精品解析：江苏省镇江市丹徒区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

初中生自主学习能力专项评价样卷 八年级数学 （本卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．每题只有一个正确选项．请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 数学在建筑美学中扮演着重要的角色，下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C D. 3. 如图，，，则度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 35° D. 40° 4. 在下列实数中：，0，，，，，无理数的个是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知的三条边分别为、、，三个内角分别为、、，则满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 6. 如图，点，在上，，，下列5个条件中选择一个条件，①；②；③；④；⑤，能够使得的条件个数为（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在等边中，，点在上，且，是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，若使点恰好落在上，记该点为，则线段的长是（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 3 8. 如图，四边形中，，在、上分别有一动点、，当周长最小时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9. 小明的体重约为，如果精确到，其结果为______． 10. 最接近的整数是________． 11. 等腰三角形两边长为3和6，则它的周长为______． 12. 如图，直角中，，，，边的垂直平分线交于，则的面积是______． 13. 若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是______． 14. 如图，在中，为平分线，于，于，，，则______． 15. 如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积 __________． 16. 把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，．则重叠部分的周长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，，，三点共线，于点，于点，，且． （1）求证： （2）若，则______． 19. 如图，在中，，的垂直平分线交于点交于，且，求的度数． 20. （1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 21. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）当______时，点运动到的垂直平分线上？ （2）出发2秒后，的周长＝______． （3）为何值时，点运动到的角平分线上？ 22. 随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． （1）汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ （2）若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 23. 勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题： （1）填空：______°，______（用含字母代数式来表示）； （2）请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 24. 发现问题】 小红在做题时遇到了下面的问题，请你帮小红完成下面的证明． （1）如图①，在和中，，，和的周长都等于12．求证：． 【提出问题】 小红于是想知道：两个直角三角形若满足一组直角边对应相等，并且周长也相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 如图②，在和中，，，和的周长相等． 求证：． 【解决问题】 下面是小红对这个问题的探究过程． （2）根据小红的探究，请将下列过程补充完整； 设，的周长＝的周长＝，． 在中，根据勾股定理，得关于的方程______． 解得；同理可得．由此可得．又，根据______，可以知道． 小红进一步思考，除了可以用上面严谨的推理过程验证自己的猜想，也可以模仿教科书里利用“尺规作图”的方式来验证； 小红在作图时遇到了困难，偶然的机会，她阅读到下面方框的材料，受到了启发． 如图③，在和中，分别延长，至，，使得，，连接，． （3）如图④，已知线段，．用直尺和圆规求作一个，使，，的周长为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中生自主学习能力专项评价样卷 八年级数学 （本卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．每题只有一个正确选项．请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根的定义“如果一个数的平方等于给定的数，那么这个数就被称为给定数的平方根”，掌握了以上知识是解题的关键； 本题根据平方根的定义和性质，即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴的平方根是； 故选：B． 2. 数学在建筑美学中扮演着重要的角色，下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项B、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项A的图形能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 3. 如图，，，则度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 35° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．根据全等的性质得到，然后根据等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 4. 在下列实数中：，0，，，，，无理数的个是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根、立方根，先化简，再结合无限不循环小数即为无理数，即可作答． 详解】解：依题意，， ，都是无理数， ∴无理数的个数是2个， 故选：B 5. 已知的三条边分别为、、，三个内角分别为、、，则满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和性质以及勾股逆定理，如果选项是边的条件，则运用勾股逆定理来验证，如果选项是角的条件，则运用内角和180度来列式计算，即可作答． 【详解】解：A、∵，则是直角三角形，故该选项是不符合题意； B、∵，则，则是直角三角形，故该选项是不符合题意； C、∵， ∴设，那么，则，则不是直角三角形，故该选项是符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴故该选项是符合题意； 故选：C． 6. 如图，点，在上，，，下列5个条件中选择一个条件，①；②；③；④；⑤，能够使得的条件个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用全等三角形判定方法依次判断，可求解． 【详解】解：∵，， ∴添加条件时，无法判断，故①不符合题意； 添加条件时，可利用判断，故②符合题意； 添加条件时，有，则利用判定，故③符合题意； 添加条件，得时，无法判断，故④不符合题意； 添加条件，得时，无法判断，故⑤不符合题意； 故选B． 7. 如图，在等边中，，点在上，且，是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，若使点恰好落在上，记该点为，则线段的长是（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，由等边三角形的性质可得，．由旋转得，，，可证明，则，，进而可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， 故选：A． 8. 如图，四边形中，，在、上分别有一动点、，当周长最小时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平面内利用轴对称求最短路线问题，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用．作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值，如图所示，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值，如图所示． ，， 且，， ． ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9. 小明的体重约为，如果精确到，其结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查四舍五入法取近似值的知识，一个数要精确到某一位，即是对这个数精确的位数的下一位进行四舍五入取近似值即可． 因为的百分位数字为1，四舍五入到十分位，得51.5． 【详解】解：精确到为， 故答案为： 10. 最接近的整数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】估算得出所求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则最接近是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键． 11. 等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，是基础知识要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用． 分两种情况：当3为底时和3为腰时，再根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边去掉一种情况即可． 【详解】解：当3为底时，三角形的三边长为3，6，6，则周长为； 当3为腰时，三角形的三边长为3，3，6，因故三角形不存在，则不能组成三角形； 所以等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为15． 故答案为：15． 12. 如图，直角中，，，，边的垂直平分线交于，则的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，根据边的垂直平分线交于，得出，设，则，因为，所以，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于， ∴， 设， ∵ 则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的面积是， 故答案为：． 13. 若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式、直角三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的面积公式求出直角三角形的斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出直角三角形斜边的中线长． 【详解】解：设直角三角形斜边的长为， 直角三角形斜边上的高是，面积是， ， 解得：， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长是． 故答案为： ． 14. 如图，在中，为平分线，于，于，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由垂直的定义及三角形内角和定理得出，根据三角形外角的性质得出，再由角平分线定义求得，则，，设，则，，进而根据，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ，， ， 为平分线， ， 于， ，， 设，则，， ，即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，延长交于点D，证明，推出，进而可得，通过即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点D， 是的平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 16. 把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，．则重叠部分的周长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质与勾股定理；根据折叠的性质，和勾股定理求出，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 设：，则：， 在中：， 即：，解得：， 即：， ∵ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ ∴ 如图所示，过点作于点， 又∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ 在中， ∴重叠部分的周长为 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根与立方根，掌握其定义是解题关键． （1）先移项，然后利用平方根定义求解即可． （2）先变形为，然后利用立方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴． 18. 如图，，，三点共线，于点，于点，，且． （1）求证： （2）若，则______． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是由证出． （1）由证出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，再根据等量代换即可求出． 【小问1详解】 证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ，， ， 故答案为：6． 19. 如图，在中，，的垂直平分线交于点交于，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；根据垂直平分线的性质可得，则；依据，可设，，则，，在中，利用内角和定理建立方程求解即可． 【详解】是的垂直平分线， ， ， 设，则，． 在中，， ， 解得， ． 20. （1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）结合全等三角形的判定与性质，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的两侧分别交于点，，连接，，，，则和均满足题意． （2）①作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求；②以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的下方交于点，连接，，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示， 和为所求． 在和中， 在和中， ． （2）如图①所示，点即为所求； 如图②所示，点即为所求；． 如图①，根据线段垂直平分线的定义可得点E是的中点； 如图②，∵，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点E是的中点． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）当______时，点运动到的垂直平分线上？ （2）出发2秒后，的周长＝______． （3）为何值时，点运动到的角平分线上？ 【答案】（1）13秒 （2） （3）3或 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得和，进一步求得，则，利用勾股定理求得，即可得，当P在M点时求解即可； （2）由（1）得，由题意得和，在中求得，则的周长为即可； （3）分当点P恰好在的角平分线上、当点P恰好在的角平分线上分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图，的垂直平分线交于M，交于N，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 则， 在中，，，则， 则， 当P在M点时，(秒)； 故答案∶13秒； 【小问2详解】 解：由（1）得，， 由题意得，出发2秒后，则，， 在中，， 则的周长为 故答案为∶； 【小问3详解】 解：①当点P恰好在的角平分线上时，如图所示，过点P作于点G， 则． 与中， ∴， ∴， 则． 设，则， 在中，， 即，解得∶， 那么，当时，点P恰好在的角平分线上； ②当点P恰好在的角平分线上时，作于E，于F，如图所示， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 则P的路程为， 则当时，点P恰好在的角平分线上； 综上所述，当t为3或时，点P在的角平分线上． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、直角三角形的性质、角平分线的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉分类讨论思想和动态思想的应用． 22. 随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． （1）汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ （2）若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】（1）能，理由见详解 （2）秒 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论 【小问1详解】 解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号 【小问2详解】 解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答∶有秒可以接收到信号 23. 勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题： （1）填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）； （2）请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】（1）90， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，列代数式，熟练掌握数形结合思想的运用是解答本题的关键． （1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴ ， 故答案为：90，； 【小问2详解】 解：方法一： ； 方法二： ． 根据上面的方法可得出， ∴． 24. 【发现问题】 小红在做题时遇到了下面的问题，请你帮小红完成下面的证明． （1）如图①，在和中，，，和的周长都等于12．求证：． 【提出问题】 小红于是想知道：两个直角三角形若满足一组直角边对应相等，并且周长也相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 如图②，在和中，，，和的周长相等． 求证：． 【解决问题】 下面是小红对这个问题的探究过程． （2）根据小红的探究，请将下列过程补充完整； 设，的周长＝的周长＝，． 在中，根据勾股定理，得关于的方程______． 解得；同理可得．由此可得．又，根据______，可以知道． 小红进一步思考，除了可以用上面严谨的推理过程验证自己的猜想，也可以模仿教科书里利用“尺规作图”的方式来验证； 小红在作图时遇到了困难，偶然的机会，她阅读到下面方框的材料，受到了启发． 如图③，在和中，分别延长，至，，使得，，连接，． （3）如图④，已知线段，．用直尺和圆规求作一个，使，，的周长为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】（发现问题）答案见详解：（解决问题），，见详解，（3）见详解 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、尺规作图、解方程，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （发现问题）设，则，中，根据勾股定理，解得；同理设，求得．由此可得．结合即可证明； （解决问题）（I）设，的周长的周长，．则，在中，根据勾股定理，解得；同理可得：．由此可得．又，根据可证 ； （II）根据已知得和，即可证明，有，进一步得和，那么，利用即可证明； （3）在线段上截取，过点B作，使得，连接，作线段的垂直平分线交于点C，连接，即为所求； 【详解】解：（发现问题）设， ∵，和的周长都等于12， ∴， 在中，根据勾股定理，得： ，即，解得； 同理可得：设，可得． 由此可得． ∵， ∴； （解决问题） （2）（I）设，的周长的周长，． ∴， 中，根据勾股定理，得： ， ∴， 解得； 同理可得：． 由此可得．又， 根据，可以知道． 故答案为：，； （II）∵，且和的周长相等， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，即为所求； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$