精品解析： 湖南省永州市道县2024-2025学年八年级上学期第二次学情监测数学试题

2024年下期第二次学情监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡 上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数，，，，0.3，，0.1010010001，其中无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列各式，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 6. 如图，，，，则的度数为（ ）． A. 68° B. 96° C. 108° D. 120° 7. 解方程，去分母化成一元一次方程得（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB＝90°，AD＝BD，∠BAD＝30°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA，若点M在DE上，且DC＝DM．则下列结论中：①∠ADB＝120°；②△ADC≌△BDC；③线段DC所在的直线垂直平分线AB；④ME＝BD；正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内.） 11. 不等式的解集是______． 12. 当x＝___时，分式的值是0． 13. 的算术平方根是______． 14. 计算：=______． 15. 如图，∠B＝∠C，∠1＝∠2，且BE＝6，DE＝2，则BC的长为 _____． 16. 已知甲、乙两台机器1小时共加工36个零件，甲加工80个零件和乙加工100个零件的所用时间相等，设甲每小时加工个，则根据题意可列方程为：______． 17. 不等式的非负整数解共有__个． 18. 约定一个关于的递推关系式，，当时，，其中表示实数a的整数部分，是正整数，例如，．按此约定，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程.其中第19、20、21题各6分，第22、23题各8分，第24、25题各10分，第26题各12分.） 19. 计算： （1） （2）． 20. 解分式方程： 21. 解不等式组并把此不等式组的解集在数轴上表示出来． 22. 已知某正数的两个平方根是和，的算术平方根是2，若c是 的整数部分. （1）求a，b，c的值； （2）求的立方根． 23. 如图，与相交于点O，，，． （1）求证； （2）求证：垂直平分． 24. 道县心连心志愿者协会准备用筹集的资金购买A、B两种型号的文具．已知B种文具的单价比A种文具的单价多10元，用360元购买B种文具与用240元购买A种文具的件数相同. （1）求A，B两种文具的单价各是多少元？ （2）若购买A、B两种文具共100件，此时恰逢商场对两种型号的文具的单价进行调整，A种文具的单价提高了，B种文具按之前单价的9折出售且总费用不超过元，则最多购买B种文具多少件？ 25. 规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”． 例如：数对的一对“对称数对”为与． （1）数对的一对“对称数对”是______． （2）若数对的一个“对称数对”是，求x的值； （3）若数对的一个“对称数对”是，求这个数对的值． 26. 已知，如图，在中，，延长至点M，过点C作 ． （1）求证：； （2）如图2，若，在上取点D ，上取点E ，连接，，使得是等边三角形．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过B作，分别交于G，F，H，连接交于点K． ①求证：； ②若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期第二次学情监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡 上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】A．∵，∴，故不正确，不符合题意； B．∵，∴，故正确，符合题意； C．∵，∴，故不正确，不符合题意； D．若，当时，，故不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 2. 实数，，，，0.3，，0.1010010001，其中无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：是分数，属于有理数； 0.3，0.1010010001是有限小数，属于有理数； =2，属于无理数； 无理数有，，，，共4个． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 3. 下列各式，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是最简分式； B．，故不是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式； 故选A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方以及分式的乘方，根据各个式子运用相关的运算法则计算出结果即可得到正确的选项． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故选项A计算错误，不符合题意； B．，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意． 故选：D． 5. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调． 题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析计算即可． 【详解】解：当腰长为时，，不符合三角形三边关系，故舍去； 当腰长为时，符合三边关系，其周长为． 故该三角形的周长为． 故选：B． 6. 如图，，，，则的度数为（ ）． A. 68° B. 96° C. 108° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据AB=AC，∠B=40°，则∠C=∠B=40°，由三角形外角的性质即可得到∠BAE=∠B+∠C=80°，则∠AFD=∠E+∠BAE=108°． 【详解】解：∵AB=AC，∠B=40°， ∴∠C=∠B=40°， ∴∠BAE=∠B+∠C=80°， ∴∠AFD=∠E+∠BAE=108°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握三角形外角的性质． 7. 解方程，去分母化成一元一次方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程的解法中的去分母，找到最简公分母是解题的关键．根据分式方程都乘以最简公分母去分母得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 去分母得， 即， 故选：B． 8. 不等式组的解集为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，代数式求值，先解不等式组，进而根据不等式组的解集求出的值，最后代入代数式计算即可求解，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 9. 如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称一最短路线问题，连接，首先证明是的垂直平分线，得，则的周长为，当B、P、A共线时，的最小值为2，从而得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点G是的中点，是等边三角形； ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为：， ∵两点之间线段最短， ∴当B、P、A共线时，的最小值为边长2， ∴的周长最小值为3， 故选：C． 10. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB＝90°，AD＝BD，∠BAD＝30°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA，若点M在DE上，且DC＝DM．则下列结论中：①∠ADB＝120°；②△ADC≌△BDC；③线段DC所在的直线垂直平分线AB；④ME＝BD；正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可判断①，由“SSS”可证△ADC≌△BDC，可判断②，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可判断③，由“AAS”可证△ACD≌△ECM，可判断④． 【详解】解：∵AD=BD，∠BAD=30°， ∴∠BAD=∠ABD=30°， ∴∠ADB=120°, 故①正确; ∵AC=BC，AD=BD，CD=CD, ∴△ADC≌△BDC（SSS）, 故②正确; ∵△ADC≌△BDC ∴∠ACD=∠BCD，且AC=BC ∴线段DC所在的直线垂直平分线AB, 故③正确; ∵△ABC是等腰直角三角形, ∴∠CAB=∠CBA, ∴∠CAD=∠CBD=15°, ∵CA=CE, ∴∠E=∠CAD=15°, ∵∠EDC=∠DAC+∠DCA=60°，且CD=CM, ∴∠CDE=∠CMD=60°, ∴∠ADC=∠CME=120°，且∠E=∠CAD，AC=CE, ∴△ACD≌△ECM（AAS）, ∴AD=ME=BD, 故④正确, 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内.） 11. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟知不等式的两边同时除以（或乘以）一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：不等式的两边同除以，得 ， 故答案为：． 12. 当x＝___时，分式的值是0． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：∵分式的值是0， ∴，且， ∴且， ∴， ∴当时，分式的值是0． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 13. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 14. 计算：=______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方公式，零指数幂的法则．根据有理数的乘方公式，零指数幂的法则，进行计算即可解答． 【详解】解：原式， ， ， ． 故答案为：2 15. 如图，∠B＝∠C，∠1＝∠2，且BE＝6，DE＝2，则BC的长为 _____． 【答案】10 【解析】 【分析】结合题意，根据等腰三角形性质，得AD＝AE，根据补角的性质计算，得∠BDA＝∠CEA，根据全等三角形性质，通过证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，即可得出答案． 【详解】∵∠1＝∠2， ∴为等腰三角形 ∴∠BDA＝∠CEA，AD＝AE， 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE ∴BD＝CE， ∵BE＝6，DE＝2， ∴BD＝CE＝6﹣2＝4， ∴BC＝BE+CE＝6+4＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形、补角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形的性质，从而完成求解． 16. 已知甲、乙两台机器1小时共加工36个零件，甲加工80个零件和乙加工100个零件的所用时间相等，设甲每小时加工个，则根据题意可列方程为：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据甲加工80个零件和乙加工100个零件的所用时间相等列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 17. 不等式的非负整数解共有__个． 【答案】4 【解析】 【分析】不等式去分母，合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 则不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的非负整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 约定一个关于的递推关系式，，当时，，其中表示实数a的整数部分，是正整数，例如，．按此约定，，则______． 【答案】405 【解析】 【分析】此题考查了数字类规律探索，解题的关键是根据题意找到规律进行求解．根据规律找到的关系式，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴ … ∴ ∴ ∴当时，． 故答案为：405． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程.其中第19、20、21题各6分，第22、23题各8分，第24、25题各10分，第26题各12分.） 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的运算和实数的混合运算． （1）计算同底数幂的乘法后合并同类项即可； （2）计算算术平方根、零指数幂、绝对值、立方根后，计算加减法即可． 【小问1详解】 ． ； 【小问2详解】 ． ． 20. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母，得： 去括号得： 移项合并同类项，得： 系数化为1得： 检验：将代入最简公分母中，得 是原方程的解． 21. 解不等式组并把此不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示不等式组解集是： 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键． 22. 已知某正数的两个平方根是和，的算术平方根是2，若c是 的整数部分. （1）求a，b，c的值； （2）求的立方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、求一个数的立方根、估算无理数的大小，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． （1）先依据平方根的定义可求得a的值，再根据算术平方根的定义可求出b的值，然后估算出的大小，可求得c的值， （2）根据（1）求a，b，c的值代入，得的值，最后求它的立方根即可． 【小问1详解】 由题意得， 解得， 又， ， 【小问2详解】 由（1）得：， ， 的立方根是． 23. 如图，与相交于点O，，，． （1）求证； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴， ∴． （2） 证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 道县心连心志愿者协会准备用筹集的资金购买A、B两种型号的文具．已知B种文具的单价比A种文具的单价多10元，用360元购买B种文具与用240元购买A种文具的件数相同. （1）求A，B两种文具的单价各是多少元？ （2）若购买A、B两种文具共100件，此时恰逢商场对两种型号的文具的单价进行调整，A种文具的单价提高了，B种文具按之前单价的9折出售且总费用不超过元，则最多购买B种文具多少件？ 【答案】（1）两种文具的单价分别是20元和30元 （2）最多购买种文具80件 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，解题的关键是找到等量关系建立方程． （1）设种文具的单价为元，则种文具的单价为元，利用“用360元购买B种文具与用240元购买A种文具的件数相同”列分式方程求解即可； （2）设购买种文具件，则购买种文具为件，根据总费用不超过建立不等式求出其解即可． 【小问1详解】 解：设种文具的单价为元，则种文具的单价为元． 由题意得： 解得： 经检验，是原分式方程的解， （元） ∴两种文具的单价分别是元和元． 【小问2详解】 解：设购买种文具件，则购买种文具为件． 由题意得： 整理得：． 解得 ∴最多购买种文具80件． 25. 规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”． 例如：数对的一对“对称数对”为与． （1）数对的一对“对称数对”是______． （2）若数对的一个“对称数对”是，求x的值； （3）若数对的一个“对称数对”是，求这个数对的值． 【答案】（1）与 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、分式方程的应用，正确理解“对称数对”的定义是解题关键． （1）先求出，再根据“对称数对”的定义求解即可得； （2）根据“对称数对”的定义可得，由此即可得； （3）根据“对称数对”的定义求解即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴数对的一对“对称数对”是与， 故答案为：与． 【小问2详解】 解：∵数对的一个“对称数对”是， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列分式方程的解， 所以的值为1． 【小问3详解】 解：∵数对的一个“对称数对”是， ∴或， 解得或． 26. 已知，如图，在中，，延长至点M，过点C作 ． （1）求证：； （2）如图2，若，在上取点D ，上取点E ，连接，，使得是等边三角形．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过B作，分别交于G，F，H，连接交于点K． ①求证：； ②若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∵ （2） 证明：∵且 是等边三角形， 又∵是等边三角形 ， ∴ （3） ①证明：∵， 又∵， 是等边三角形， ∵ 又∵ 又∵ 即： ∵ 是等边三角形 ∵ ② 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识． （1）利用平行线的性质得到根据等边对等角得到，即得到结论； （2）证明，即可得到结论； （3）①证明是等边三角形，得到，证明，则，证明，得到，则，证明是等边三角形，得到，证明即可；②证明，设，则，得到得到关于x的方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②∵ 又∵ 设， ∵ 又∵， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $