江苏省南京市励志高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

第 1页,共 2页 南京市励志高级中学高二年级 2023-2024 第二学期开学考试 （时间:120 分钟 满分:150 分） 命题人:钟金龙 审题人:高二数学组 第 I 卷（选择题） 一、单选题题（本大题共 8 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.） 1．数列 na 的前 n项和为 nS ，且满足 1 2a  ，  1 11n n a n a      N ，则 2023S （ ） A．1011 B．1013 C．2022 D．2023 2．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 3a 与 9a 是方程 2 12 20 0x x   的两个实根，则 11S （ ） A．46 B．44 C．66 D．40 3．下列说法正确的是( ). A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值. B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值. D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 4．在下列条件中，一定能使空间中的四点 , , ,M A B C共面的是（ ） A． 2OM OA OB OC       B． 1 1 1 4 4 4 OM OA OB OC       C． 0OM OA OB OC         D． 1 1 1 6 3 2 OM OA OB OC       5．已知� = 2, − 1,3 , � = −4,2, � ,且� ⊥ � ,则�的值为（ ） A．10 3 B．3 C．6 D．9 6．若向量� = 2,2,3 , � = −1,2,1 , � = 0,1,1 ,则� ⋅ � + � =（ ） A．5 B．8 C．10 D．12 7．已知平面 的一个法向量为  2, 1,3 ，平面  的一个法向量为  3,9,1 ，则平面 和平面  的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 8．若函数   3 2 3f x x ax ax    存在极值点，则 a的取值范围是（ ） A．    ,0 3,  B．  0,3 C．    ,0 3,  D．  0,3 二、多选题（本大题共 4 小题,每小题 5 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5分,部 分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.） 9． nS 为等差数列 na 前 n项和，若 9 5 12 1 0S a a a= ， ＞ ，则以下结论一定正确的是（ ） A．公差 0d＜ B． 2 5S S C． 1 9a a＞ D． nS 取得最大值时， 3n  10．已知函数    ln 1f x x x  ，则（ ） A．  f x 在  0,  单调递增 B．  f x 有两个零点 C．曲线  y f x 在点   0, 0f 处切线的斜率为 0 D．  f x 是偶函数 11．若 , ,a b c   构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）. A． a  ，a b   ，a b   B． a  ，b c   ，b c   C．a b   ，a b   ， c  D．a b   ， ， c  12．已知直线 l的一个方向向量为� = �,1,3 ,平面�的一个法向量为� = −2, �, 1 ,则（ ） A．若�//�,则 2� − � = 3 B．若� ⊥ �,则 2� − � = 3 C．若�//�,则�� + 2 = 0 D．若� ⊥ �,则�� + 2 = 0 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 13．已知数列   ,n na b 都是等差数列， ,n nS T 分别是它们的前 n项和，并且 7 3 3 8 n n S n T n    ，则 7 7a b  . 14．函数 ( ) e 2xf x x  在[1,e]上的最小值为 ． 15．如图，在三棱锥O ABC 中，D是 BC的中点，若 ,OA a   ，OB b   ，OC c   ， 则 AD  等于 . 16．已知向量� = 0,1,0 ,向量� = 1,1,0 ,则� 与� 的夹角的大小为 . cba  第 2页,共 2页 四、解答题题（本大题共 6 小题,第一题 10 分,其余每题 12 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知圆 C 经过坐标原点 O和点（4,0）,且圆心在 x轴上 (1)求圆 C 的方程； (2)已知直线 l：3 x + 4 y −11=0 与圆 C 相交于 A、B 两点,求所得弦长 AB 的值． 18．记 nS 为等差数列{ }na 的前n项和，已知 1 7a   ， 3 15S   ． （1）求{ }na 的通项公式； （2）求 nS ，并求 nS 的最小值． 19．已知函数 2 2( )f x x x   . （1）求函数  y f x 在点  2,5 处的切线方程； （2）求函数  y f x 的单调区间. 20．如图所示，在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，设 1AA a   ，AB b   ，AD c   ， , ,M N P分别是 1AA ，BC， 1 1C D 的中点，试用 , ,a b c    表示以下各向量： (1) AP  ； (2) 1A N  ； (3) 1MP NC   21.已知� = 2, − 1, − 2 ，� = 0, − 1,4 ，求� + � ，� − � ，� ⋅ � ， 2� ⋅ − � ， � + � ⋅ � − � ． 22．如图，四边形 ABCD是正方形，MA平面 ABCD， / /MA PB ，且 2PB AB  ． （1）求证： / /DM 平面 PBC； （2）求点C到平面 APD的距离． 答案第 1页，共 3页 南京市励志高级中学高二年级2023-2024第二学期开学 考试参考答案： 1．B 【详解】因为 1 2a  ，  1 11n n a n a      N ， 所以 2 3 4 1 2 3 1 1 1 11 , 1 1, 1 2, 2 a a a a a a           L 所以数列 na 是以 3为周期的周期数列， 且列 1 2 3 3 2 a a a   ， 所以  2023 1 2 3 2023 3674 674 2 1013 2 S a a a a         ， 故选:B. 2．C 【详解】因为 3a 与 9a 是方程 2 12 20 0x x   的两个实根， 所以 3 9 12a a  ， 又因为数列 na 是等差数列， 所以    1 11 3 9 11 11 11 66 2 2 a a a a S      ， 故选：C 3．B 【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断． 【详解】如图为函数 y=f(x)在区间[a，b]上的图象： 对于选项 A：极大值  1f x 极小值  4f x ，故 A错误； 对于选项 B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的 最小值，故 B正确； 如图所示，函数 f(x)在区间[a，b]上的极大值  3f x ，而不是最大大值，故 C错误；同时，最大值 ( )f b 不是极大值，故 D也错误． 故选：B. 4．D 【详解】对于 A， 2OM OA OB OC       中，2 ( 1) ( 1) 0 1      ，A不是； 对于 B， 1 1 1 4 4 4 OM OA OB OC       中， 1 1 1 3 1 4 4 4 4     ，B不是； 对于 C， 0OM OA OB OC         化为OM OA OB OC        ， 1 ( 1) ( 1) 3 1        ，C不是； 对于 D， 1 1 1 6 3 2 OM OA OB OC       中， 1 1 1 1 6 3 2    ，D是. 5．A 【分析】根据空间向量坐标运算可以计算得到答案. 【详解】因为� ⊥ � ,所以� ⋅ � = 0,即 2 × −4 + −1 × 2 + 3 × � = 0,解得 � = 10 3 , 故选：A 6．C 【分析】根据题意,由空间向量的坐标运算,代入计算,即可得到结果. 【详解】由题意可得,� + � = −1,3,2 ,则� ⋅ � + � = 2 × −1 + 2 × 3 + 3 × 2 = 10. 故选：C 7．B 【分析】利用数量积运算可证得法向量互相垂直，由此可得结论. 【详解】将平面 的法向量记为  2, 1,3m   ，平面 的法向量记为  3,9,1n  ， 6 9 3 0m n      ， m n  ，则  . 故选：B. 8．A 【分析】分析可知，对于函数   23 2f x x ax a    ， 0  ，即可解得实数 a的取值范围. 【详解】因为   3 2 3f x x ax ax    ，则   23 2f x x ax a    ， 因为函数  f x 存在极值点，则对于函数   23 2f x x ax a    ， 24 12 0a a    ， 解得 a<0或 3a  ，故实数 a的取值范围是    ,0 3,  . 故选：A. 9．AB 【详解】由 9 5 12S a a  ，得 1 1 19 36 4 11a d a d a d   = ，即 1 3a d＝﹣ ， 又 1 0a  ，所以 1 1 0 3 d a   ，选项 A正确； 由 2 1 1 1 1 1 52 2 3 3 S a d a a a     ； 5 1 1 1 1 10 55 10 5 3 3 S a d a a a     ，得 2 5S S ，选项 B正确； 由 9 1 1 4 1 8 58 3 3 a a d a a a      ，得 9 1 5| | 3 a a ，又 1 0a  ，所以 1 1 9 1 5| | | | 3 a a a a   ，选项 C错误； 1 1 1 1 1 1 4( 1) ( 1) ( ) ( ) 3 3 3n a a n d a n a n a           ，令 0na  ，得 1 4 0 3 3 n   ， 解得 4n  ，又 *Nn ，所以 5n  ， 即数列 na 满足： 当 4n  时， 0na  ， 答案第 2页，共 3页 当 5n  时， 0na  ，所以 nS 取得最大值时， 4n  ，选项 D错误． 故选：AB． 10．AC 【分析】通过对函数求导，即可得出结论. 【详解】由题意，  1,x   ， 在    ln 1f x x x  中，    ln 1 1 xf x x x      ， ∴当 0x  时，    0 0, 0 0f f   ， ∴曲线 ( )y f x 在点   0 0f， 处切线的斜率为 0，C正确； A项，当  0,x  时， ( ) 0f x¢ > ， 故  f x 在 (0, ) 单调递增，A正确； B项，当 1 0x   时， ln(1 ) 0, ( ) ln(1 ) 0x f x x x     ， 当 0x  时， ln(1 ) 0, ( ) 0x f x   ，所以 ( )f x 只有 0一个零点，B错误； D项，函数的定义域为  1,  ，不关于原点对称，∴  f x 不是偶函数， D错误. 故选：AC. 11．BC 【详解】依题意 , ,a b c   构成空间的一个基底， A选项，由于    1 12 2a a b a b         ，所以 a  ，a b   ，a b   共面. B选项，由于不存在实数 ,x y使    a x b c y b c        ，所以 a，b c ，b c  不共面，B选项正确. C选项，，由于不存在实数 ,x y使    c x a b y a b         ，所以 a b   ，a b   ， c  不共面，C选项正确. D选项，由于  a b c a b c    r r r r r r，所以 a b ， a b c r r r， c共面. 12．AD 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量,以及线面的位置关系求得正 确答案. 【详解】若�//�,则� ⊥ � ,即有� ⋅ � = 0,即−2� + � + 3 = 0,即有 2� − � = 3,故 A正确,C错误； 若� ⊥ �,则� //� ,即有� = �� ,可得−2 = ��, � = �, 1 = 3�, 解得� = 1 3 , � =− 6, � = 1 3 ,则�� + 2 =− 2+ 2 = 0,故 B错误,D正确． 故选：AD 13．2 【详解】因为   ,n na b 为等差数列， 所以     1 13 7 7 1 13 13 1 137 7 1 13 13 13 2 2 132 2 a a a a a a S b bb b b b T        ， 又 7 3 3 8 n n S n T n    ，所以 7 13 7 13 7 13 3 94 2 3 13 8 47 a S b T         . 故答案为：2. 14． 2e / 2 e  【分析】利用导数确定单调性即可求解最值. 【详解】因为 ( ) e 2xf x   ，当 [1,e]x 时, ( ) e 2 0xf x    ，所以 ( )f x 在 [1, e]上单调递增， 所以 min  2=( ) (1) ef x f   ． 故答案为： e 2 15． 1 1 2 2 a b c      【详解】由图可得  1 1 12 2 2AD AO OB BD OA O OC OBB a b c                       . 16．π 4 【分析】利用向量夹角的坐标表示来求解. 【详解】因为� = 0,1,0 ,� = 1,1,0 , 所以 cos � , � = � ⋅� � � = 1 2 = 2 2 , 因为 � , � ∈ 0,π ,所以 � , � = π 4 . 故答案为： π 4 . 17.【答案】(1) � − 2 2 + �2 = 4 (2)2 3 【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离， 进而利用垂径定理求出弦长. 【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为 2．则圆的方程为 � − 2 2 + �2 = 4； （2）由（1）可知：圆 C半径为� = 2，设圆心（2，0）到 l的距离为 d， 则� = 6−11 5 = 1，由垂径定理得： �� = 2 �2 − �2 = 2 3． 18．（1） 2 9na n  ；（2） 2= 8nS n n ，最小值为–16． 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列{ }na 的公差为d ，由 3 15S   得，   3 23 7 15 2 d     ，解得： =2d ，所以 2 9na n  ． [方法二]：函数+待定系数法 设等差数列{ }na 通项公式为 = +na kn b，易得 + = 7k b  ，由 3 15S   ，即 23 15a   ，即 2 5k b   ，解得： =2, = 9k b  ，所以 2 9na n  ． （2）[方法 1]：邻项变号法 由 1 ( 1)= + 2n n n dS na  可得 2= 8nS n n ．当 0na  ，即 2 9<0n ，解得1 4n  ， 所以 nS 的最小值为 4 1=4 +6 = 16S a d  ， 所以 nS 的最小值为 16 ． [方法 2]：函数法 答案第 3页，共 3页 由题意知 2 12 2n d dS n a n       ，即 2= 8nS n n   24 16n   ， 所以 nS 的最小值为 2 4=4 4×8= 16S   ，所以 nS 的最小值为 16 ． 19．（1）7 2 4 0x y   ；（2）单调递增区间 (1, ) ，单调递减区间 ( ,0) 和(0,1). 【分析】（1）求出  2f  的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）解方程   0f x  ，根据  f x 的符号变化，由此可得出函数  f x 的 单调递增区间和递减区间. 【详解】解：（1）函数的定义域为 0x x  ， 因为   2 22f x x x    ， 7(2) , 2 f   所以函数 ( )y f x 在点  2,5 处的切线方程 75 ( 2) 2 y x   ， 即7 2 4 0x y   . （2）因为 3 2 2 2 2( 1) 2( 1)( 1)( ) x x x xf x x x       ， 令 ( ) 0f x  ，得 1x  ， 所以当 1x  时， ( ) 0f x  ，可知 ( )f x 在区间 (1, ) 上单调递增， 当 0x  ，或 0 1x  时， ( ) 0f x  ，可知 ( )f x 在区间 ( ,0) 和(0,1)上都单 调递减， 所以 ( )f x 单调递增区间 (1, ) ，单调递减区间 ( ,0) 和(0,1). 20．【详解】（1）因为 P是 1 1C D 的中点， 1AA a   ， AB b   ， AD c   ， 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 AP AA AD D P a AD DC a c AB a c b                         ， （2）因为 N为 BC的中点， 1AA a   ， AB b   ， AD c   ， 所以 1 1 1 1 2 2 A N A A AB BN a b AD a b c                     ， （3）因为M 为 1AA的中点， 1AA a   ， AB b   ， AD c   ， 所以 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 MP MA AP A A AP a a c b a b c                            ， 1 1 1 1 1 2 2 NC NC CC AD AA c a             ， 所以 1 1 1 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 MP NC a b c a c a b c                             . 21．答案见解析 【分析】根据空间向量的坐标运算逐项运算求解. 【详解】因为� = 2, − 1, − 2 ,� = 0, − 1,4 ,则： � + � = 2, − 1, − 2 + 0, − 1,4 = 2, − 2,2 ； � − � = 2, − 1, − 2 − 0, − 1,4 = 2,0, − 6 ； � ⋅ � = 2, − 1, − 2 ⋅ 0, − 1,4 = 2 × 0 + −1 × −1 + −2 × 4 =− 7； 2� ⋅ − � =− 2 � ⋅ � =− 2 × −7 = 14； � + � ⋅ � − � = 2, − 2,2 ⋅ 2,0, − 6 = 2 × 2 + ( − 2) × 0 + 2 × −6 =− 8． 22．（1）证明见解析；（2） 2． 【解析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面 / /AMD 平面 BPC ，再利 用面面平行的性质定理即可证明 / /DM 平面 PBC； （2）先证明 AD 平面 ABPM ，设点C到平面 APD的距离为d ，利用等 体积法得 1 3P ACD C APD APD V V d S    △ ，通过计算即可得d . 【详解】（Ⅰ）因为四边形 ABCD是正方形，所以 / /BC AD， 又BC 平面PBC， AD 平面 PBC， //AD 平面 PBC， 因为 / /MA PB，同理可证 //MA 平面PBC， , ,AD MA A AD MA  平面 AMD， 所以平面 / /AMD 平面PBC， 又因为DM  平面 AMD，所以 / /DM 平面PBC； （2）因为 AM 平面 ABCD，∴ AM  AD， PB 平面 ABCD，又 ∵ AD  AB， AM AB A ， ∴ AD 平面 ABPM ， ∴ AD  AP 又 2 2AP  ， 设点C到平面 APD的距离为d ∵ 1 1 1 42 2 2 3 3 2 3P ACD ACD V PB S        △ 又∵ 1 3P ACD C APD APD V V d S    △ 1 2 2 2 2 2 2APD S    △ ∴ 1 42 2 3 3 d  ; ∴ 2d  即点C到平面 APD的距离为 2 【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平 面与平面平行来证明.