精品解析：吉林省长春外国语学校2024-2025学年八年级上学期12月期末数学试题

长春外国语学校2024-2025学年第一学期期末考试 初二年级数学试卷 出题人：宋一枭 审题人：李萍 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页。全卷满分120分，考试时间为90分钟。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列线段、、的长为边，不能构成直角三角形的是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. 4. 寒假来临之际，某校计划组织同学们参观伪满皇宫博物馆，对于“你最想去伪满皇宫博物馆参观什么？”这一问题展开问卷调查，共收回1000份问卷，调查数据制成扇形统计图如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 最喜欢看“文物展品”的人数最多 B. 最喜欢看“文创产品”的人数占被调查人数的 C. 最喜欢看“布展设计”的人数不超过100 D. 统计图中“特效体验及其他”对应的圆心角是 5. 若将展开的结果中不含的一次项，则的值为（ ） A. 8 B. C. 0 D. 8或 6. 如图，点、在上，且，、，与交于点O．则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是，上动点，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 8. 如图，将一边长为的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为的正方形（其中）拼接在一起，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9 若，满足，则________． 10. 用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设______． 11. 若，则________． 12. 如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC＝18cm，BC＝16cm，则△BCE的周长为_____cm． 13. 某班征集运动会会徽遴选出甲，乙，丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，兴趣小组对全班同学进行问卷调查，若想知道喜欢不同图案的学生的占比，应选择________统计图． 14. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的有________． ①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④ 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 19. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个直角三角形，使它三边长都是有理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 21. 某数学兴趣小组为了了解本校学生对央视兔年春晚的《满庭芳·国色》四个中国色（桃红、群青、湘叶、凝脂）的喜爱情况，从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查（如图1），将相关数据绘制成两幅不完整的统计图（如图2、图3）． （1）本次调查抽取了________名学生； （2）在扇形统计图（图3）中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数为________； （3）将条形统计图（图2）补充完整； （4）若该校共有1500名学生，根据抽样调查的结果，则该校最喜欢凝脂的学生大约有多少名． 22. 【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】（3）若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 23. 如图，将长为，宽为长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． （1）通过两种不同方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ （2）根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 24. 如图，在中，，，，，动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒． （1）点到达点时，________秒；到时，________秒； （2）当时，求的值； （3）当点在边上（不包括点，），点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长春外国语学校2024-2025学年第一学期期末考试 初二年级数学试卷 出题人：宋一枭 审题人：李萍 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页。全卷满分120分，考试时间为90分钟。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是算术平方根与立方根，属于基础题型．理解算术平方根与立方根的含义是解决本题的关键． 首先求出的值，然后根据算术平方根的计算法则得出答案． 【详解】解：， 的算术平方根为：， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法与除法，积的乘方，合并同类项，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据各运算法则逐项计算判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意； B、，运算正确，符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 以下列线段、、的长为边，不能构成直角三角形的是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】A．∵，， ∴，故该选项不能构成直角三角形，符合题意． B．∵，， ∴，故该选项能构成直角三角形，不符合题意． C．∵，， ∴，故该选项能构成直角三角形，不符合题意． D．设，则， ∴，， ∴，故该选项能构成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，熟练利用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形是解答本题的关键． 4. 寒假来临之际，某校计划组织同学们参观伪满皇宫博物馆，对于“你最想去伪满皇宫博物馆参观什么？”这一问题展开问卷调查，共收回1000份问卷，调查数据制成扇形统计图如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 最喜欢看“文物展品”的人数最多 B. 最喜欢看“文创产品”的人数占被调查人数的 C. 最喜欢看“布展设计”的人数不超过100 D. 统计图中“特效体验及其他”对应的圆心角是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图的意义，理解扇形统计图中各个数量之间的关系是解本题关键． 根据扇形统计图中的相关数据逐项判断即可． 【详解】解：由题意得： A．最喜欢看“文物展品”的人数最多，占，说法正确，故本选项不符合题意； B．最喜欢看“文创产品”的人数占被调查人数的，说法正确，故本选项不符合题意； C．最喜欢看“布展设计”的人数为：（人），小于100人，说法正确，故本选项不符合题意； D．统计图中“特效体验及其他”对应的圆心角是：，原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 若将展开的结果中不含的一次项，则的值为（ ） A. 8 B. C. 0 D. 8或 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含的一次项，确定出的值即可． 【详解】解：原式， 由结果不含的一次项，得到， 解得：． 故选：A． 6. 如图，点、在上，且，、，与交于点O．则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段的和差即可判断A选项；利用“”即可证明，判断B选项；利用全等三角形的性质和平行线的判定，即可判断C、D选项． 【详解】解：， ， ，A选项正确； 在和中， ， ，B选项正确； ， ，， ， ，C选项不正确，D选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 7. 如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H．因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小． 【详解】解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中，，，， ． ， ， ∵， ∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长， 的值最小为． 故选：C． 8. 如图，将一边长为的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为的正方形（其中）拼接在一起，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，正确识图是关键，掌握完全平方公式：． 先证明，求出和的长，再根据面积和求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，得，，， ， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若，满足，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了代数式、幂的乘方、同底数幂除法的知识；首先将变形为，再利用幂的乘方、同底数幂除法的性质，将变形为，即可完成求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为：4． 10. 用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设______． 【答案】a2≤b2 【解析】 【分析】根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答． 【详解】用反证法证明“若则”的第一步是假设 故答案为 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值、二次根式非负性以及二元一次方程组及其解法，根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴ 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ 故答案为：． 12. 如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC＝18cm，BC＝16cm，则△BCE的周长为_____cm． 【答案】34 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质推出AE=BE，则C△BCE=BC+CE+BE=AC+BC，计算即可． 【详解】由中垂线的性质可知：AE=BE， 则C△BCE=BC+CE+BE=BC+CE+AE=AC+BC=18+16=34cm， 故答案为：34． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，能够灵活运用其性质是解题关键． 13. 某班征集运动会会徽遴选出甲，乙，丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，兴趣小组对全班同学进行问卷调查，若想知道喜欢不同图案的学生的占比，应选择________统计图． 【答案】扇形 【解析】 【分析】本题主要考查了统计图的选择，熟练掌握统计图的特点是解题的关键． 根据扇形统计图的意义，即可求解． 【详解】解：若要知道喜欢不同图案的学生的占比，应选择扇形统计图， 故答案为：扇形 ． 14. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的有________． ①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①根据题目中尺规作图的步骤即可判断出是的平分线；②利用直角三角形两锐角互余求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论；③通过角平分线的定义能够得出，则然后根据垂直平分线性质定理的逆定理即可得出结论；④根据含的直角三角形的性质得出，则，又因为和高相同，则和面积之间的关系可求． 【详解】解：由题干可知，是的平分线，故①正确； ， ， 是的平分线， ， ，故②正确； ， ， ∴点在的中垂线上，故③正确； ， ， ∵和高相同， ∴，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，角平分线的定义，尺规作角平分线等知识点，掌握等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，角平分线的定义是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）利用幂的运算法则计算后，合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，灵活运用提公因式法、公式法因式分解是关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）利用提公因式法因式分解； 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式的化简求值．利用乘法公式和单项式乘以多项式法则展开，合并同类项得到化简结果，把字母的值代入求解即可． 【详解】解： 当，时， 原式 18. 如图，中，，点D、E、F分别在边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证即可求证； （2）根据，结合全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴是等腰三角形 【小问2详解】 解：∵ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推导是解题关键． 19. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索长为尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：， ∴秋千绳索长为尺． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可； （3）利用勾股定理，找长为、和的线段，画三角形即可； 【详解】解：（答案不唯一） （1）图①（2）图②（3）图③ 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理公式和构造直角三角形是解题的关键． 21. 某数学兴趣小组为了了解本校学生对央视兔年春晚的《满庭芳·国色》四个中国色（桃红、群青、湘叶、凝脂）的喜爱情况，从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查（如图1），将相关数据绘制成两幅不完整的统计图（如图2、图3）． （1）本次调查抽取了________名学生； （2）在扇形统计图（图3）中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数为________； （3）将条形统计图（图2）补充完整； （4）若该校共有1500名学生，根据抽样调查的结果，则该校最喜欢凝脂的学生大约有多少名． 【答案】（1）50 （2） （3）图见详解 （4）360 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提． (1)用A的人数除以它对应的百分比可得调查总人数； (2)用乘B的人数所占比例即可； (3)用调查人数乘可得C的人数，进而得出D的人数，再补全条形统计图即可； (4)用总人数乘以样本中D人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：（名）， 故本次调查抽取了50学生； 故答案：50； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：C的人数为：（人）， D的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问4详解】 解：（名）， 即该校最喜欢凝脂的学生大约有360名． 22. 【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】（3）若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）16 4 （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查配方法，熟练掌握完全平方公式的结构特征，是求解本题的关键． （1）根据完全平方式的特征配方求解． （2）先配方，再求最小值． （3）作差后配方比较大小． 【详解】（1）； 故答案为：16，4； （2）∵， 且， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为2； （3），理由如下： ∵， ∴． 23. 如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． （1）通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ （2）根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】（1）； （2）； ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全平方公式的几何意义，解决本题的关键是根据图形的面积关系得到两个完全平方公式之间的关系，再利用这个关系解决问题． 根据图形中的阴影面积可以用大正方形的面积减去长方形的面积表示为，也可根据小长方形的摆放位置用代数式表示出阴影正方形的边长，利用正方形的面积公式直接表示出阴影的面积为，根据两种表示方法表示的是同一个图形的面积，可得； 由可知，把和代入计算即可求出的值； 从图中两个正方形的位置可以得出，从而可得，根据中得到的公式可知，两边同时开方求出的值，即可得到阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：由图可知：阴影正方形的边长为， 阴影的面积为：， 阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为、宽为的长方形的面积， 阴影的面积也可以表示为：， 可得到关于，的等量关系为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由可知， 当，时， ， 故答案为：； 解：如下图所示， 四边形和四边形为正方形，且边长分别为和， ，， ， ， 由可知， 或(舍去)， ． 24. 如图，在中，，，，，动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒． （1）点到达点时，________秒；到时，________秒； （2）当时，求值； （3）当点在边上（不包括点，），点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值． 【答案】（1）3，7 （2）或6 （3）或5 【解析】 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，根据题意依次计算即可． （2）分点P在上和点P在上，两种情况，建立等式计算即可． （3）分别根据点或点在的角平分线上两种情况，根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案， 【小问1详解】 解：动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，且，， ∴点到达点时，秒,；到时，, 故答案为：3，7； 【小问2详解】 解：∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止， ∴ 当点P在上时， ∴ ∵ ∴ ∴； 当点P在上时，， ∵ ∴ ∴， ∴或6； 【小问3详解】 解：点或点到边和边的距离相等时，点或点在的角平分线上， 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点Q作于点G， 得，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点作于点H， 此时，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴或． 【点睛】 本题考查了勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，分类思想，熟练掌握勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$