精品解析：天津市南开区2024-2025学年高二上学期阶段性质量监测（二）数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高二年级数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共100分，考试时间100分钟. 第I卷 一､选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线方程为，则该双曲线的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列，其前项和为，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 5. 在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A 0 B. C. D. 6. 数列满足，其前项积为，则等于（ ） A. B. C. 6 D. 7. 已知等差数列的前项和为，若 ，则（ ） A 8 B. 12 C. 14 D. 20 8. 与圆相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 9. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，的内切圆与切于点，过点的直线与交于两点，则下列结论中 ①的最大值为；②的内切圆面积最大值为； ③为定值；④若为中点，则的方程为， 正确结论的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 二､填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上. 11. 直线的倾斜角为_______________. 12. 已知等比数列公比，则等于__________. 13. 若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是__________. 14. 已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________. 15. 已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于两点，为坐标原点，分别为的中点，且，则双曲线的离心率为__________. 三､解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 18. 已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面， （1）求证：； （2）求到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 已知为椭圆上的点，为椭圆的左，右焦点，点，直线将的面积分为两部分. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，且，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高二年级数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共100分，考试时间100分钟. 第I卷 一､选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析数列前项的规律，用表示即可得答案. 【详解】根据题意，数列的前几项为：…， 即，，，， 故数列的一个通项公式可以为. 故选：B. 2. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程求焦距即可. 【详解】由双曲线的方程为，可得， 再由， 所以双曲线的焦距为， 故选：D. 3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围. 【详解】方程变形得：， 该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：， 故选：A. 4. 已知等差数列，其前项和为，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质，结合前项和公式计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得 ， 所以. 故选： C. 5. 在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，转化为求解两向量夹角的余弦值即可. 【详解】设正方体棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 则， 又异面直线与所成角为锐角， 则异面直线与.所成角的余弦值为. 故选：B. 6. 数列满足，其前项积为，则等于（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次代入可得是以为周期的周期数列，由可推导得到结果. 【详解】因为， 所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，；…， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为，若 ，则（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的片段和的性质，易得组成首项为2，公差为2的等差数列，再运用迭代法即可求得. 【详解】因等差数列的前项和为，由可得， 则组成首项为2，公差为2的等差数列， 则. 故选：D. 8. 与圆相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 【答案】A 【解析】 【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为，根据圆心到直线的距离等于半径可得有两解，综合可得结果. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意； 当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为， 圆心到直线的距离，解得，此时满足条件的直线有两条， 综上可得：满足条件的直线有两条， 故选：A. 【点睛】本题主要考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线，属于中档题. 9. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列递推式，利用迭代法（累加法）求出，化简计算，再利用双勾函数的单调性，即可求得的最小值. 【详解】因， 则 ， 则， 因函数在上单调递减，在上单调递增， ，，故当时的最小值为. 故选：C. 10. 已知分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，的内切圆与切于点，过点的直线与交于两点，则下列结论中 ①的最大值为；②的内切圆面积最大值为； ③为定值；④若为中点，则的方程为， 正确结论的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及两点之间线段最短结论判断命题①，结合椭圆的定义及内切圆的性质判断命题②③，利用点差法求直线的方程判断命题④，由此可得结论. 【详解】设椭圆的长半轴为。短半轴长为，半焦距为， 根据题意可得，，，，，， ∵， 当且仅当P，，Q三点共线时，等号成立， ∴的最大值为，∴命题①正确； 设的内切圆的半径为，则根据的等面积算法可得： ， ∴， 当且仅当为短轴顶点时，等号成立， ∴内切圆面积最大值为，∴命题②错误； 根据的内切圆的性质易得：， ∴，∴，∴命题③正确； 若为中点，设，， 则，两式相减可得：， ∴，∴，∴， ∴的方程为，即， 又，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交， 所以直线满足条件，命题④正确 故选：C. 第Ⅱ卷 二､填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上. 11. 直线的倾斜角为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的斜率为，得到，即可求解. 【详解】由题意，可知直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，解得， 即换线的倾斜角为. 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 12. 已知等比数列的公比，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算化简即可求解. 【详解】由题意知，， 则. 故答案为：. 13. 若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是__________. 【答案】； 【解析】 【分析】由渐近线方程先设双曲线方程为，再将点代入即可求得结果. 【详解】由双曲线的渐近线为，设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线方程为 故答案为： 14. 已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】解：如图所示： 设点M在准线上的射影为D， 由抛物线的定义知， ∴要求的最小值，即求的最小值， 当D，M，P三点共线时，最小， 最小值为. 故答案为：4 15. 已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于两点，为坐标原点，分别为的中点，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出，在利用分别为的中点，得出四边形为矩形，再利用双曲线的定义列出等式，即可求出离心率. 【详解】 根据对称性设A在第一象限，设，分别为的中点,所以, 因为，所以,即四边形为矩形， ,因为，则， 则，即，即，则，则左焦点， 右焦点，则，解得，即，则双曲线的离心率为. 故答案为： 三､解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量公式求解即可； （2）利用裂项法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得，① 由成等比数列，可得，即，② 由①②解得，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知 则 17. 曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义可知曲线类型，然后可得方程； （2）直线方程联立抛物线方程消元，然后利用韦达定理，结合弦长求出直线方程. 【小问1详解】 因为曲线上的点到的距离与到的距离相等， 所以轨迹为焦点在轴上，以为焦点的抛物线， 所以的方程为. 【小问2详解】 设，直线的方程为， 联立得， 所以. 所以， 解得， 所以直线方程为. 18. 已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列为等比数列，即可得；根据题意可得等差数列的公差为，即可得； （2）可得，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，得， 当时，则， 两式相减得，，即， 且，可知数列为等比数列，公比， 所以. 设等差数列的公差为， 因为，且，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 设的前项和为 则 . 19. 如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面， （1）求证：； （2）求到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法证明线线垂直； （2）用空间向量的方法求点到面的距离； （3）用空间向量的方法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 由题可知两两互相垂直， 所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴， 建立如图的空间直角坐标系. 又为棱的中点， 易知. 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为， 则有， 取时，. 又因为， 所以到平面的距离. 【小问3详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为， 则有， 取时，. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 20. 已知为椭圆上的点，为椭圆的左，右焦点，点，直线将的面积分为两部分. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，且，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由为椭圆上的点，所以，又直线将的面积分为两部分，可得、值，即可求方程； （2）联立直线与椭圆方程，运用韦达定理和中点公式结合已知条件和根的判别式大于即可求解． 【小问1详解】 由直线将的面积分为两部分， 得，所以， 从而.① 由为椭圆上的点，得，② 由①②解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 设， 由，得 由，得，且， ， 由为的中点，且，得， 即，化简得， 代入（1）中有，，可得， 令， 有. 由函数单调递增， 故当时，为的最小值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $