精品解析：吉林省“BEST合作体”2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

吉林省“BEST合作体”2024-2025学年度上学期期末考试 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19道题，共150分，共3页.考试时间120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷 客观题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，总计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的. 1. 设，直线：，：，若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行关系可得，从而求出的值. 【详解】若，则，解得或， 故选：D. 2. 某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（ ） （提示：若，则，，）=0.9973） A. 0.0455 B. 0.15865 C. 0.3173 D. 0.34135 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 3. 2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360 【答案】C 【解析】 【分析】先求出恰有个同学所选的旅游地相同，再应用分步计数及排列、组合数求得结果. 【详解】第一步，先选恰有个同学所选的旅游地相同，有种； 第二步，从个旅游地中选出个排序，有种， 根据分步计数原理可得，方法有种. 故选：C 4. 某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高167cm，他父亲身高180cm，则小王身高的残差为（ ） A. B. C. 2cm D. 3cm 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据回归方程求小王身高的预测值，再计算残差. 【详解】当时，得，则（）， 所以小王身高的残差为. 故选：A 5. 在平面直角坐标系中，已知两点，，点P为动点，且直线与的斜率之积为-2，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合已知写出直线，的斜率，由列式求解动点的轨迹方程． 【详解】设，，， ，， 由，得． 即． 动点的轨迹方程为． 故选：D． 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用全概率和条件概率公式，结合对立事件概率求解即可. 【详解】，则. 由于，则. 则， 则. 故选：B． 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率． 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 故选：A. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为点到点的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解. 【详解】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 观察图象知点P到直线的距离最短，， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共总计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的焦距是，则的值可能是（ ） A. B. 13 C. D. 19 【答案】BD 【解析】 【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解. 【详解】由题知或， 解得或. 故选：BD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 线性回归直线不一定经过样本点的中心 B. 设，若，，则 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线性回归方程过样本点中心可判断A；由二项分布的有关性质判断B；由相关系数的表示意义判断C；由超几何分布的定义判断D. 【详解】对于A，线性回归直线一定经过样本点的中心，故A错误； 对于B，由，，，得，解得，故B正确； 对于C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C正确； 对于D，由于是不放回地随机摸出20个球作为样本， 所以由超几何分布的定义知服从超几何分布，得，故D错误. 故选：BC 11. 已知，双曲线：的左、右焦点，点P在C上，设的内切圆圆心为，半径为，直线交于，若，，，则（ ） A. B. 圆心I的横坐标为1 C. D. C的离心率为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，且三点共线，得到，可判定A正确；根据双曲线的定义和，求得，可判定B错误；利用角平分线定理得到，结合三角形的面积公式，分别求得的值，可判定C正确；结合离心率的定义和求法，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，且三点共线，则，，A正确； 对于B，设切点分别为，则， 又，，点为右顶点，圆心的横坐标为2， B错误； 对于C，因为，，由角平分线定理，得， 又，则，由，得， 因此，得，，则为等腰三角形， 所以，解得，C正确； 对于D，离心率，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：对于双曲线的综合问题的求解策略： 1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，运用平方的方法，建立的联系； 2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解； 3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解. 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题：本题每小题5分，共3小题，总计15分. 12. 已知圆：和圆：交于A，B两点，则直线的方程是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】因为圆：和圆：， 所以直线的方程为，整理得到， 故答案为：. 13. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】两边取对数，对照系数，求出 【详解】，即， ∴，． 故答案为： 14. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l：，点A，B分别是抛物线C、直线l上的动点，若点B在某个位置时，仅存在唯一的点A使得，则满足条件的所有的值为 _______________． 【答案】或． 【解析】 【分析】设，由，可得，方程有唯一解，分类讨论可出的值，解出，得两点的坐标，求距离即可. 【详解】设，抛物线C：焦点为， B为直线l：上的动点，设， ∴， ， ∵，∴， 化简得， 由，将代入， 可得， ①当时，可得，解得，则有， 此时方程只有一个解，满足题意， 则，，∴， ②当时，， 即，解得， 代入，可得，求得，则， 则，，可得. 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 四、解答题：本题共5道题，总计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生每天课外体育锻炼的平均时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”． （1）请根据直方图中的数据，将下面的列联表补充完整； 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 女 110 合计 （2）根据（1）中所得数据，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ 附：． 0.15 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 列联表如下： 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 （2）不能认为“课外体育达标”与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据频率求出“课外体育达标”人数，即可完善列联表． （2）根据（1）中列联表的数据，计算，比较临界值可得结论． 【小问1详解】 由题意得“课外体育达标”人数为，则“课外体育不达标”人数为150． 补充完整的列联表如下： 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 【小问2详解】 ， 在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关. 16. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及． 【答案】（1）；（2）1，8. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的焦点到其准线的距离为2，由求解； （2）设，则，利用点差法求斜率，联立，利用过焦点的抛物线的弦长公式求解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到其准线的距离为2， 所以， 的方程为． （2）设，则， 两式相减得， ， ， 联立，消去整理得， ， ∵直线过抛物线的焦点， ． 17. 某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元： 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元. （1）若用方案一，求X的分布列与数学期望； （2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高?请说明理由； 【答案】（1）分布列： 3 4 5 6 （2）方案二，理由：对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6， ，， ，   ， ∴的期望值 ∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式，计算出概率，列分布列即可得出期望； （2）根据方案二，按照（1）的方法计算期望，比较方案一的期望即可. 【小问1详解】 对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6，  ，， ，， ∴的分布列为： 3 4 5 6 期望值. 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点. （1）求椭圆E的方程； （2）若AB的中点坐标为，求直线l的方程； （3）若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形. 【答案】（1） （2） （3） 由得： ，且， ， ∴， 又直线的斜率存在，AF与RQ不平行， ∴四边形ARQF为梯形. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程. （3）联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，计算，以及AF与RQ，从而判断出四边形ARQF为梯形. 【小问1详解】 由题得， 将代入得： ， 椭圆E的方程为. 【小问2详解】 设，则， 且， 两式相减得：，可得， l方程为，即. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的右焦点以及椭圆所过点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程. 19. 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. （1）计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； （2）证明：； （3）利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 【答案】（1），， ，证明：，， 规律：，证明如下： 的展开式中，的系数为， 同时，的展开式中的系数为， 所以. （2）证明：的展开式中的系数为， 又，的展开式中的系数为 ， 所以. （3）证明：由（1）可知， 由（2）可知， 两式相减可得， 即. 【解析】 【分析】（1）通过计算可得结果，利用二项展开式中的系数相等可证一般性结论； （2）通过的展开式中的系数相等可证结论； （3）结合前两个结论，作差可证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题证明的关键是构造二项式，利用二项展开式中某项的系数相等得出题中需证的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省“BEST合作体”2024-2025学年度上学期期末考试 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19道题，共150分，共3页.考试时间120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷 客观题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，总计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的. 1. 设，直线：，：，若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 或 2. 某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（ ） （提示：若，则，，）=0.9973） A. 0.0455 B. 0.15865 C. 0.3173 D. 0.34135 3. 2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360 4. 某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高167cm，他父亲身高180cm，则小王身高的残差为（ ） A. B. C. 2cm D. 3cm 5. 在平面直角坐标系中，已知两点，，点P为动点，且直线与的斜率之积为-2，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共总计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的焦距是，则的值可能是（ ） A. B. 13 C. D. 19 10. 下列命题正确的是（ ） A. 线性回归直线不一定经过样本点的中心 B. 设，若，，则 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 11. 已知，双曲线：的左、右焦点，点P在C上，设的内切圆圆心为，半径为，直线交于，若，，，则（ ） A. B. 圆心I的横坐标为1 C. D. C的离心率为2 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题：本题每小题5分，共3小题，总计15分. 12. 已知圆：和圆：交于A，B两点，则直线的方程是_______. 13. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则______． 14. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l：，点A，B分别是抛物线C、直线l上的动点，若点B在某个位置时，仅存在唯一的点A使得，则满足条件的所有的值为 _______________． 四、解答题：本题共5道题，总计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生每天课外体育锻炼的平均时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”． （1）请根据直方图中的数据，将下面的列联表补充完整； 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 女 110 合计 （2）根据（1）中所得数据，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ 附：． 0.15 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及． 17. 某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元： 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元. （1）若用方案一，求X的分布列与数学期望； （2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高?请说明理由； 18. 已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点. （1）求椭圆E的方程； （2）若AB的中点坐标为，求直线l的方程； （3）若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形. 19. 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. （1）计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； （2）证明：； （3）利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $