四川省绵阳市涪城区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024秋绵阳市涪城区八年级期末教育教学质量监测试卷 （八年级数学） 一、选择题（36分） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（　　） A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣4 C．3×10﹣4 D．3×107 3．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．6x2y3＝2x2•3y3 B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D． 4．下列计算正确的是（　　） A．a8÷a2＝a4 B．（﹣2024）0＝2024 C． D．2a5•a3＝2a8 5．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 6．如图，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF，连接EF与AD相交于点O．则下列结论不一定成立的是（　　） A．OE＝OF B．AE＝AF C．OD＝OF D．∠EAD＝∠FAD 7．分式的值为0，则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 8．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝5，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是（　　） A．9 B．10 C．10.5 D．11 9．若x2+2（a+4）x+25是完全平方式，则a的值（　　） A．1 B．﹣9 C．1或﹣9 D．5 10．某体育用品商店购进一批足球和篮球，已知篮球的单价为足球单价的1.5倍，购买篮球用了1200元，购买足球的用了1000元，且购买篮球的个数比足球少了5个．若设足球的单价为x元/个，依据题意可得方程为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥AB于点F，已知BC＝16，则BF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 12．如图，已知四边形ABCD中，AD⊥AB，AB＝AD，AC平分∠DAB，点E在边AB上且CE＝CB，连接DE，若∠ABC＝α，∠DEA＝β，则（　　） A．β﹣α＝15° B．α+β＝135° C．2β﹣α＝90° D．2α+β＝180° 二、填空题（共18分） 13．若点A（m，2）与点B（﹣3，n）关于x轴对称，则m+n＝ 　 　． 14．分解因式：ab2﹣a2＝　 　． 15．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是　 　． 16．若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝　 　． 7．如图，∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝20，AC＝10，则BE＝　 　． 18．若整数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　． 三．解答题（共46分） 19．（8分）（1）计算：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y． （2）解方程：． 20．（8分）先化简，再求值：，其中a，2，4为△ABC的三边长，且a为整数． 21．（8分）在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过O作OD⊥OB，交边AB于点D，如图． （1）若∠ABC＝40°，则∠AOC＝　 　，∠ADO＝　 　； （2）猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明理由． 22．（6分）如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M．已知AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若∠FME＝60°，求证：△MFE是等边三角形． 23．（6分）为创建和谐文明的校园环境，某初中准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少50元，且用16000元购买A种垃圾桶的组数量是用10000元购买B种垃圾桶的组数量的2倍． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过6850元的资金购买A、B两种垃圾桶共30组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 24．（10分）已知，在等边△ABC中，点D是射线AC上一点，连接DB． （1）如图1，CD＝3AD＝1，请求解线段BD的长； （2）如图2，点D在线段AC上．若点E为BC延长线上一点，满足AD＝CE，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DP，连接BP，EP，用等式表示线段BP、AD之间的数量关系，并证明； （3）在（2）条件下，点D是线段AC延长线上一点，若△BEP为等腰三角形时，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024秋绵阳市涪城区八年级期末教育教学质量监测试卷 （八年级数学） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D D C A A C A D B 13. -5 14. a（b2﹣a） 15. 36° 16. a3b2 17. 5 18. 21 19.解：（1）原式＝[x2+y2﹣（x2﹣2xy+y2）+（2xy﹣2y2）]÷4y ＝（x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2）÷4y ＝（4xy﹣2y2）÷4y ＝x； （2）， 去分母得：x2﹣3（x﹣2）＝x（x﹣2）， 去括号得：x2﹣3x+6＝x2﹣2x， 移项得：x2﹣3x﹣x2+2x＝﹣6， 合并同类项得：﹣x＝﹣6， 系数化为1得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解， ∴原方程的解为x＝6． 20.解：原式• ， ∵a与2，4构成△ABC的三边， ∴2＜a＜6， ∴整数a为3，4，5， ∵a﹣3≠0且a﹣4≠0， ∴a的值为5， 当a＝5时， 原式 ． 21.解：（1）①∵∠ABC＝40°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣40°＝140°， ∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）＝70°， ∴∠AOC＝180°﹣70°＝110°， ∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO∠ABC＝20°， ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BDO＝70°， ∴∠ADO＝110°， 故答案为：110°，110°， （2）相等，理由设∠ABC＝α， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣α， ∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）＝90°α， ∴∠AOC＝180°（∠OAC+∠OCA）＝90°α， ∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO∠ABCα， ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BDO＝90°α， ∴∠ADO＝180°﹣∠BOD＝90°α， ∴∠AOC＝∠ADO． 22.证明：（1）∵AF＝BE， ∴AF+EF＝BE+EF， 即AE＝BF． ∵AC＝BD，∠A＝∠B， ∴△ACE≌△BDF（SAS）． （2）∵△ACE≌△BDF， ∴∠CEA＝∠DFB， ∴ME＝MF， ∵∠FME＝60°， ∴△MFE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）． 23.解：（1）设A种垃圾桶每组的单价是x元，则B种垃圾桶每组的单价是（x+50）元， 根据题意得：， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意， ∴x+50＝200+50＝250． 答：A种垃圾桶每组的单价是200元，B种垃圾桶每组的单价是250元； （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（30﹣y）组， 根据题意得：200（30﹣y）+250y≤6850， 解得：y≤17， 又∵y为正整数， ∴y的最大值为17． 答：最多可以购买B种垃圾桶17组． 24.解：（1）过点B作BR⊥AC于点R，如图1所示： ∵CD＝3AD＝1， ∴AD， ∴AC＝AD+CD， ∵△ABC为等边三角形，BE⊥AC， ∴∠A＝∠ACB＝∠ABC＝60°，AC＝BC＝AB， ∴AR＝CRAC， ∴DR＝AR﹣AD， 在Rt△BCR中，由勾股定理得：BR， 在Rt△BDR中，由勾股定理得：BD； （2）线段BP、AD之间的数量关系是：，理由如下： 过点D作DN∥AB交BC于点N，AN的延长线交BP于M，如图2所示： ∴∠DNC＝∠ABC＝60°，∠CDN＝∠A＝60°， ∴△DCN为等边三角形， ∴DC＝DN＝CN，∠ECN＝∠DNB＝120°， ∴AC﹣DC＝BC﹣CN， 即AD＝BN， ∵AD＝CE， ∴AD＝CE＝BN， 由旋转的性质得：DE＝DP，∠EDP＝60°， ∴∠EDP∠CDN＝60°， ∴∠EDD+∠CDP＝∠CDP+∠PDN＝60°， ∴∠EDD＝∠PDN， 在△EDC和△PDN中， ， ∴△EDC≌△PDN（SAS）， ∴∠ECD＝∠PND＝120°，CE＝NP， ∴AD＝CE＝BN＝NP， ∴∠NBP＝∠NPB， ∴∠PNB＝360°﹣（∠DNB+∠PND）＝120°， ∴∠NBP＝∠NPB＝30°， ∴∠ABP＝∠ABC+∠NBP＝60°+30°＝90°， ∵DN∥AB， ∴∠DMP＝∠ABP＝90°， ∴PM＝BMBP， 在Rt△PMN中，∠NPB＝30°， ∴MNNP， 由勾股定理得：PMNP， ∴BP＝2PMNP， ∴BPAD； （3）当点D是线段AC延长线上一点时，过点D作DK∥AB交CE于K，连接PK，过点P作PH⊥CE于H，如图3所示： 设AC＝a，AD＝b， 则AC＝BC＝AB＝a，AD＝CE＝b， ∴CD＝AD﹣AC＝b﹣a， ∵△BEP为等腰三角形， ∴BP＝BE＝BC+CE＝a+b， ∵DK∥AB， ∴∠DKC＝∠ABC＝60°，∠DCK＝∠ACB＝60°， ∴△CDK为等边三角形， ∴∠CDK＝60°，DK＝CK＝CD＝b﹣a， 由旋转的性质得：DE＝DP，∠EDP＝60°， ∴△DEP为等边三角形， ∴DE＝DP，∠EDP＝60°， ∴∠CDK＝∠EDP＝60°， ∴∠CDK+∠KDE＝∠EDP+∠KDE， 即∠CDE＝∠KDP， 在△CDE和△KDP中， ， ∴△CDE≌△KDP（SAS）， ∴PK＝CE＝b，∠DCE＝∠DKP＝60°， ∴∠PKE＝180°﹣（∠DKC+∠DKP）＝180°﹣（60°+60°）＝60°， 在Rt△PKH中，∠KPH＝90°﹣∠PKE＝30°， ∴KHPK， 由勾股定理得：PH， ∴BH＝BC+CK+KH＝a+b﹣a， 在Rt△PBH中，BH，PH， 由勾股定理得：BH2+PH2＝PB2， 即：， 整理得：2b2﹣2ab﹣a2＝0， 解得：b1，b2，不合题意，舍去， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$