精品解析：山东省临沂市郯城县2024--2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

2024-2025学年度上学期阶段性质量监测 九年级数学试题 本试卷共4页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时， 随 的增大而减小 4. 抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 为了培养学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知年该学校用于购买图书的费用为 万元，到年累计总投入万元．设每年用于购买图书资金的平均增长率为 ，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 为了表演课本剧，需要制作如图所示的一个圆锥形的帽子，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则制作这个帽子所需纸板面积为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 7. 平面直角坐标系中，已知点，则点 关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 中，，，，其内切圆分别于 、 、 相切于点 、 、 ，则弦 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与 轴交于，其对称轴为 ，结合图象下列结论：①；②；③；④若点，均在函数图象上，则；⑤若 为任意实数，则；⑥．其中正确的有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是______． 12. 设方程的两个根为，那么的值等于_____． 13. 已知三点，，都在抛物线的图象上，则，，的大小关系为_____（用“”连接）． 14. 如图，是 的内接三角形，若，，则_____． 15. 如图，在中，，将绕点 顺时针旋转到的位置，使得点恰好落在 边上，则_____． 16. 如图，在矩形 中， 为矩形内一点，连接，， ，，，，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. 马陵山藏兵洞位于新沂市马陵山镇，此洞冬暖夏凉弯弯曲曲，1967年开始由某部工程兵开凿、历时4年完成，洞有指挥室、机要处、水井等设施，作为军事防空洞．如图，已知主洞是由矩形和弓形组成，宽约4米（即），高约5米，侧墙的垂直高度约4米（即），求弧 所在 的半径长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图： （1）请画出关于原点 成中心对称的； （2）请画出将绕原点 顺时针旋转后得到的； （3）在（2）的基础上求出点 所经路径的长度． 20. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：无论 为何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个根为，，且满足，求 的值． 21. 跳跳杆是一种常见儿童玩具，结构如图甲所示，劲度系数较大的轻弹簧下端固定在支杆上，上端与脚踏相连，脚踏可以沿杆上下移动，儿童玩耍情境如图乙所示．已知自然状态下，弹簧的初始长度为，当儿童刚接触到脚踏将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到儿童的下落速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图1所示． （1）该儿童下落过程中，速度变化为_____________； （2）求出 与的函数关系式； （3）当儿童的下落停止时，此时的弹簧长度是多少？ 22. 如图，四边形 ，，以 为直径作 ，经过点 ，交 于点 ， 为弧 的中点． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 23. 已知抛物线 （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线与 轴有两个交点，求 的取值范围； （3）设点，在抛物线上，若，求 的取值范围． 24. 综合实践： 动手操作： 小明在学完旋转后，利用两个相同的含有三角板进行旋转，让两个的顶点放置在一起，取 的中线 ，让绕点 任意旋转． 发现结论： 在旋转的过程中，发现线段 与 的位置存在平行的情况． 问题解决： （1）如图1，将绕点 顺时针旋转，请判断 与 平行吗？并说明理由； （2）当顺时针旋转一周时，还存在平行的情况吗？若有，请求出旋转的角度；若无，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期阶段性质量监测 九年级数学试题 本试卷共4页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，首先把常数项移到等号右边，根据等式性质把方程的两边同时加 ，方程的左边成为完全平方式的形式，然后再用完全平方公式把左边分解因式可得变形后的结果． 【详解】解：， 移项得：， 两边同时加 得：， 分解因式得：． 故选：C． 3. 关于二次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时， 随 的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵二次函数， ∴，函数的图象开口向下， 顶点坐标是，最大值为 ， 当时， 随 的增大而减小， 故选项A，C，D正确，选项B不正确． 故选：B． 4. 抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，解题关键是明确平移变化规律左加右减自变量，上加下减常数项． 根据抛物线平移变化规律左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 则平移后的解析式为：， 故选：D． 5. 为了培养学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知年该学校用于购买图书的费用为 万元，到年累计总投入万元．设每年用于购买图书资金的平均增长率为 ，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每年用于购买图书资金的平均增长率为 ，用含 的代数式把年和年购买图书的资金表示出来，根据三年总投资为万元列出方程即可． 【详解】解：设每年用于购买图书资金的平均增长率为 ， 则年用于购买图书的资金为万元，年用于购买图书的资金为万元， 三年累计总投入万元， 可列方程为：． 故选：D． 6. 为了表演课本剧，需要制作如图所示的一个圆锥形的帽子，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则制作这个帽子所需纸板面积为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面积． 根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得圆锥形的帽子的侧面积为：， ∴所需纸板的面积是． 故选：D． 7. 平面直角坐标系中，已知点，则点 关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中关于原点对称的点的坐标关系．关于原点的对称点的坐标特点：横、纵坐标都互为相反数，据此进行求解即可得到答案． 【详解】解∶ 点关于原点的对称点的坐标为， 故选∶A． 8. 如图，中，，，，其内切圆分别于 、 、 相切于点 、 、 ，则弦 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，根据切线的性质得到，推出四边形是正方形，得到，根据勾股定理得到，进而根据切线长定理求得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵内切圆分别于 、 、 相切于点 、 、 ， ∴， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解： A．由二次函数图象可知， ， ，由一次函数图象可知： ， ，矛盾，故不符合； B．由二次函数图象可知， ， ，由一次函数图象可知： ， ，矛盾，故不符合； C．由二次函数图象可知， ， ，由一次函数图象可知： ， ，符合题意； D．由二次函数图象可知， ， ，由一次函数图象可知： ， ，矛盾，故不符合． 故选∶D． 10. 如图，抛物线与 轴交于，其对称轴为 ，结合图象下列结论：①；②；③；④若点，均在函数图象上，则；⑤若 为任意实数，则；⑥．其中正确的有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图像上点的性质，根据抛物线可知a和c，结合对称轴即判断c，即可判定①和②；根据已知可知当，，可判断③；由两点横坐标和对称轴的性质即可知函数值相等，可判断④；结合函数的最值即可得，判断⑤．根据对称轴直线可得出，把代入抛物线解析式可得出，把代入即可判断⑥. 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴ ，， ∵对称轴是直线 ， ∴，即， ∴，故①错误； 则，故②正确； ∵抛物线与x轴交于点，其对称轴是直线 ， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 则当，，故③错误； 由于点，关于直线 对称，若均在函数图象上，则，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴当 时，y取到最大值， ∴ 为任意实数，则，那么，，故⑤正确； ∵对称轴直线为 ， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，故⑥错误. ∴正确的有②④⑤，共3个． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若关于 的方程有两个相等的实数根，则 的值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，求解即可． 【详解】解： 关于 的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 12. 设方程的两个根为，那么的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】由题知， 因为方程的两个根为， 所以， 所以， 故答案为：． 13. 已知三点，，都在抛物线的图象上，则，，的大小关系为_____（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数解析式，得出抛物线的对称轴为直线 及开口向上，再根据A, B, C三点离对称轴的远近即可解决问题。 【详解】由题知，因为二次函数的解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线 ，且开口向上， 所以抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大． 因为A, B, C三个点在抛物线上， 则，且， 所以， 故答案为： 14. 如图， 是 的内接三角形，若，，则_____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和的性质．掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．，根据平行的性质求出，根据三角形内角和公式求出，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质求出，最后根据三角形内角和公式求出计算即可． 【详解】如图，连接 ，在线段 所对的优弧取一点P，连接， ． ，， ， 和 的半径， ， ， 在中，由三角形内角和公式，， 根据圆周角定理，， 根据圆内接四边形的性质，∵四边形内接于 ，， ， 在中，由三角形内角和公式， ． 故答案为：． 15. 如图，在 中，，将 绕点 顺时针旋转到的位置，使得点恰好落在 边上，则_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质得到，由等腰三角形的性质得到，根据旋转的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将 绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中， 为矩形内一点，连接，， ，，，，则的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后找到取得最小值时P所在的位置，然后根据勾股定理和圆的半径都相等，即可求得的最小值． 【详解】解：以 的中点O为圆心， 长为半径作圆，连接 交 于点，如图， ∵， ∴点P在圆上， ∴当点P在的位置时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、与圆有关的性质、最值问题，解答本题的关键是明确题意，找出取得最小值时P所在的位置． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得：，． 18. 马陵山藏兵洞位于新沂市马陵山镇，此洞冬暖夏凉弯弯曲曲，1967年开始由某部工程兵开凿、历时4年完成，洞有指挥室、机要处、水井等设施，作为军事防空洞．如图，已知主洞是由矩形和弓形组成，宽约4米（即），高约5米，侧墙的垂直高度约4米（即），求弧 所在 的半径长． 【答案】弧 所在 的半径为米 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，矩形的性质，勾股定理的应用掌握．垂径定理，矩形的性质是解题的关键． 设弧 所在 的半径长为 米，分别根据垂径定理和矩形的性质求出 ， 将用含x的代数式表示出来，在 中利用勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【详解】解：如图所示 为半径，， 米， 高为5米， 米， 米， 设 的半径长为 米，则米，米， 在中，由勾股定理得 ， 解得： ， 米． 答：弧 所在 的半径为米． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图： （1）请画出 关于原点 成中心对称的； （2）请画出 将绕原点 顺时针旋转 后得到的； （3）在（2）的基础上求出点 所经路径的长度． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用中心对称变换作图，利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据中心对称作出图形即可； （2）根据旋转作出图形即可； （3）根据弧长公式列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图：即为所求作的三角形． 【小问2详解】 解：如图：即为所求作的三角形． 【小问3详解】 弧的圆心角为 ，半径为 ， 弧的长度为， 故点 所经路径的长度为． 20. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：无论 为何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个根为，，且满足，求 的值． 【答案】（1） 证明： ， ，， ，  ， ， ，  ， ， ， 无论 为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）或1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）计算判别式的值，再利用配方法得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得到，，而，然后解关于 的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， ， ， ， ， 解得： ， 或1． 21. 跳跳杆是一种常见儿童玩具，结构如图甲所示，劲度系数较大的轻弹簧下端固定在支杆上，上端与脚踏相连，脚踏可以沿杆上下移动，儿童玩耍情境如图乙所示．已知自然状态下，弹簧的初始长度为，当儿童刚接触到脚踏将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到儿童的下落速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图1所示． （1）该儿童下落过程中，速度变化为_____________； （2）求出 与 的函数关系式； （3）当儿童的下落停止时，此时的弹簧长度是多少？ 【答案】（1）先增大后减小 （2） （3）此时的弹簧长度是48米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）根据图1速度变化得出结论； （2）根据图象用待定系数法求出函数解析式； （3）当时，解方程求出弹簧长度的值即可． 【小问1详解】 该儿童下落过程中，速度变化为先增大后减小 【小问2详解】 设， 把代入得， 解得：， ， 【小问3详解】 当时， 解得： （舍）， ， 答：此时的弹簧长度是48米． 22. 如图，四边形，，以 为直径作 ，经过点 ，交 于点 ， 为弧 的中点． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（ ）连接 ，由可得，进而得，得到，即得，得到 ，即可求证； （ ）连接，过 作于点 ，可得，，即得，又可证四边形为矩形，得到，即得到，得到，进而得到，即得，最后根据计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接 ， 为的中点， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的切线； 【小问2详解】 解：连接，过 作于点 ， 过圆心，于点 ， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 为直径， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 已知抛物线 （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线与 轴有两个交点，求 的取值范围； （3）设点，在抛物线上，若，求 的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线 （2） （3）当 时， 或；当 时， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）利用对称轴公式进行计算即可； （2）根据题意，得到，列出不等式进行求解即可； （3）根据对称性求出点 关于直线 的对称点为，分 和 两种情况，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由得 对称轴为直线 ； 【小问2详解】 解：当抛物线与 轴有两个交点时： 则： ， 解得： ； 【小问3详解】 点，对称轴为直线 点 关于直线 的对称点为， 当 时，由得：或 当 时，由得：． 24. 综合实践： 动手操作： 小明在学完旋转后，利用两个相同的含有 三角板进行旋转，让两个 的顶点放置在一起，取的中线 ，让绕点 任意旋转． 发现结论： 在旋转的过程中，发现线段 与 的位置存在平行的情况． 问题解决： （1）如图1，将绕点 顺时针旋转，请判断 与 平行吗？并说明理由； （2）当顺时针旋转一周时，还存在平行的情况吗？若有，请求出旋转的角度；若无，请说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）有，旋转角为 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结论：．延长 交 于点H．证明可得结论； （2）存在．如图2中，当时，旋转角为．利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 ； 理由：如图，延长 交 于点 ， ， 为的中线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 将绕点 顺时针旋转， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 当旋转角为时， ， 理由：如图2：延长 ， 交于点 ， 由（1）得， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ∴旋转角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $