精品解析：天津河东区2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题

天津河东区2024-2025学年初三上学期期末试卷 九年级数学 本试卷分为第 I 卷 （选择题）、第II 卷 （非选择题） 两部分．第 I 卷为第 1 页至第 3 页， 第 II 卷为第 4 页至第 8 页．试卷满分 120 分．考试时间 100 分钟．答卷前， 请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在 “答题卡” 上， 并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时， 务必将答案涂写在 “答题卡” 上， 答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利! 第 I 卷 注意事项： 1． 每题选出答案后，用2B把 “答题卡” 上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号的信息点． 2． 本卷共 12 题， 共 36 分． 一、选择题 （本大题共 12 小题， 每小题 3 分， 共 36 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数 的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标， 其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 8. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 10. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线分别与弧交于点，与线段交于点，若测出，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数 的图象经过点，对称轴为直线 ． 对于下列结论：① ；② ；③多项式 可因式分解为 ；④当 时，关于 的方程 无实数根．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 第 II 卷 注意事项： 1． 用黑色字迹的签字笔将答案写在 “答题卡” 上（作图可用 2B 铅笔）． 2． 本卷共 13 题， 共 84 分． 二、填空题 （本大题共 6 小题， 每小题 3 分， 共 18 分） 13. 一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为____________． 14. 已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为_____． 15. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 16. 某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡m（常数）张，求这个小组共有同学x个．根据题中条件，列出关于x的方程为：____________________． 17. 如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ． 若 ． （1）当 时， 的值为_____； （2） 的最小值为_____． 18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，圆上的点 均在格点上． （1） 的面积为_____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出 外接圆的圆心 ，内切圆圆心 ，并简要说明圆心的位置是如何找到的（不要求证明）_____ 三、解答题 （本大题共 7 小题， 共 66 分． 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解下列方程： （1） ； （2） ． 20. 如图，在正方形 中， ，对角线 与 相交于点 ，点 在线段 上 （与端点不重合），线段 绕点 逆时针旋转 到 的位置，点 恰好落在线段 上，过点F作于点H． （1）求证： （2）若 ，求 的值． 21. 已知四边形是的内接四边形，是的直径， （1）如图①，连接和，若，求的度数； （2）如图②，连接和，若，求的度数． 22. 如图，分别与切于点．连接并延长，分别与交于点．过点作于点，于点．若，，求的半径． 23. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在 0.4 吨至 3.5 吨之间时，销售额 （万元） 与销售量 （吨）的函数图象如图所示； 成本 （万元） 是关于销售量 （吨）的二次函数． 根据题意， 完成下列问题： （1）销售额 （万元）关于销售量 （吨）的函数解析式为_____， 其中自变量范围是_____； （2）填表： 销售量 （吨） 0.4 05 0.6 1 2 3 3.5 成本 （万元） 1.76 1.75 1.76 2 _____ _____ _____ _____ （3）当成本最低时，销售产品所获利润是_____万元； （4）当销售量_____吨时，可获得最大利润_____万元．（提示： 利润=销售额一成本） 24. 在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 在 轴的正半轴上， ， 点 为 的中点． 把 绕点 逆时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ． （1）如图①，点 坐标为_____，点 的坐标为_____； （2）如图②， 与 交于点 ，当 轴时，求点 的坐标； （3）连接 是 的中点，连接 ． 请直接写出 的取值范围． 25. 已知二次函数 （b，c为常数） 的图像经过点 ，对称轴为直线 ． （1）求二次函数的最小值； （2）若点 向上平移 2 个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰好落在 的图像上，求的值： （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津河东区2024-2025学年初三上学期期末试卷 九年级数学 本试卷分为第 I 卷 （选择题）、第II 卷 （非选择题） 两部分．第 I 卷为第 1 页至第 3 页， 第 II 卷为第 4 页至第 8 页．试卷满分 120 分．考试时间 100 分钟．答卷前， 请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在 “答题卡” 上， 并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时， 务必将答案涂写在 “答题卡” 上， 答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利! 第 I 卷 注意事项： 1． 每题选出答案后，用2B把 “答题卡” 上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号的信息点． 2． 本卷共 12 题， 共 36 分． 一、选择题 （本大题共 12 小题， 每小题 3 分， 共 36 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标为； 故选：B． 2. 二次函数 的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．熟练掌握完全平方式的最小值，是解题的关键． 根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值． 【详解】∵二次函数中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 即的最小值为3． 故选：D． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 4. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标， 其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意； C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意； D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 8. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 9. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 10. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线分别与弧交于点，与线段交于点，若测出，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意可得直线垂直平分， ∴圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为， 则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故选：C． 11. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，故A结论错误，不符合题意； ， ， ， ∴．故B结论正确，符合题意； 在中，， ， ， ∴与不垂直．故C结论错误，不符合题意； 在中，， ， ∴．故D结论错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 12. 已知二次函数 的图象经过点，对称轴为直线 ． 对于下列结论：① ；② ；③多项式 可因式分解为 ；④当 时，关于 的方程 无实数根．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据抛物线图象经过点，对称轴为直线 可得出，，结合，即可判定；②由①中即可判断；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点为，即可得到；④将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：∵二次函数 的图象经过点，对称轴为直线 ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ，， ，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵二次函数 的图象经过点，对称轴为直线 ， 二次函数与轴的另一个交点为， 多项式，故③错误； 对称轴为直线 ， ∴当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 第 II 卷 注意事项： 1． 用黑色字迹的签字笔将答案写在 “答题卡” 上（作图可用 2B 铅笔）． 2． 本卷共 13 题， 共 84 分． 二、填空题 （本大题共 6 小题， 每小题 3 分， 共 18 分） 13. 一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球， ∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 14. 已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键. 先根据根与系数的关系得到，，然后整体代入即可． 【详解】解：方程 的两根分别为 ，， ，， ； 故答案为： 15. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 16. 某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡m（常数）张，求这个小组共有同学x个．根据题中的条件，列出关于x的方程为：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个小组的同学共有人，则每人需送出张新年贺卡，根据全组共送贺卡m张，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设这个小组的同学共有人，则每人需送出张新年贺卡， 依题意得：． 故答案为：． 17. 如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ． 若 ． （1）当 时， 的值为_____； （2） 的最小值为_____． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形中的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的性质，正确做出辅助线构造全等三角形． （1）过点作于，交于，由，，求出，可得出，，再根据勾股定理计算即可； （2）连接，将绕逆时针旋转得，连接，证明，得，知的运动轨迹是以点为圆心，为半径的弧，求出，，根据，即可得的最小值． 【详解】解：（1）过点作于，交于，如图： ，， ， 是正方形边的中点，， ， ， 四边形是矩形， ，同理， ，， ； 故答案为：； （2）连接，将绕逆时针旋转得，连接，如图： ，， ， 共线， 由旋转性质得，， ， ， ， 的运动轨迹是以为圆心，1为半径的弧， ，， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为： ． 18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，圆上的点 均在格点上． （1） 的面积为_____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出 外接圆的圆心 ，内切圆圆心 ，并简要说明圆心的位置是如何找到的（不要求证明）_____ 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，解题的关键是正确作出图形． （1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （2）分别作出线段的垂直平分线交于点O，点O即为的外接圆的圆心，分别作出的角平分线交于点K，点K即为的内心． 【详解】解：（1）的面积． 故答案为：； （2）如图，点O，点K即为所求； 方法：取格点M，N作直线交于点J，取格点E，F，连接交网格线于点Q，取的中点P，作直线交直线于点O，交于点L，连接，交于点K，点O，点K即为所求． 故答案为：取格点M，N作直线交于点J，取格点E，F，连接交网格线于点Q，取的中点P，作直线交直线于点O，交于点L，连接交于点K，点O，点K即为所求． 三、解答题 （本大题共 7 小题， 共 66 分． 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解下列方程： （1） ； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用公式说法求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ∴ ∴ ， ． 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 20. 如图，在正方形 中， ，对角线 与 相交于点 ，点 在线段 上 （与端点不重合），线段 绕点 逆时针旋转 到 的位置，点 恰好落在线段 上，过点F作于点H． （1）求证： （2）若 ，求 的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据，得，证明是等腰直角三角形，得，进而根据勾股定理可以解决问题． 【小问1详解】 证明： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， 由旋转得： ， ， ， 和 中， ； 【小问2详解】 解：∵ ， ， 四边形 是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，旋转的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 21. 已知四边形是的内接四边形，是的直径， （1）如图①，连接和，若，求的度数； （2）如图②，连接和，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出，再结合得出度数，最后利用圆内接四边形的性质即可求出的度数； （2）根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆周角定理得出，再结合图形计算即可解答． 【小问1详解】 解：是的直径， ， 又， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 的度数为． 【小问2详解】 解：四边形是的内接四边形， ， 又， ，即， 是的直径， ， ， ， 的度数为． 22. 如图，分别与切于点．连接并延长，分别与交于点．过点作于点，于点．若，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，根据分别与切于点，得出，证明，得出，从而证明四边形为正方形，得出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理求出，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 分别与切于点， ． ∵， ， ， 又， ， ． 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， ， 在中，． ， ， ， 在中，， ， ， 的半径为． 【点睛】该题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 23. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在 0.4 吨至 3.5 吨之间时，销售额 （万元） 与销售量 （吨）的函数图象如图所示； 成本 （万元） 是关于销售量 （吨）的二次函数． 根据题意， 完成下列问题： （1）销售额 （万元）关于销售量 （吨）的函数解析式为_____， 其中自变量范围是_____； （2）填表： 销售量 （吨） 0.4 0.5 0.6 1 2 3 3.5 成本 （万元） 1.76 1.75 1.76 2 _____ _____ _____ _____ （3）当成本最低时，销售产品所获利润是_____万元； （4）当销售量是_____吨时，可获得最大利润_____万元．（提示： 利润=销售额一成本） 【答案】（1），； （2）4，8，10.75， （3）0.75 万元 （4）3 ， 7 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． （1）设，用待定系数法求解即可； （2），用待定系数法求出函数解析式即可求解； （3）利用二次函数的性质求解即可； （4）设销售利润为w，得出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意，得该函数图象过点，， ∴， 解得， ∴， 由题意知，自变量x的取值范围是． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据表格及二次函数的对称性可得，该二次函数图形的顶点为， 设，把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：4，8，10.75，； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，成本最小， 此时万元， 万元， 万元， 故答案为：0.75； 【小问4详解】 解：设销售利润为w，由题意，得 ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w取得最大值7． 即当销售量是3吨时，可获得最大利润7万元． 故答案为：3，7． 24. 在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 在 轴的正半轴上， ， 点 为 的中点． 把 绕点 逆时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ． （1）如图①，点 坐标为_____，点 的坐标为_____； （2）如图②， 与 交于点 ，当 轴时，求点 的坐标； （3）连接 是 的中点，连接 ． 请直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知、根据直角三角形中的边角关系可得∶，从而得到点B的坐标；由已知“点C为的中点可得点C的坐标； （2）由已知、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知∶，得是等边三角形，由旋转知∶、，由已知、根据“平面内，如图一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”知∶轴，设交y轴于点E、由直角三角形中的边角关系得，从而得到，在中，由边角关系得到，即可得出点D的坐标； （3）取的中点，连接，则是的中位线，从而得到，进而可得∶在的旋转过程中点P在以点M为圆心、为半径的圆上，从而可得∶当点P在与的交点处时，的值最小，为；当点P在M与的交点处时，的值最大，为，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：点 ， ， ， ， 点 在 轴的正半轴上， ， 点 为 的中点， ，即； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设与轴的交点为E， ， ， 点 为 的中点， ， 是等边三角形， 由旋转的性质可知：， ，， 轴， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：取的中点，连接，如图： 则， 点是的中点， 是的中位线 ， 在的旋转过程中，点在以点为圆心、为半径的圆上， 当点在与的交点处时，的值最小，为； 当点在与的交点处时，的值最大，为． 的取值范围是 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质，旋转的性质、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质及解直角三角形的相关知识等，综合性强，有一定难度，正确找到动点的运动轨迹是解题的关键。 25. 已知二次函数 （b，c为常数） 的图像经过点 ，对称轴为直线 ． （1）求二次函数的最小值； （2）若点 向上平移 2 个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰好落在 的图像上，求的值： （3）当时，二次函数最大值与最小值的差为，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，待定系数法求二次函数的解析式，点的平移，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再把把代入，求出，结合开口方向以及对称轴，得出二次函数的最小值是，即可作答． （2）先得出平移后的点为．再代入，求出，即可作答． （3）根据当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则要把进行分类讨论，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线为． 又∵图像经过点 ∴把代入， ． 解得， 抛物线为， 则抛物线的开口向上，在对称轴时，有最小值， 把代入，解出， 即当时，可得二次函数的最小值为． 【小问2详解】 解：点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， 平移后的点为． 又∵在函数上 ， ． 或（舍去）． ， 【小问3详解】 解：∵当 时，二次函数的最大值与最小值的差为， ∴当时， 则把代入，得出， 则把代入，得出， 最大值与最小值的差为 ． ，不符合题意，舍去． 当时， 则把代入，得出， 则把代入，得出， 则把代入，得出， 最大值与最小值的差为，符合题意． 当时， 则把代入，得出， 则把代入，得出， 则最大值与最小值的差为， 解得或，不符合题意． 综上所述，的取值范围为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$