精品解析： 吉林省吉林市高新区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年吉林省吉林市高新区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A SSS B. SAS C. AAS D. ASA 5. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（ ） A B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 7. 若分式有意义，则x的取值范围是____________． 8. 分解因式：______． 9. 大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这是根据________． 10. 已知点A（a ，b）关于x轴对称点的坐标是（a，－12），关于y轴对称点的坐标 是（5，b），则A点的坐标是__________. 11. 如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为_____度． 12. 如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，垂足为E，AE=3cm，则△ABD的周长为______cm． 13. 如图，，，，点恰好落在线段上，则的度数为________度． 14. 如图，在中，平分，如果点P，点Q分别为上的动点，那么的最小值是___________________． 15. 如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为______． 三、解答题（每题5分，共20分） 16. 计算：． 17 解方程：． 18. 如图，，，求证：． 四、解答题（每题7分，共28分） 19. 某学生化简分式出现了错误，其解答过程如下： 原式（第一步） （第二步） （第三步）． （1）该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________； （2）请写出此题正确的解答过程． 20. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年型车的销售总额为万元，今年每辆车的售价比去年减少万元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少万元，求今年每辆型车的售价. 21. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）点A关于______轴对称的点在第四象限；（填“”或“”） （2）画出与关于y轴对称的； （3）在x轴上作一点P，使其到点B，C的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 22. 已知，如图，为等边三角形，点E在边上，点D在边上，并且，和相交于点M，于点N． （1）求证：； （2）若，则 ． 五、解答题（每题8分，共16分） 23. 如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为2b的小长方形铁片． （1）计算剩余部分（即阴影部分）面积． （2）求出当，时的阴影面积． 24. 【教材呈现】 如图，在中，，平分，平分，求的度数． 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 解：平分（已知）， ， 同理可得________． （________）， ________（等式的性质）． 【问题推广】 （1）如图①，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点，过点作于点，若，则________． 六、解答题（每题10分，共20分） 25. [知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； [知识迁移]类似地，用两种不同方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图，写出一个代数恒等式：______； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 26. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，，设点的运动时间为（）． （1）当点在线段上运动时，的长为_____（），的长为______（）（用含的式子表示）． （2）当与的一条边垂直时，求的值． （3）当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年吉林省吉林市高新区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义一一判断即可． 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，完全平方公式，负整数指数幂等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 详解】解：.，原计算错误，故选项不符合题意； .，原计算错误，故选项不符合题意； .，原计算错误，故选项不符合题意； .，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据尺规作图可知，可证，得到，即可得到结论． 【详解】解：直尺和圆规作一个角等于已知角可得， ， ， ， 故选：A ． 5. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形为n边形，由题意得， （n-2）×180°=360°×2-180°， 解得n=5， 即这个多边形为五边形， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的内角和、外角和，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为360°是解决问题的关键． 6. 如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键. 利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可； 【详解】解：∵从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形， ∴剩余部分的面积是：， 又拼成的长方形的面积是：， ∴根据剩余部分的面积相等得：； 故选：A 二、填空题（每题3分，共24分） 7. 若分式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件知识点，解题的关键是明确分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件，确定分母的取值情况，进而得出的取值范围． 【详解】由题意可得：， 解这个不等式可得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 8. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这是根据________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性，即可得到答案． 【详解】解：大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这是根据三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性 10. 已知点A（a ，b）关于x轴对称点的坐标是（a，－12），关于y轴对称点的坐标 是（5，b），则A点的坐标是__________. 【答案】（-5，12） 【解析】 【详解】试题分析：根据关于两轴对称的点的坐标特点求出a，b的值，即可得出答案. 解：∵已知点A（a ，b）关于x轴对称点的坐标是（a，－12）， ∴， ∵关于y轴对称点的坐标是（5，b）， ∴， ∴点A的坐标是（-5，12）. 故答案为（-5，12）. 11. 如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为_____度． 【答案】34 【解析】 【分析】先根据尺规作图可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：由同圆的半径相等得：， ， ， ， 故答案为：34． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 12. 如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，垂足为E，AE=3cm，则△ABD的周长为______cm． 【答案】13 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，得到AD=CD，然后通过等量代换计算，即可得到△ABD的周长. 【详解】解：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足， ∴AD=DC，AC=2AE=6cm， ∵△ABC的周长为19cm， ∴AB+BC=13cm ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm． 故答案为13. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等． 13. 如图，，，，点恰好落在线段上，则的度数为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，，，由等边对等角可得，进而求出，根据三角形的内角和定理求出和，然后再次根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， ，，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，平分，如果点P，点Q分别为上的动点，那么的最小值是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，角平分线的性质，三角形面积公式是解题的关键． 过点作交于点，交于点，过点作交于点，此时的值最小，再由三角形的面积求出边上的高即为所求． 【详解】解：过点作交于点，交于点，过点作交于点， ∵平分， ∴， ∴， 此时的值最小， 因为， 故是直角三角形， 故的面积， ∴， ∴的值最小为， 故答案为：． 15. 如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为______． 【答案】220 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把，因式分解为，再进行计算求值． 【详解】解： ． 故答案为：220． 三、解答题（每题5分，共20分） 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则，解题的关键是掌握法则，正确计算． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解分式方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故原分式方程的解为：． 18. 如图，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据可证得，再利用证得进而可求证结论，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：， ，即：， 在和中， ， ， ． 四、解答题（每题7分，共28分） 19. 某学生化简分式出现了错误，其解答过程如下： 原式（第一步） （第二步） （第三步）． （1）该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________； （2）请写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）二，括号前是负号，去括号时未变号 （2） 【解析】 【分析】此题考查了异分母分式的加减运算，解题的关键是掌握异分母分式的加减运算法则． （1）根据分式的运算法则即可求出答案； （2）根据分式的运算法则求解即可 【小问1详解】 解：二，括号前负号，去括号时未变号； 故答案为：二，括号前是负号，去括号时未变号 【小问2详解】 解：原式 20. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年型车的销售总额为万元，今年每辆车的售价比去年减少万元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少万元，求今年每辆型车的售价. 【答案】万元． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题中等量关系列出方程即可，解题的关键是理解题意，列出方程． 【详解】设今年每辆型车的售价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：今年每辆型车的售价为万元． 21. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）点A关于______轴对称的点在第四象限；（填“”或“”） （2）画出与关于y轴对称的； （3）在x轴上作一点P，使其到点B，C的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 分析】本题考查了轴对称、坐标与图形变换——轴对称： （1）根据轴对称图形的性质即可求解； （2）根据轴对称的图形的性质即可求解； （3）作点关于的对称点，连接，于交于点，则，，则此时点P到点B，C的距离之和最小，进而可求解； 熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可知， 点A关于轴对称的点在第四象限， 故答案为：． 【小问2详解】 根据轴对称图形的性质， 如图所示，即为所求： 【小问3详解】 作点关于的对称点，连接，于交于点， 则， ， 则此时点P到点B，C的距离之和最小， 如图所示，点即为所求： 22. 已知，如图，为等边三角形，点E在边上，点D在边上，并且，和相交于点M，于点N． （1）求证：； （2）若，则 ． 【答案】（1）证明见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据为等边三角形，得，证明，即可作答． （2）易得，进行角的等量代换得，因为，则，，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 五、解答题（每题8分，共16分） 23. 如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为2b的小长方形铁片． （1）计算剩余部分（即阴影部分）的面积． （2）求出当，时的阴影面积． 【答案】（1）6ab+8a+6-2 （2）105 【解析】 【分析】（1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可； （2）将，代入代数式求值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 ； 【小问2详解】 解：当，时， ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 24. 【教材呈现】 如图，在中，，平分，平分，求的度数． 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 解：平分（已知）， ， 同理可得________． （________）， ________（等式的性质）． 【问题推广】 （1）如图①，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点，过点作于点，若，则________． 【答案】25，三角形内角和定理，115；（1）；（2） 【解析】 【分析】教材呈现：首先根据角平分线定义可得，的值，然后根据三角形内角和定理求得的值即可； 问题推广：（1）首先由折叠的性质可得，再结合可得，进而根据三角形内角和定理可知的值，易得，再根据角平分线的定义可得，即，然后计算的值即可； （2）首先根据角平分线的定义和三角形外角的性质确定的值，然后结合确定的值即可． 【详解】教材呈现： ∵平分（已知）， ∴， 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质）． 故答案为：25，三角形内角和定理，115； 问题推广：（1）由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 即， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵，且平分， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题关键． 六、解答题（每题10分，共20分） 25. [知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图，写出一个代数恒等式：______； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】[知识生成]（1）；[知识迁移]（2）14（3）（4）9 【解析】 【分析】[知识生成]（1）观察图大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积；（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解． [知识迁移]（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案． 【详解】解：[知识生成]（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：， （2）由题（1）知：， ． [知识迁移]（3）根据题意得：． （4）由（3）可知， 把，代入得： ． ． 【点睛】考查了完全平方式的应用，以及对完全平方式进行了知识扩展，考查了学生灵活应变得能力． 26. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，，设点的运动时间为（）． （1）当点在线段上运动时，的长为_____（），的长为______（）（用含的式子表示）． （2）当与的一条边垂直时，求的值． （3）当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 【答案】（1）； （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意“点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1”，即可获得答案； （2）分三种情形讨论：当时，当时和当时，分别求解即可； （3）设与交于点，过点作，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，即与中点重合，易知中点的运动轨迹在边上，且点经过的路径长为边的一半，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，当点在线段上运动时， ，． 【小问2详解】 解：∵是边长为的等边三角形， ，， 如图1中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图3中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，或或； 【小问3详解】 解：根据题意，当点从点运动到点的过程中， ， 如下图，设与交于点，过点作，交于点， 则，，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即与中点重合， ∴中点的运动轨迹在边上， 当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点， 当与点重合时，此时， ∴， ∴，即此时中点与点重合， ∴中点经过的路径长． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思想思考问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$