精品解析： 湖南省永州市道县2024-2025学年九年级上学期第二次学情监测数学试题

2024年下期第二次学情监测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡 上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 已知函数的图象过点，则该函数的图象在（ ） A. 第二、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第三、四象限 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在一次中考模拟考试中，随机抽取了部分学生的数学成绩作为样本，成绩在100分以上的频率为0.15，于是可估计全校500名参加中考模拟考试的学生中数学成绩在100分以上学生人数为（ ） A. 150人 B. 75人 C. 50人 D. 15人 4. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 7. 下列各组中的四条线段，是成比例线段的是（ ） A. 3cm，6cm，12cm，18cm B. 2cm，3cm，4cm，5cm C. cm，cm，cm，5cm D. 5cm，2cm，3cm，6cm 8. 如图，A为函数图象上一点，垂直x轴于B点，若面积为3，则k的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 不能确定 9. 如图，若点P为的边上一点（），下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 已知一元二次方程有一个根为1，则的值为__． 12. 体育老师要从甲、乙两名学生中，选拔一名参加市阳光体育立定跳远比赛，通过10次立定跳远测试，得到他们的平均成绩均为，方差分别为，那么体育老师选派参加比赛的学生是__________．（填“甲”或“乙”） 13. 如图，在中，，，若，则______． 14. 如图，在中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA＝，则BC的长为_． 15. 《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______． 16. 在函数（为常数）的图像上有三点，，，则函数值的大小关系为______．（用表示） 17. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 18. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形'与正方形的面积之比为，，则n的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，后求值：，其中． 21. “走进数学世界，感受完美生活．”为增进全体学生对数学文化的了解，临海学校组织了趣味数学知识竞赛，随机抽取若干名学生的成绩，对数据进行整理和分析，现将抽取的学生成绩用（分）表示，并将调查数据分成四组：，，，，其中组分数段内，所有学生得分各不相同，组学生的成绩分别为：86、86、88、86、83、86． 根据调查数据绘制了以下不完整的统计图： 根据图中信息回答下列问题： （1）本次共抽查了 名学生，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，组所对应的圆心角的度数为 ； （3）竞赛成绩超过80分视作优秀，若该校有2400名学生，根据抽样调查结果，估计该校有多少名学生获得优秀？ 22. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树和教学楼的高，先在A处用高米的测角仪测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上． （1）求古树的高． （2）求教学楼的高．（参考数据：，） 23. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 24. 眼下正是道州脐橙成熟上市的季节，今年道县21.6万亩脐橙迎来了大丰收．两年前道州脐橙的种植面积是15万亩，假设这两年种植面积的平均增长率相同． （1）求这两年道县脐橙种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，道县某脐橙基地每天能售出2000千克脐橙，每千克降价1元，每天可多售出500千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，若每千克降价元，则每千克利润为元，该基地某天获利了3375元，则当天每千克降价了多少元？ 25. 反比例函数的图象与一次函数图象交于，两点． （1）求k与b的值； （2）如图，直线交x轴于点C，交y轴于点D，若E为的中点，求的面积； （3）请直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量x的取值范围． 26. 如图，正方形边长为，以边向外作等边，连接交于点，交于点，点是线段上一动点，连接、． （1）求的度数； （2）若平分，求证：； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期第二次学情监测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡 上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 已知函数的图象过点，则该函数的图象在（ ） A. 第二、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，先求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴， ∴函数的图象在二、四象限， 故选：B． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 内项之积等于外项之积，依据比例的基本性质进行计算，即可得出结论． 【详解】解：若，则， A．由，可得，故本选项符合题意； B．由，可得，故本选项不合题意； C．由，可得，故本选项不合题意； D．由，可得，故本选项不合题意； 故选：A． 3. 在一次中考模拟考试中，随机抽取了部分学生的数学成绩作为样本，成绩在100分以上的频率为0.15，于是可估计全校500名参加中考模拟考试的学生中数学成绩在100分以上学生人数为（ ） A. 150人 B. 75人 C. 50人 D. 15人 【答案】B 【解析】 【分析】由样本中成绩在100分以上的频率乘全校参加中考模拟考试的学生总人数即可． 【详解】0.15×500=75（人） 故选B． 【点睛】本题考查由样本估计总体．为基础题，考查学生数据处理的能力． 4. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 5. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 利用锐角三角函数定义判断即可． 【详解】解：在中， ， 在中， ， ∵ ， ， ， 在中，， 故选：D． 6. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， 故选：C． 7. 下列各组中的四条线段，是成比例线段的是（ ） A. 3cm，6cm，12cm，18cm B. 2cm，3cm，4cm，5cm C. cm，cm，cm，5cm D. 5cm，2cm，3cm，6cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段．根据比例线段的概念，利用“最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等”逐项判断即可解答． 【详解】解：A、∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； B、∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C、∵，∴四条线段成比例，符合题意； D、∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，A为函数图象上一点，垂直x轴于B点，若面积为3，则k的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数的几何意义． 根据反比例函数中比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数性质确定得值． 【详解】解：∵轴， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，若点P为的边上一点（），下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．根据相似三角形的判定条件求解即可． 【详解】解∶A．添加条件，再由，可以判断，故A不符合题意； B．添加条件，再由，可以判断，故B不符合题意； C．添加条件，再由，可以判断，故C不符合题意； D．添加条件，再由，不可以判断，故D符合题意； 故选：D． 10. 如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断． ②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断． ③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断． ④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC， ∴∠DCB+∠ABC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠DCB=120°， ∵EC平分∠DCB， ∴∠ECB=∠DCB=60°， ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°， ∴△ECB是等边三角形， ∴EB=BC， ∵AB=2BC， ∴EA=EB=EC， ∴∠ACB=90°， ∵OA=OC，EA=EB， ∴OE∥BC， ∴∠AOE=∠ACB=90°， ∴EO⊥AC，故①正确， ∵OE∥BC， ∴△OEF∽△BCF， ∴ ， ∴OF=OB， ∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误， 设BC=BE=EC=a，则AB=2a，AC=a，OD=OB=a， ∴BD=a， ∴AC：BD=a：a=：7，故③正确， ∵OF=OB=a， ∴BF=a， ∴BF2=a2，OF•DF=a• a2， ∴BF2=OF•DF，故④正确， 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 已知一元二次方程有一个根为1，则的值为__． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，把把代入方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：一元二次方程有一个根为1， 把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 12. 体育老师要从甲、乙两名学生中，选拔一名参加市阳光体育立定跳远比赛，通过10次立定跳远测试，得到他们的平均成绩均为，方差分别为，那么体育老师选派参加比赛的学生是__________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】由甲，乙的平均成绩均为，方差分别为，再结合方差的含义可得答案． 【详解】解： 甲，乙的平均成绩均为，方差分别为， 乙的成绩比甲的成绩要稳定， 所以体育老师选派参加比赛的学生是乙． 故答案为：乙 【点睛】本题考查的是利用平均数与方差作决策，掌握平均数与方差的含义是解题的关键． 13. 如图，在中，，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键根据，得，可得，进行计算，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA＝，则BC的长为_． 【答案】8 【解析】 【分析】根据AC及cosA求出AB，根据勾股定理求出BC. 【详解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝， ∴cosA＝， ∴AB＝10， ∴BC＝． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角函数的定义和勾股定理．解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用． 15. 《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作于，的延长线交于，由得出，再由相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，作于，的延长线交于， ， ∵，， ∴，， ∴， 由题意可得：，，， ∴ ∴， 故答案为：15． 16. 在函数（为常数）的图像上有三点，，，则函数值的大小关系为______．（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据题意，则，可得反比例函数函数图象经过第二，四象限，在每一象限内随的增大而增大，进行解答，即可． 【详解】解：∵ ∴反比例函数函数图象经过第二，四象限，在每一象限内随的增大而增大， ∵点，在第二象限， ∴， ∴， ∵点在第四象限 ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 18. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形'与正方形的面积之比为，，则n的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、赵爽“弦图”等知识，设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，即， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴， ∴解得． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊值三角函数值及实数的运算，熟练掌握特殊值三角函数值及实数的运算是解题的关键．根据特殊值三角函数值及实数的运算法则，即得答案． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，后求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ； 把代入得：原式． 21. “走进数学世界，感受完美生活．”为增进全体学生对数学文化的了解，临海学校组织了趣味数学知识竞赛，随机抽取若干名学生的成绩，对数据进行整理和分析，现将抽取的学生成绩用（分）表示，并将调查数据分成四组：，，，，其中组分数段内，所有学生得分各不相同，组学生的成绩分别为：86、86、88、86、83、86． 根据调查数据绘制了以下不完整的统计图： 根据图中信息回答下列问题： （1）本次共抽查了 名学生，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，组所对应的圆心角的度数为 ； （3）竞赛成绩超过80分视作优秀，若该校有2400名学生，根据抽样调查结果，估计该校有多少名学生获得优秀？ 【答案】（1）20， 补全条形统计图； （2）54 （3）估计该校有1800名学生获得优秀 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体： （1）根据A组分数段人数除以所占比例即可得到调查总人数，再求出C组人数即可补全条形统计图； （2）用乘以C组所占比例即可求出组所对应的圆心角的度数； （3）求出样本中优秀所占比例，再乘以2400即可得出结论． 【小问1详解】 解：本次共抽查的人数为：（人）， C组人数为：（人）， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：C组人数所占比例为：， C组所对应的圆心角的度数为， 故答案为：54； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校有1800名学生获得优秀． 22. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树和教学楼的高，先在A处用高米的测角仪测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上． （1）求古树的高． （2）求教学楼的高．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，得，即可得出结果； （2）设，则，，证明是等腰直角三角形，得，再列关于的一元一次方程即可得到结果． 【小问1详解】 解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：古树的高为米． 【小问2详解】 解：在中，， 设，则，， 在中，， 是等腰直角三角形， ，即， 解得：， ∴， ∴ 答：教学楼的高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的知识，解题是掌握相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据相似三角形的判定，平行四边形的性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，根据，等量代换，根据等边对等角，得到，再根据三角形的内角和为，即可； （2）根据，得到，再根据等边对等角，可得，根据相似三角形的判定，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 眼下正是道州脐橙成熟上市的季节，今年道县21.6万亩脐橙迎来了大丰收．两年前道州脐橙的种植面积是15万亩，假设这两年种植面积的平均增长率相同． （1）求这两年道县脐橙种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，道县某脐橙基地每天能售出2000千克脐橙，每千克降价1元，每天可多售出500千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，若每千克降价元，则每千克利润为元，该基地某天获利了3375元，则当天每千克降价了多少元？ 【答案】（1） （2）当天获利3375元，则售价降低了元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年道县脐橙种植面积的平均增长率为x，根据两年前道州脐橙的种植面积是15万亩，今年是21.6万亩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）每千克降价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设这两年道县脐橙种植面积的平均增长率为x， 根据题意得， 解得（不合题意，舍去）， 答：这两年道县脐橙种植面积的平均增长率是； 【小问2详解】 解：每千克降价y元，则每天可售出千克， 根据题意，得， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：当天获利3375元，则售价降低了元． 25. 反比例函数的图象与一次函数图象交于，两点． （1）求k与b的值； （2）如图，直线交x轴于点C，交y轴于点D，若E为的中点，求的面积； （3）请直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式、两函数的交点问题和函数的图象等知识点，能求出两函数的解析式是解题的关键，用了数形结合思想． （1）把点的坐标代入函数解析式，即可求出答案； （2）根据一次函数的解析式，分别求出三点，再由中点坐标公式，求出点坐标，由求值即可； （3）根据图象，得出反比例函数图象位于一次函数图象上方部分的横坐标的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数中， 得， 将代入一次函数得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，和， 联立得， 整理得， 解得，， ∴， 当时，一次函数， 当时，得， 解得， ∴， ∴，即， ∴ ； 【小问3详解】 解：由（2）可知，反比例函数的图象与一次函数图象交于和两点， 当反比例函数值大于一次函数值时，即反比例函数图象位于一次函数图象上方， 此时或． 26. 如图，正方形边长为，以边向外作等边，连接交于点，交于点，点是线段上一动点，连接、． （1）求的度数； （2）若平分，求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，连接， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， ，即， ， ； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得：，，根据等边三角形的性质可得：，，推出，，得到，即可求解； （2）连接，得到，推出，结合平分，可推出，证明，得到，结合，即可证明； （3）连接交于点，则，推出，在中，，得到，再根据勾股定理求出，，得到，，分两种情况：当点在之间时，得到，证明，根据相似三角形的性质求解即可；当点在之间时，，即点为中点，作于点，可得为中位线，得到，，推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， 又是等边三角形 ，， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接交于点，则， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ，， ①如图，当点在之间时， ，， ， 又， ， ，即， 解得：， ②如下图，当点在之间时，，即点为中点， 作于点，可得为中位线， ，， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， 故的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，并灵活运用相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $