精品解析：广东省广州大学附属中学2024-2025学年九年级上学期数学12月月考试卷

2024-2025学年九年级12月质量检查数学（问卷） 考试时间：120分钟 满分：120分 出卷人：苏青艳 审卷人：吴杰 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是实数大小比较，解题的关键是熟练掌握实数大小比较的方法：正数大于0，0大于负数． 根据正数大于0，0大于负数，即可解答． 【详解】解：在这四个数中， ， 最大的数是， 故选：A． 2. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图标既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图标是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，逐一验证各选项的运算是否正确，依据代数运算法则进行判断即可. 【详解】A、根据完全平方公式，，而选项A缺少项，故错误； B、单项式乘法：系数相乘，字母部分按同底数幂相乘法则计算； ，与选项B一致，故正确； C、与不是同类项，无法直接相减，故错误； D、同底数幂相除法则：，而选项D结果为，故错误； 故选B 4. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 距离直线是1个单位， 1距离直线是2个单位， 2距离直线是3个单位， 抛物线的开口向下， 离对称轴距离越近则y的值越大， ， 故答案为：A． 5. 巴黎奥运会即将临近，全红婵将代表跳水队参赛．全红婵曾在2024锦标赛以水花消失术斩获冠军，图示为全红婵第三跳6243D动作，各裁判给出的得分如下：、、、、、、，则她本次得分的平均成绩和中位数分别为（ ） A. ，8.75 B. ，9.0 C. 8.8，8.75 D. 8.8，9.0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数和中位数．根据平均数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵从小到大排序为、、、、、、， ∴这组数据的中位数是， 平均数为， 故选：B． 6. 如图，将一张六边形纸片沿虚线剪开，剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和定理可知，边数相等的两个多边形内角和相等，再逐个判断得出答案． 【详解】解：①剪开后的两个图形都是五边形，内角和相等，符合题意； ②剪开后的两个图形分别是三角形和七边形，内角和不相等，不符合题意； ③剪开后的两个图形分别是三角形和五边形，内角和不相等，不符合题意； ④剪开后的两个图形都是四边形，内角和相等，符合题意； 即符合要求的是①④， 故选：A． 7. 抛物线平移得到抛物线平移得到，平移方法是（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移5个单位 B. 先向右平移3个单位，再向上平移5个单位 C. 先向左平移3个单位，再向下平移14个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移14个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移．熟练掌握函数平移规律，是解决问题的关键． 把化为顶点式，根据平移规律“左减右加，下减上加”即得． 【详解】∵平移后的抛物线为， ∴抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移14个单位长度得到抛物线． 故选：C． 8. 如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形为圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意得出的半径为，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、，     ∵的面积等于， ∴设的半径为，则， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 9. 如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（ ） A. 玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B. 直线的解析式为 C. 点到杯口的距离为 D. 点到点的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，涉及待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰三角形的判定，直线与抛物线的交点问题，难度较大，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． 由题意得，，，，可求抛物线的解析式为，再求出直线的解析式，联立即可求出点坐标，继而可判断结论． 【详解】解：由题意得，，，， 设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入得 ，解得：， ∴，故A说法正确； ∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把、代入得： ，解得：， ∴直线：，故B说法正确； 由，解得，（舍） 当，， ∴， 此时点P到杯口的距离为，故C说法不正确； ，故D说法正确； 故选：C． 10. 如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④中，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，即可证明△△；根据相似三角形的判定与性质、解一元二次方程判断；根据三角形内角和定理和三线合一定理得到． 【详解】解：，． ， 由作图可知：，，， ， ， 由平行线的性质可知：，，故③正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； 设，， 则，， ， ， ， ， ，将方程配方可得：， ， ，， ， （负值舍去）， 即，故①正确； ， ， ，， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线和角平分线的尺规作图、解一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 将点向右平移5个单位长度后得到点，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，根据将点向右平移5个单位长度后得到点，得出，，解出的值，再代入，即可作答． 【详解】解：∵将点向右平移5个单位长度后得到点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形性质的应用．在中利用三角形内角和定理计算出的度数，再根据相似三角形对应角相等得，可得答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式即可得到结果． 【详解】原式， 故答案为：． 14. 某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件．若设该车间要完成的零件任务为x个，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，能够用含有未知数的代数式表示相关的量，再根据题中的等量关系列方程，根据“实际生产所用时间比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件”列方程即可． 【详解】解：利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前3天完成任务， 依题意，得． 15. 如图，把边长为1的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 由边长为1的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，利用勾股定理的知识求出 的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，，从而可求四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵旋转角， ∴， ∴在对角线上， ∵， 在中，， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是． 故答案为：． 16. 在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果是“中垂三角形”，是中线，，，那么的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的性质以及三角形中位线性质等知识，分、、三种情况讨论，运用相似三角形的判定与性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵为“中垂三角形”，即于点P， 又∵， ∴ ∴， ∵分别是中线，连接， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 在中， ∴， ∴； 如图，当时， 同理可得，，， 在中， ∴ ∴； 如果是“中垂三角形”，设三条中线相交于P，当时，取中点G，连接，过G作于H， ∵为中点， ∴， ∵G为中点， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，这与垂线段最短相矛盾， ∴不存在； 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9题，共72分） 17. 解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集． 【答案】 解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】略． 18. 如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．先利用矩形的性质得到相关边和角的关系，再结合已知条件推出角相等，最后通过全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等． 【详解】略 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）作图的基础上，连接，求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角： （1）作的垂直平分线交于点D，点D即为所求； （2）根据等边对等角得到，则，据此可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【小问1详解】 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； 【小问2详解】 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根为，若，求出的最小值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的最值．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的最值是解题的关键． （1）由，证明作答即可； （2）由的两个实数根为，可得，，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的两个实数根为， ∴，， ∴ ， ∵， ∴最小值为． 22. 如图，是的外接圆，为直径，D是上一点，且点C是优弧的中点，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵点C是优弧的中点， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， 且 （2） 证明：连接，如图： ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）的半径的长为． 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得； （2）连接，由题意可得即可证可得则可证是的切线； （3）过点作于点，由角平分线的性质可得可证可得根据勾股定理可求的半径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，如图： 又∵ 在和中， 设则 在中，由勾股定理得， 解得： ∴的半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 23. 小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点建立平面直角坐标系，记羽毛球与发球点的水平距离为（单位：），距地面的垂直高度为（单位：）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为，根据上述信息，回答下列问题． 水平距离 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … 垂直高度 … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 … （1）求羽毛球按抛物线飞行时，与满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； （2）已知球网高，与发球点的水平距离为．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为的点处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）近似满足一次函数关系； ①若，请通过计算说明小胜回击的球能否过网； ②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） ①不能过网，理由如下， 根据表格信息可得，当时，，即， ∵， ∴一次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， ∵球网高，与发球点的水平距离为， ∴当时，， ∵， ∴小胜回击的球不能过网； ②的值为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据表格信息，设抛物线的解析式为，把，，代入，运用待定系数法即可求解； （2）①根据表格信息可得，当时，，即，代入一次函数解析式即可得到解析式，再根据球网高，与发球点的水平距离为，把代入计算即可求解；②根据题意可得，刚好过网时球与网接触的点为，运用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为，把，，代入得， ， 解得，， ∴与满足的函数关系式为； 【小问2详解】 解：①略 ②，球网高，与发球点的水平距离为，小胜回击的球刚好过网， ∴刚好过网时球与网接触的点为， ∴， 解得，， ∴的值为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，在（2）线段长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，求出新抛物线的解析式．抛物线交延长线于点K，新抛物线上是否存在动点N，使得若存在直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）6 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，根据，，得到，，代入即可求得抛物线的解析式； （2）求出直线的解析式，设，则，得，当时，取得最大值，得，取，连接，则，得四边形是平行四边形，，的最小值，的最小值； （3）的顶点为，平移得到新抛物线的顶点为，解析式为，根据，得，求出解析式，当时，的解析式，得，解得；解析式为，得，解得． 【小问1详解】 解：∵中，当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为；． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴， 取，连接， 则， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点E在上时，取得最小值，， ∵， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴顶点为， ∵将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新抛物线，且， ∴该抛物线向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的顶点为， ∴新抛物线解析式为， 由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 与联立， 得， 解得（舍去）， ∴； 设直线解析式为， ∴， 解得，， ∴ 与联立， 得， 解得（舍去）， ∴； 综上，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，作辅助线构造三角形，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，平行四边形判定和性质，勾股定理，二次函数的图象平移和性质，平行线性质，等腰三角形判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 25. 如图1，雯雯同学将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点作与点，连接，求证平分； （3）如图3，过点作交于点，当时，求与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明∶∵四边形是正方形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴； （2） 证明：∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）或， 如图，延长交于M， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得，， ∴或， 当时，，，， ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 当时，，，， 同理可求，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上，或． 【解析】 【分析】（1）根据证明，即可得证； （2）根据折叠和（1）中可求出，证明，得出，再证明，得出，即可得证； （3）延长交于M，设正方形边长为，则，结合，可求出，设，则，，，在中，根据勾股定理得出，解得，，然后分或，根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级12月质量检查数学（问卷） 考试时间：120分钟 满分：120分 出卷人：苏青艳 审卷人：吴杰 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 巴黎奥运会即将临近，全红婵将代表跳水队参赛．全红婵曾在2024锦标赛以水花消失术斩获冠军，图示为全红婵第三跳6243D动作，各裁判给出的得分如下：、、、、、、，则她本次得分的平均成绩和中位数分别为（ ） A. ，8.75 B. ，9.0 C. 8.8，8.75 D. 8.8，9.0 6. 如图，将一张六边形纸片沿虚线剪开，剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 7. 抛物线平移得到抛物线平移得到，平移方法是（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移5个单位 B. 先向右平移3个单位，再向上平移5个单位 C. 先向左平移3个单位，再向下平移14个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移14个单位 8. 如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 9. 如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（ ） A. 玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B. 直线的解析式为 C. 点到杯口的距离为 D. 点到点的距离为 10. 如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④中，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 将点向右平移5个单位长度后得到点，则的值为______. 12. 已知，，，则的度数为______． 13. 因式分解：______． 14. 某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件．若设该车间要完成的零件任务为x个，则可列方程为_______． 15. 如图，把边长为1的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的面积为______． 16. 在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果是“中垂三角形”，是中线，，，那么的长为______． 三、解答题（本大题共9题，共72分） 17. 解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集． 18. 如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）作图的基础上，连接，求证：． 20. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根为，若，求出的最小值． 22. 如图，是的外接圆，为直径，D是上一点，且点C是优弧的中点，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的半径长． 23. 小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点建立平面直角坐标系，记羽毛球与发球点的水平距离为（单位：），距地面的垂直高度为（单位：）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为，根据上述信息，回答下列问题． 水平距离 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … 垂直高度 … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 … （1）求羽毛球按抛物线飞行时，与满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； （2）已知球网高，与发球点的水平距离为．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为的点处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）近似满足一次函数关系； ①若，请通过计算说明小胜回击的球能否过网； ②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，在（2）线段长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，求出新抛物线的解析式．抛物线交延长线于点K，新抛物线上是否存在动点N，使得若存在直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，雯雯同学将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点作与点，连接，求证平分； （3）如图3，过点作交于点，当时，求与的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $