精品解析：江苏省徐州市沛县五中联盟学区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学期末试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 2. 学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动，小明随机调查了本校九年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 课外书数量（本） 6 7 9 12 人数 6 9 10 5 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 8，9 B. 10，9 C. 7，12 D. 9，9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键．根据中位数：“将数据按照顺序排列后，中间一位或中间两位的平均数即为中位数”，众数：“出现次数最多的数据”，进行判断即可． 【详解】解：数据排序后，第15个数是7，第16个数为9， ∴中位数为， ∵9出现的次数最多， ∴众数为9， 故选：A． 3. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 4. 若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆位置关系，熟记点与圆的位置关系的判定是解题的关键． 根据点到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论． 【详解】解：的半径为2，在同一平面内，点与圆心的距离为1，， 点与的位置关系是：点在内， 故选：C． 5. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C， 在Rt△ABC中，sinB=， 则AC=AB•sinB=100sin65°（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6. 对于函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数最小值为5 B. 图象开口向下 C. 图象关于直线对称 D. 图象顶点是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据中，对称轴为直线，顶点坐标为可得答案． 【详解】解：对于函数，图象顶点是，图象关于直线对称， ∵， ∴图象开口向下，函数有最大值5， ∴B、C、D正确，A错误， 故选：A． 7. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 8. 如图，正六边形内接于为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多边形，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于，为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设正六边形的面积为，则， ∴ 故选：C． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若方程的两根分别为，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：若，是一元二次方程的两根，则，． 根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵方程的两根分别为，， ∴， 故答案为：． 10. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是_______分． 【答案】78 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数的求法，掌握加权平均数公式是解题关键．本问题是求小红三项成绩的加权平均数，利用加权平均数的计算公式，列式算出答案即可． 【详解】解：小红的平均成绩为：（分） 故答案为：78． 11. 已知圆锥的侧面积是8π，底面半径是2，则圆锥的母线长是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】设母线长为R，可得底面周长为4π，再由圆锥的侧面积是8π，可得，即可求解． 【详解】解：设母线长为R， ∵底面半径是2， ∴底面周长=2×2π=4π， ∵圆锥的侧面积是8π， ∴，解得：R=4． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键，难度不大． 12. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是___． 【答案】35° 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝55°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°， ∴∠D＝∠B＝35°． 故答案为：35°． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 13. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的面积比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形面积之比，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是找到相似三角形的相似比． 设、分别与交于点、 ，则 ，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答． 【详解】解：如图， 设、分别与交于点、 ，则 ， ∴ , ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由图可知： ， ∴ ， 即与的相似比为 ， ∴与的面积比为 故答案为：． 14. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，M、N分别是正方形边和的中点，正方形的边长为200步（“步”是我国古代的一种长度单位，类似于现在的米），出东门M继续往东走15步有一树木（点E），问出南门N继续往南走多少步恰好能看到位于点E处的树木（即点C在直线上）？则根据以上信息，算出的长是________步． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，步，步，步， ， ， 又， ， ， ， 步， 故答案为： 15. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 【答案】九##9 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 16. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法： ①； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时． ④当时，y随x的增大而增大． ⑤若点在二次函数图象上，则， 其中正确的序号有_______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方， ∴当时，则，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故⑤错误； 综上所述，正确的有②③， 故答案为：②③． 三．解答题（本大题共9小题，共92分） 17. 计算和解方程： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算和解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）分别计算零指数幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值以及化简绝对值，再进行加减计算； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 18. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛． （1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求选中乙同学的概率； （2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）恰好选到乙的概率是； （2）恰好选中甲、乙两位同学的概率是． 【解析】 【分析】（1）由甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两人的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位， ∴恰好选到乙的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有2种情况， ∴恰好选中甲、乙两人的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】（1）①，；② （2）甲， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 ①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 20. 已知：二次函数过点 （1）求出二次函数的表达式； （2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像； （3）根据图像回答：当时，y的取值范围是_______ （4）当时自变量x的取值范围是_______ 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2） 确定开口方向，对称轴，顶点坐标，即可作出大致函数图象； （3）依据题意，由二次函数为，则当时，取最小值为，又当时，；当时，，进而可以判断得解； （4）确定抛物线与交于点，结合函数图象即可求解． 小问1详解】 解： 二次函数过点，， ． 解得： 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，由（1）二次函数为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为． 作图如下． 【小问3详解】 解：由题意，二次函数为， 当时，取最小值为． 又当时，；当时，， 当时，． 故答案为：． 【小问4详解】 解：当时，， 解得：或， ∴抛物线与交于点，如图， ∴由图象可知：当时自变量x的取值范围是：或， 故答案为：或． 21. 元旦期间商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价．现在售价为每个60元，每天可销售100个，经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个，设每个吉祥物降价x元． （1）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （2）在（2）的条件下，该零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）45元，最大值为2250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售问题．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和销售量的关系，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据总利润等于每个利润乘销售量列出函数关系式即可解题； （2）根据，开口向下，得到时，有最大值，然后计算定价即可． 【小问1详解】 解：与的函数关系式为： 答：与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意，，， 当时，有最大值，且最大值为2250， 此时定价为：（元）， 答：定价45元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”利润最大，最大利润是2250元． 22. 如图，在中，， （1）用无刻度的直尺和圆规在图中作，使圆心O在边上，过点B且与边相切于点D（不写作法．保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若．求与重叠部分的面积 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点D，过点D作，交于点O，以O为圆心，为半径作，即可； （2）设交于点E，交于点，连接，过点E作于点F，利用重叠部分的面积等于进行计算即可． 【小问1详解】 解：作的角平分线交于点D，过点D作，交于点O，以O为圆心，为半径作，如图所示； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的半径，且， ∴为的切线， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：∵，是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，设交于点E，交于点，连接， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于点F， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴与重部分的面积为． 【点睛】本题考查复杂作图，圆与三角形的综合应用，主要考查了切线的判定和性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，扇形的面积．解题的关键是掌握切线的判定方法和性质． 23. 如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角是识别到最近点B的俯角是，该摄像头安装在距地面的点C处，求最远点与最近点之间的距离（结果取整数，参考数据：）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据题意，先在中求，再在中求，最后求差即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∵，， ∴， 在中，∵ ∴ ∴ 在中,， ∴ ∴ ∴． 答：最远点与最近点之间的距离约是． 24. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的直径． 【答案】（1）证明见解析 （2）18 【解析】 【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； （）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解； 【小问1详解】 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的直径为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式； （2）当点D在直线下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下连接，交于点F，求的最大值 （4）当时，过点D作y轴的平行线交直线于点E，连接，交直线于点F，是否存在最大值？若存在请求出最大值，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）不存在 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果； （4）当时，此时，故，由时，随着的增大而增大，故没有最大值，故没有最大值． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方抛物线上， ； 【小问3详解】 解：如图1， 当时， 作，交直线于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ； 【小问4详解】 解：不存在，理由如下：如图2，作，交直线于， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期末试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 2. 学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动，小明随机调查了本校九年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 课外书数量（本） 6 7 9 12 人数 6 9 10 5 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 8，9 B. 10，9 C. 7，12 D. 9，9 3. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 5. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ） A B. C. D. 6. 对于函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数最小值为5 B. 图象开口向下 C. 图象关于直线对称 D. 图象顶点是 7. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形内接于为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（ ） A 6 B. 4 C. 3 D. 2 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若方程的两根分别为，，则_______． 10. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是_______分． 11. 已知圆锥的侧面积是8π，底面半径是2，则圆锥的母线长是_________． 12. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是___． 13. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的面积比为_______． 14. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，M、N分别是正方形边和的中点，正方形的边长为200步（“步”是我国古代的一种长度单位，类似于现在的米），出东门M继续往东走15步有一树木（点E），问出南门N继续往南走多少步恰好能看到位于点E处的树木（即点C在直线上）？则根据以上信息，算出的长是________步． 15. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 16. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法： ①； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时． ④当时，y随x的增大而增大． ⑤若点在二次函数图象上，则， 其中正确的序号有_______． 三．解答题（本大题共9小题，共92分） 17. 计算和解方程： （1）计算： （2）解方程： 18. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛． （1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求选中乙同学的概率； （2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学概率． 19. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 20. 已知：二次函数过点 （1）求出二次函数的表达式； （2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像； （3）根据图像回答：当时，y的取值范围是_______ （4）当时自变量x的取值范围是_______ 21. 元旦期间商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价．现在售价为每个60元，每天可销售100个，经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个，设每个吉祥物降价x元． （1）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （2）在（2）的条件下，该零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，在中，， （1）用无刻度的直尺和圆规在图中作，使圆心O在边上，过点B且与边相切于点D（不写作法．保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若．求与重叠部分的面积 23. 如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角是识别到最近点B的俯角是，该摄像头安装在距地面的点C处，求最远点与最近点之间的距离（结果取整数，参考数据：）． 24. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的直径． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式； （2）当点D在直线下方抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下连接，交于点F，求的最大值 （4）当时，过点D作y轴的平行线交直线于点E，连接，交直线于点F，是否存在最大值？若存在请求出最大值，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $