精品解析：天津市红桥区2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

高二数学 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由分层抽样知识可得： 在高二年级的学生中应抽取的人数为：， 故选B． 考点：分层抽样． 2. 从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是，则取得白球的概率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】∵取得红球与取得白球为对立事件， ∴取得白球的概率P＝. 故选：C 【点睛】本小题主要考查利用对立事件计算概率，属于基础题. 3. 从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为，设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数公式求出平均数，根据中位数和众数定义，找到和，从而可以比较大小 【详解】平均数， 数据从小到大排列为：，第五个数为79，第六个数为81，所以中位数， 出现次数最多的是众数，所以众数， 所以. 故选：C. 4. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）. A. 至多有1次中靶 B. 2次都中靶 C. 2次都不中靶 D. 只有1次中靶 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概念可得结果. 【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”. 故选：C. 5. 某商场在今年端午节的促销活动中，对6月9日时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为 A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为 （万元），又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为万元． 考点：频率分布直方图. 6. 在数列中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式直接计算得到答案. 【详解】，， 则，，，. 故选：A. 7. 已知为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，则的前n项和，（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求出基本量和，根据即可得解. 【详解】设公差为，根据题意有：， 所以. 故选：A 8. 已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由数列的递推式，分别令，结合等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案． 【详解】设等差数列公差为，∵， ∴当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 9. 将数字，，，填入标号为，，，的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均互不相同的填法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】第一步，把填入方格中，第二步，把数字填入的那个方格的序号所对应数字填入剩下的个方格其中之一，第三步填余下的两个数字，即可求解. 【详解】第一步：先把数字填入方格中，符合条件的有种方法， 第二步：把第一步中数字填入的方格的序号所对应数字填入剩下的三个方格其中之一， 又有种方法， 第三步：填余下的两个数字，只有种填法，共有种填法. 故选：B. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分. 10. 已知为等差数列，若，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据等差中项即可得到，解出即可. 【详解】因为为等差数列，则，则. 故答案为：6. 11. 已知为等比数列，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将，代入即可. 【详解】因为为等比数列，所以 故答案为：. 12. 甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，， 则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码概率， 故该密码被成功破译的概率． 故答案为：． 13. 在展开式中，的系数是__________． 【答案】160 【解析】 【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数是. 故答案为：160. 14. 观察下列各式： …… 照此规律，当nN时， ______________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 由已知等式观察知：第一个式子，左边一项，下标为,上标为，右边为；第二个式子，左边两项，下标为,上标依次为，右边为；第三个式子，左边三项，下标为,上标依次为，右边为；第四个式子，左边四项，下标为,上标依次为，右边为；……照此规律，当时,, 综上所述，答案为：. 考点：归纳推理的应用. 15. 某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共______种(用数字填写). 【答案】24310 【解析】 【分析】采用“隔板法”求解即可. 【详解】构成一个隔板模型，取18个棋子排成一排，在相邻的每两个棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，这样就把18个元素分成10个区间， 第个区间的棋子个数对应第个班级的学生名额， 因此，名额分配方案的种数与隔板插入数相等， 因隔板插入数为， 所以名额分配方案共有24310种. 故答案为：24310. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知展开式的二项式系数和为64. （1）求n的值； （2）若展开式中的常数项为20，求m的值. 【答案】（1）6； （2）1. 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和定义可直接得n的值； （2）由（1）中的n的值求出展开式中的通项式，令的指数等于0，求出通项式中的，带回通项式求得的值. 【小问1详解】 因为展开式的二项式系数和为，所以； 【小问2详解】 因为展开式中的通项公式为，整理得， 令，得， 则，解得. 17. 已知是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，是公比大于0的等比数列，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和为. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的前8项和为64，公差为2，列方程可求出，从而可求出，根据，列方程求出公比，从而可求出； （2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求得结果. 【小问1详解】 因为等差数列的公差，且， 所以，解得，所以， 设等比数列的公比为， 因为，，所以，即， 解得(舍去)，或，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以. 18. 已知为等差数列，为等比数列，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和为； （3）若的前项和为，求证：. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式直接求解即可； （2）利用错位相减法求解数列的前项和； （3）结合等差数列前项和公式，即可得证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以， 设等比数列的公比为， 因为，可得， 解得，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 则， 两式作差得：， 则，整理. 小问3详解】 因为的前项和， 则，， 又， 所以. 19. 设数列的前n项和为，已知，，. （1）求的值； （2）求证：为等差数列； （3）证明：对一切正整数n，有. 【答案】（1）4 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知当时即可求解； （2）根据递推关系即可证明； （3）由（2）知，分情况借助放缩法进行证明. 【小问1详解】 因为，， 所以当时，， 又，所以； 【小问2详解】 因为，， 所以 ①， 所以当时， ②， 由①-②，得， 因为，所以， 所以（），又满足（）， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列； 【小问3详解】 由（2）知，所以， ①当时，，原不等式成立， ②时，，所以原不等式成立， ③当时，因为， 所以， 所以 ， 当时，所以原不等式成立， 综上，对一切正整数n，有. 【点睛】关键点点睛：问题（2）借助进行递推转化，进而构造数列为等差数列是解题的关键；问题（3）借助放缩法进行证明，放缩的关键是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2. 从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是，则取得白球的概率等于（ ） A. B. C. D. 3. 从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为，设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为，则（ ） A. B. C. D. 4. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）. A 至多有1次中靶 B. 2次都中靶 C 2次都不中靶 D. 只有1次中靶 5. 某商场在今年端午节的促销活动中，对6月9日时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为 A 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 6. 在数列中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，则的前n项和，（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 将数字，，，填入标号为，，，的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均互不相同的填法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分. 10. 已知等差数列，若，则______. 11. 已知为等比数列，若，，则______. 12. 甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______． 13. 在展开式中，的系数是__________． 14. 观察下列各式： …… 照此规律，当nN时， ______________. 15. 某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共______种(用数字填写). 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知展开式的二项式系数和为64. （1）求n的值； （2）若展开式中的常数项为20，求m的值. 17. 已知是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，是公比大于0的等比数列，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和为. 18. 已知为等差数列，为等比数列，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和为； （3）若的前项和为，求证：. 19. 设数列的前n项和为，已知，，. （1）求的值； （2）求证：为等差数列； （3）证明：对一切正整数n，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$