精品解析：吉林省“BEST合作体”2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

吉林省“BEST合作体”2024-2025学年度上学期期末考试 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷选择题 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：p：的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设角的终边经过点，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知函数是偶函数，则实数的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 7. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，函数满足，若，则的最小值为 A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下计算正确的是（ ） A. B. C. D. 若实数且满足，则的值为 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若对数函数（且）经过点，则它的反函数 B. 设，则“”是“”的必要不充分条件 C. 函数是周期函数 D. 设满足，满足，则 11. 德国数学家高斯，以其卓越的数学成就和广泛的学科影响力被誉为“数学王子”.高斯函数为，其中表示不超过的最大整数，例如，，则（ ） A. ， B. 不等式的解集为 C. 当时，的最小值为 D. 定义函数，则的值域为 第Ⅱ卷非选择题 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 函数的最小正周期为___________. 13. 已知为第一象限角，，，则___________. 14. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是___． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，． （1）若，，求，； （2）若，求m的取值范围． 16. 已知，且． （1）证明：； （2）求的最小值． 17. 已知函数对一切实数，，都有成立，且，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式： （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象． ①当时，求函数的值域； ②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值． 19. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图象，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维平面上有两个点 ，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为． （1）若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，若，求的值； （3）已知，，若，求、之间的曼哈顿距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省“BEST合作体”2024-2025学年度上学期期末考试 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷选择题 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合定义可求得集合，由交集定义可求得结果. 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，； ，. 故选：B. 2. 命题：p：的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断即可. 【详解】命题，的否定为，. 故选：C. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质进行大小比较. 【详解】∵且，∴， ∵且，∴， ∵且，∴， ∴，，，即且， 又∵， ，∴， 故，故. 故选：D. 4. 设角的终边经过点，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助三角函数定义计算即可得. 【详解】. 故选：C. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案 【详解】解：因为，所以 因为 所以， 当且仅当即时，取等号， 故的最小值为6， 故选：C 6. 已知函数是偶函数，则实数的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】 运用函数的奇偶性结论，直接推出结果即可． 【详解】因为为偶函数，所以，即， 整理得，由，得. 故选:B. 7. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性，结合指数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】由于为单调递增函数，为开口向下的二次函数，且对称轴为， 要使在区间上单调递减， 则只需要在区间上单调递减，故，解得， 故选：A 8. 设，函数满足，若，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，先求解出函数的解析式，再由找到与之间的等量关系，然后代入的表达式中，消掉，然后使用基本不等式求解最小值即可. 【详解】∵，∴， ∴， ∴ ， ∵，∴， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法和求函数的最值，单调性法是求函数最值的通法．求函数最值时，首先考虑讨论函数的单调性，除非某些特殊函数可以用其他方法求最值，如图象法，基本不等式法，配方法，导数法等． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下计算正确的是（ ） A. B. C. D. 若实数且满足，则的值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数的运算可判断AB，利用对数的运算与换底公式可判断C，利用指对数式的互化，结合对数的换底公式可判断D，从而得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为且， 则，所以，即， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若对数函数（且）经过点，则它的反函数 B. 设，则“”是“”的必要不充分条件 C. 函数是周期函数 D. 设满足，满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入点的坐标可得，即可根据反函数的定义求解A，化简两个不等式，即可根据真子集关系求解B，作出函数图象，即可求解C，利用换元法，结合函数图象即可求解D. 【详解】对于A，，所以，从而反函数为.A正确， 对于B，，所以，从而.而得， 由于是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件，B正确， 对于C，作出的图象可知其不是周期函数,C错误， 对于D，.令得. 由于函数的图象与直线只有一个交点， 从而，即，所以.故D正确， 故选：ABD 11. 德国数学家高斯，以其卓越的数学成就和广泛的学科影响力被誉为“数学王子”.高斯函数为，其中表示不超过的最大整数，例如，，则（ ） A. ， B. 不等式的解集为 C. 当时，的最小值为 D. 定义函数，则的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，设的整数部分为，小数部分为，从而可判断AD，解二次不等式，结合新定义可判断B，利用均值不等式等号条件不成立可判断C，从而得解. 【详解】对于A，设的整数部分为，小数部分为，则， 的整数部分为，，故，故A正确； 对于B，因为，所以， 解得，得，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时成立， 但不成立，故等号不成立，故C错误； 对于D，设的整数部分为，小数部分为， 则，，故， 所以，故的值域为，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷非选择题 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 函数的最小正周期为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦型函数周期公式计算作答. 【详解】 故答案为： 13. 已知为第一象限角，，，则___________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系，根据所给的三角函数式中的角与所求角的特征，合理凑角，然后用两角和的正切公式得到结果. 【详解】∵是第一象限角，∴ ∴， 又∵， 所以， 则， 所以 . 故答案为：. 14. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可. 【详解】当时，，符合题意， 当时，二次函数的判别式为：， 若，此时函数的零点为，符合题意； 当时，只需，所以且； 当时，，经验证符合题意；当时，，经验证符合题意； 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，． （1）若，，求，； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）确定，，再计算交集和并集得到答案. （2）根据并集结果得到，且，构造，得到，解得答案. 【小问1详解】 ，， ，. 【小问2详解】 ，，， 故，且，则，即. ，则， 解得，即. 16. 已知，且． （1）证明：； （2）求的最小值． 【答案】（1）证明：已知，且， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，证毕； （2） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论； （2）变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为 17. 已知函数对一切实数，，都有成立，且，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法进行求解即可； （2）利用赋值法进行求解即可； （3）根据指数函数的性质、绝对值的性质，结合换元法、一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【小问1详解】 在中， 令，得， 因，解得； 【小问2详解】 在中， 令，得即， 所以，； 【小问3详解】 由（2）可知：， 由，可得， 即得：，其中，即， 令，函数图象如下图所示： 则有， 因为关于x的方程有三个不同的实数解， 所以方程有两个不相等的实根，不妨设为， 由函数的图象可知：，或， 设，由二次函数的图象可得： ，或， 解得或，所以， 故实数k 的取值范围为. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式： （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象． ①当时，求函数的值域； ②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由图象得A、B、，再代入点，求解可得函数的解析式； （2）①由已知得，由求得，继而求得函数的值域； ②令，，做出函数的图象，设有三个不同的实数根，有，，继而得，由此可得答案. 【小问1详解】 解：由图示得：， 又，所以，所以，所以， 又因为过点，所以，即， 所以，解得，又，所以， 所以； 【小问2详解】 解①：由已知得，当时，， 所以，所以，所以， 所以函数的值域为； ②当时，，令，则， 令，则函数的图象如下图所示，且，，， 由图象得有三个不同的实数根，则，， 所以，即， 所以，所以， 故. 19. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图象，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维平面上有两个点 ，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为． （1）若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，若，求的值； （3）已知，，若，求、之间的曼哈顿距离． 【答案】（1）曼哈顿距离为，余弦距离为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据曼哈顿距离和余弦距离的定义求解即可； （2）根据定义，先将化简，联立解得的值，进而可得的值； （3）首先根据已知条件求出的坐标，再求出曼哈顿距离. 【小问1详解】 因为， 所以曼哈顿距离为：， 余弦相似度为： ， 所以余弦距离为. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 由解得， 所以. 【小问3详解】 因为，， 所以. 因为，所以. 又， 所以， 由知，所以. 所以，所以. 所以. 因为， ， 所以. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $