精品解析：山西省晋中市太谷区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

太谷区2024-2025学年度第一学期期中质量监测试题（卷） 九年级数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程中，一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，据此进行判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，恰好互相垂直， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，两点间距离为， 故选：． 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得，然后求出的范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：． 4. 如图，与位似，点为位似中心，且为的中点，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，相似三角形，由与位似可得，由为的中点可得与的位似比为，即得与的相似比为，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握位似图形和相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与位似， ∴ ∵为的中点， ∴， 又∵点为位似中心， ∴与的位似比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， 故选：． 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 6. 如图，在菱形中，连接，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点E．再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径在上方画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，则的度数为（ ） A. 30° B. C. D. 15° 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可知，根据菱形的性质得到，，进而得到，，根据三角形内角和，依次求出、的度数即可， 本题考查了作垂线，菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：由作图可知， ∵菱形， ∴，， ∴，， ∴，， 故选：B． 7. 某区准备组织首届“篮羽杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），设邀请个球队参加比赛，由此可得方程，读懂题意，得到总场数与球队之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， 根据题意得：， 故选：． 8. 如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵镜子垂直于地面， ∴入射角等于反射角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确找出两个相似三角形是解题关键． 9. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚现将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为， 故选：． 10. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，于，证明得到，即可判断①；当时，点与点重合，不一定等于，即可判断②；根据正方形性质得，，推出，得到，，即可判断④；进而得到，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：如图，过作于，于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 综上，结论正确的序号有①③④， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点分线段近似于黄金分割（），已知，的长约为______．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的含义，点为线段的黄金分割点，可得，可得，计算后可得答案，掌握“若点C是线段的黄金分割点，可得”是解题的关键． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点（）， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 《周髀算经》中记载的方法“偃矩以望高”，是指将“矩”（两条边呈直角的曲尺，图中）的一边仰着放平，以此测量物体的高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由，可得，再根据即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 14. 某县开展老旧小区改造，年投入此项工程的专项资金为万元，年投入资金一共为万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为， 根据题意， 故答案为：． 15. 如图，是正方形的对角线，在上取一点，使得，连接，过点作，交于点，延长交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，的延长线交于，设，证四边形为平行四边形得，再证得，则，进而得，，再求出，即得，然后由得，据此求出即可求解． 【详解】解：过点作于，的延长线交于，如图所示， 设， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）． （3）（公式法）． （4）（配方法）． 【答案】（1）， （2）， （3） （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用因式分解法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）利用公式法解答即可； （）把移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化成完全平方式即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 17. 如图，在中，连接． （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） （2）猜想四边形是什么图形，并加以证明． 【答案】（1） 如图，直线即为所求． （2） 四边形是菱形． 证明：∵直线垂直平分线， ∴，，． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，菱形的性质，全等三角形的判定，利用全等三角形的性质证明边的等长是解题的关键． （1）分别以为圆心，以大于的等长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点做直线，交于E，交于F，交于点O，以此作图即可； （2）先根据平行四边形的性质证明，然后根据垂直平分线的性质证明，，接下来证，，最后根据四边相等的四边形是菱形来证明即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 18. 元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没・逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为，《飞驰人生2》表示为，《第二十条》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为，小丽同学的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 【答案】（1）9种 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，解决本题的关键是熟练掌握用列表法或树状图法求概率． （1）列表得出所有等可能的情况数即可； （2）根据表格列出恰好选择观看同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 画树状图如下： 可能出现的结果为：，它们出现的可能性相等，一共有9种． 答：所有可能出现的结果共有9种． 【小问2详解】 由表（或图）可以看出，小亮、小丽两名同学选择观看同一电影的情况有3种， 即． 小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影． 答：小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为． 19. 如图，在中，是高，矩形的顶点分别在上，在上，交于点，设，，，求矩形的面积． 【答案】矩形的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，由矩形的性质证明四边形，是矩形，根据矩形的性质得，由，设矩形的边长为，则，，由矩形的性质可知，则，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可，掌握矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形，是矩形， ∴， ∵， ∴设矩形的边长为，则，， ∵四边形形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴矩形的边长为，， ∴矩形的面积为． 20. 学校附近某水果店以每袋元的价格购进了一些真空包装的菠萝蜜，第一周以每袋元的价格销售了袋．第二周如果价格不变，预计仍可售出袋，该水果店经理决定让利顾客，打算降价销售，据调查发现：每袋菠萝蜜每降价元，水果店平均可多售出袋，但最低每袋要盈利元．若该水果店想通过销售这些菠萝蜜在两周内获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设第二周每袋降价元，根据题意列出方程求出的值即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二周每袋降价元， 由题意得，， 整理得，， 解得（不合，舍去），， ∵当时，， ∴符合题意， ∴第二周的单价每袋应是（元）， 答：第二周的单价每袋应是元． 21. 太谷鼓楼位于山西省晋中市太谷区旧城十字街中心，始建于明万历四十三年，是晋汾地区鼓楼建筑中的代表作品，鼓楼是太谷的象征，有风眼之称．某校数学兴趣小组决定采用如下方法来测量鼓楼的高度．如图，该小组成员选取与底端B在同一水平地面上的，两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔约为．从标杆后退到点处（即），从点处观察顶端处，使三点共线；从标杆后退到点处（即），从点处观察顶端处，使三点共线，其中点均在同一平面内．请根据上述测量数据，求鼓楼的高度． 【答案】鼓楼的高度为． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，设，则，由，，得，证明，得到，同理得到，进而建立方程求出的值，然后代入即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴，解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴鼓楼的高度为． 22. 阅读与思考 下面是小敏同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 年月日 对于几何图形，通常是从它的定义与表示、分类与性质、判定与应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以三角形为例，其定义、分类、性质、判定都通过它的边、角、中线、角平分线、高线等的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如邻等对补四边形． 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 目前．我们所认识的四边形，如梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是____________； 性质探究：在研究四边形的时候，我们知道四边形的问题往往转化为三角形的问题来研究．如图，在四边形中，，，连接，发现． 证明：…． 结论：邻等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角， 任务： （1）上述材料中，序号“”处所对应的内容为：____________； （2）补全材料中命题的证明过程； （3）如图，四边形中，，，，请直接写出的值． 【答案】（1）正方形； （2） 证明：过作于点，，交延长线于点，如图， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在平分线上， ∴平分； （3）． 【解析】 【分析】（）根据“邻等对补四边形”即可判断； （）过作于点，，交延长线于点，证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （）过作于点，，交延长线于点，则，四边形是矩形，由（）得平分，从而证明四边形是正方形，然后再证明，故有，得，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：由有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形， ∴梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是正方形， 故答案为：正方形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作于点，，交延长线于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， 由（）得平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定与性质，勾股定理，角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的值． 【答案】[操作发现]，；[深入探究] ；；[迁移探究]线段的长． 【解析】 【分析】[操作发现]由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； [深入探究]由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； [迁移探究]分当在上时和当在上时两种情况分析即可求解． 【详解】解：[操作发现] ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴直线与的夹角度数为， 故答案为：，； [深入探究] ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； [迁移探究] 如图，当在上时，连接，交于点， ∵，，四边形为菱形， ∴，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点三点共线， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当在上时，延长，交延长线于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， 由（）可得三点共线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得：， 综上可知：线段的长． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太谷区2024-2025学年度第一学期期中质量监测试题（卷） 九年级数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程中，一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点间距离为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 4. 如图，与位似，点为位似中心，且为的中点，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，连接，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点E．再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径在上方画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，则的度数为（ ） A. 30° B. C. D. 15° 7. 某区准备组织首届“篮羽杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（ ） A. B. C. D. 9. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚现将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是______． 12. 如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点分线段近似于黄金分割（），已知，的长约为______．（结果精确到） 13. 《周髀算经》中记载的方法“偃矩以望高”，是指将“矩”（两条边呈直角的曲尺，图中）的一边仰着放平，以此测量物体的高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为______． 14. 某县开展老旧小区改造，年投入此项工程的专项资金为万元，年投入资金一共为万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为，根据题意，可列方程为______． 15. 如图，是正方形的对角线，在上取一点，使得，连接，过点作，交于点，延长交于点．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）． （3）（公式法）． （4）（配方法）． 17. 如图，在中，连接． （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） （2）猜想四边形是什么图形，并加以证明． 18. 元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没・逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为，《飞驰人生2》表示为，《第二十条》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为，小丽同学的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 19. 如图，在中，是高，矩形的顶点分别在上，在上，交于点，设，，，求矩形的面积． 20. 学校附近某水果店以每袋元的价格购进了一些真空包装的菠萝蜜，第一周以每袋元的价格销售了袋．第二周如果价格不变，预计仍可售出袋，该水果店经理决定让利顾客，打算降价销售，据调查发现：每袋菠萝蜜每降价元，水果店平均可多售出袋，但最低每袋要盈利元．若该水果店想通过销售这些菠萝蜜在两周内获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 21. 太谷鼓楼位于山西省晋中市太谷区旧城十字街中心，始建于明万历四十三年，是晋汾地区鼓楼建筑中的代表作品，鼓楼是太谷的象征，有风眼之称．某校数学兴趣小组决定采用如下方法来测量鼓楼的高度．如图，该小组成员选取与底端B在同一水平地面上的，两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔约为．从标杆后退到点处（即），从点处观察顶端处，使三点共线；从标杆后退到点处（即），从点处观察顶端处，使三点共线，其中点均在同一平面内．请根据上述测量数据，求鼓楼的高度． 22. 阅读与思考 下面是小敏同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 年月日 对于几何图形，通常是从它的定义与表示、分类与性质、判定与应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以三角形为例，其定义、分类、性质、判定都通过它的边、角、中线、角平分线、高线等的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如邻等对补四边形． 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 目前．我们所认识的四边形，如梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是____________； 性质探究：在研究四边形的时候，我们知道四边形的问题往往转化为三角形的问题来研究．如图，在四边形中，，，连接，发现． 证明：…． 结论：邻等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角， 任务： （1）上述材料中，序号“”处所对应的内容为：____________； （2）补全材料中命题的证明过程； （3）如图，四边形中，，，，请直接写出的值． 23. 综合与实践 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $