知在中，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 21. 如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径． 23. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中学业水平检测 九年级数学试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题有选择题与非选择题两部分组成．共120分．考试时间120分钟． 2．将姓名、准考证号、考场号、座号填写在答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束，只交答题卡． 愿你放飞思维，认真审题，充分发挥，争取交一份圆满的答案． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求．） 1. 如图，，若，，，则的长是（ ） A. 1．5 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选B． 2. 如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，在5个条件中：①1平分弦所对的一条弧，②平分弦所对的另一条弧，③平分弦，④垂直于弦，⑤经过圆心(或者说直径)，只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论． 【详解】解：∵为的中点，的直径与弦交于点， ∴，，，故A，C，D 正确； 无法说明． 故选B． 3. 如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格的交点处，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格可知，连接AD，则，利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据表格可知， 连接AD，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、求角的正弦值，从网格图中找出直角三角形是解题的关键． 4. 如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 只有选项C错误，符合题意． 故选C． 5. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A. 第①块 B. 第②块 C. 第③块 D. 第④块 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关概念，根据圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心即可得解． 【详解】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，从而可得到半径的长，可以配到与原来大小一样的圆形玻璃 故选：B． 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 7. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（ ） A. 1 B. C. -1 D. +1 【答案】C 【解析】 【分析】由DE//BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出，结合BD=AB﹣AD即可求出的值． 【详解】∵DE//BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵S△ADE=S四边形BCED，S△ABC=S△ADE+S四边形BCED， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8. 如图，已知，，以O为位似中心，把缩小到原来的，则点E的对应点的坐标为是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，以O为位似中心，把缩小到原来的，则都符合题意，再根据位似图形是特殊的相似图形，利用相似图形的性质及中心对称的性质可得答案. 【详解】解：如图，以O为位似中心，把缩小到原来的， 则都符合题意， 且 为中点， 由中心对称的性质可得： 故选： 【点睛】本题考查的位似三角形的性质，中心对称的性质，掌握利用位似图形为特殊的相似图形是解题的关键. 9. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 10. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易证，根据相似三角形的性质可得= ,=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值． 【详解】∵AB、CD、EF都与BD垂直， ∴AB∥CD∥EF， ∴， ∴= ,=， ∴+=+==1. ∵AB=1，CD=3， ∴+=1， ∴EF=． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．） 11. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为． 方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 12. 半径为的中有长为的弦，则 弦所对的圆周角度数为____________ 【答案】或 【解析】 【分析】按要求画出图形，作，根据垂径定理，推出，再通过圆周角定理，即可解答． 【详解】 解：如图，连接，过点O作，交于点D， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，画出正确的图形是解题的关键． 13. 如图所示，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则此三角形移动的距离是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质和相似三角形的判定与性质，解题关键是发现相似三角形，明确面积比等于相似比的平方． 根据面积比等于相似比的平方，先求出的长度，然后再求即可． 【详解】解：由平移可知，， ∴， ∵面积的比等于相似比的平方； ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴移动的距离． 故答案为：． 14. 如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是，和，则的面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意可得，可得，可得对应边的比为，设，则，由此可得，则，根据面积比等于对应边比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积分别为， ∴对应边的比为， ∵四边形，四边形是平行四边形， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为： ． 15. 如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：连接OD,OD为半径是定值，在RT△OCD中，斜边为定值，则当OC最小的时，CD最大，而当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，即为所求. 方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出△BCD∽△ECA得出CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为． 【详解】解：方法一：连接OD，即OD为定值， 又∵OC2+CD2=OD2, ∴当OC最小的时，CD最大， 当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大， CD=AB=. 方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图， ∴AH=BH=AB=， ∵CD⊥OC， ∴CD=CE， ∵∠ABD=∠DEA，∠BCD=∠ECA， ∴△BCD∽△ECA， ∴， ∴CD•CE=BC•AC， ∴CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2， ∴CD=， ∴当CH最小时，CD最大， 而C点运动到H点时，CH最小， 此时CD=，即CD的最大值为． 故答案为． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 16. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是________海里． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用－方向角问题，正确求得海里是解决本题的关键． 作于点D，在中，利用三角函数求得的长，然后在中，利用三角函数即可求得的长． 【详解】解：过点B作，交于点D， 由题可知（海里），，，， ∵在中，， ∴， ∴海里， ∵在中，， ∴， ∴海里， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）把特殊角的三角函数值代入计算即可； （）把特殊角的三角函数值代入计算即可； 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它的相似比为． 【答案】（1） 如图1，点为所作： （2） 如图2，为所作． 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，点D在的边BC上，，，，求BD的长． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，进而证明，得到，最后求得BD的长． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵ ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握基础知识和基本题型． 20. 已知在中，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长； （2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）∵， ∴ ∴AB=10 ∴=； （2）过点F作FG⊥BD， ∵为边上的中线． ∴F是AD中点 ∵FG⊥BD， ∴ ∴FG是△ACD的中位线 ∴FG=3 CG= ∴在Rt△BFG中，=． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义． 21. 如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角推论得，根据点是的中点得，，用ASA证明，即可得； （2）根据题意和全等三角形的性质得，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得，即可得，根据相似三角形的性质得，即可得 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， 为直径， ， 又点是的中点 ，， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 又四边形内接于圆， ， 又， ， 又， ， ， 即：， 解得：， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键． 22. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：连接OD，OE，如图所示： ∵， ∴∠A=∠ODA， ∵点E是边BC的中点， ∴OE∥AB， ∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE， ∴∠DOE=∠COE， ∵， ∴△COE≌△DOE（SAS）， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ODE＝∠ACB＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，OE，由题意易得OE∥AB，∠A=∠ODA，则有∠A=∠COE=∠DOE=∠ODA，然后可得△COE≌△DOE，进而问题可求证； （2）连接CD，由题意易得∠ADC=90°，然后可证△ADC∽△CDB，则有，进而可得CD=6，最后利用勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接CD，如图所示： ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°， ∴∠A＝∠DCB， ∴△ADC∽△CDB， ∴，即， ∵AD＝4，BD＝9， ∴， ∴， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 23. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】（1）， 证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E． 在RtΔABE中，， 同理：， ． ． ． ． ． （2）米 【解析】 【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB， AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论； 解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可． 【小问1详解】 （拓展探究）略 【小问2详解】 （解答问题）解：在ΔABC中， ∴ 解得： 答：点A到点B的距离为m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $