精品解析：吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年上学期期末考试 高二年级数学 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．答题时请按要求用笔. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 3. 在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（ ） A. B. C. D. 4. 过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，则（    ） A. B. C. D. 有最小值 6. 已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知数列满足，在之间插入个1，构成数列，则数列的前100项的和为（ ） A. 151 B. 170 C. 182 D. 207 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作双曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为，则以下结论中正确的有（ ） A. 两渐近线夹角为 B. 的离心率 C. 为定值 D. 的最小值为 11. 已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（    ） A. 数列为等比数列 B. 数列为常数列 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为________． 13. 已知数列的前项和为，则__________． 14. 设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的右焦点为，且经过点 （1）求椭圆C的标准方程： （2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长． 16. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值. 18. 已知数列的前项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列， （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）若成等比数列，求数列中的最大项及此时的值． 19. 已知动点（不与坐标原点O重合）在曲线上运动，为线段中点，记的轨迹为曲线． （1）求的轨迹方程； （2）P为不在x轴上的动点，过点作（1）中曲线的两条切线，切点为；直线与垂直(为坐标原点)，与x轴的交点为，与的交点为， （ⅰ）求证：是一个定点； （ⅱ）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年上学期期末考试 高二年级数学 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．答题时请按要求用笔. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为，故该直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 3. 在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由数列的递推关系及求数列的前几项，确定数列的周期，由此判断结论. 【详解】因为，， 所以，，，，…， 故是以为周期的周期数列，-1不是数列中的项， 故选：A． 4. 过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由弦中点坐标利用点差法计算可得直线的斜率. 【详解】显然在椭圆内， 当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，， 此时不是线段的中点， 所以直线的斜率存在，设，， 则，两式相减并化简得， 又，，代入得， 解得， 故选：D. 5. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，则（    ） A. B. C. D. 有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质、通项公式和前项和公式计算化简，结合选项，依次判断即可. 【详解】对于选项A：因为数列为等差数列， 则，即， 可得，则，故A错误； 对于选项B：因为， 则，所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：由选项B知，且，则， 当时，；当时，，所以当且仅当时取到最大值，故D错误. 故选：B 6. 已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线方程为， 则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则， 由图知，当共线，且在线段上时，最短， 此时，而， 则，所以. 故选：B 7. 已知数列满足，在之间插入个1，构成数列，则数列的前100项的和为（ ） A. 151 B. 170 C. 182 D. 207 【答案】B 【解析】 【分析】将数列前100项中含的项数与含1的项数分别求出来,再求和即可. 【详解】， 令得：， 所以数列的前100项中中的项有7项，1有93项， 的前7项的和为， 则的前100项和为77+93=170， 故选：B. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线的距离公式计算可得，结合，求，进而得到离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为c，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为，则直线的方程为：， 即，设的内切圆与三边相切的切点分别为如图所示， 则，即，即轴，圆的半径为， 则，点到直线的距离为， 整理得且，解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算逐项判断即可. 【详解】由题意：，，. 对A：因为，故A正确； 对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误； 对C：因为，， 所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确； 对D：由，故D正确. 故选：ACD 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作双曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为，则以下结论中正确的有（ ） A. 两渐近线夹角为 B. 的离心率 C. 为定值 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线两渐近线的夹角，可判断A选项；双曲线的渐近线与圆相切，求出的值，可求出该双曲线的离心率，可判断B选项；求设，则，利用点到直线的距离公式可判断C选项；分析可知，利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项. 【详解】因为圆与的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径， 即，所以双曲线，所以双曲线渐近线为， 所以两渐近线的倾斜角为和，则渐近线夹角为，则A错误； 因为，所以离心率，B正确； 设，则，所以，C正确； 因为由余弦定理可得 所以，当且仅当时，等号成立，此时点为双曲线的顶点， 所以的最小值为，D正确. 故选：BCD. 11. 已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（    ） A. 数列为等比数列 B. 数列为常数列 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A.由时，，得到判断；B.由时，，得到判断；C.由为等比数列求解判断；D.由，得到，两式相减得到，分奇数项和偶数项求解判断. 【详解】当时，，即， 又，故为等比数列，A正确； 时，，即，故不为常数列，B错误； 由上知为等比数列，首项为2，公比为3，故， 故，，……，， 以上20个式子相加得：，C错误； 因为，所以， 两式相减得：， 当时，，，……，， 以上式子相加得：， 故，而也符和该式，故， 令得：， 当时，，，……，， 以上式子相加得：， 故，而也符号该式，故， 令得：，综上：，D正确. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为________． 【答案】和 【解析】 【分析】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解. 【详解】圆的圆心和半径分别为， 当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意， 当直线有斜率时，设， 此时圆心到直线的距离为，解得， 此时直线方程为，即， 综上可得和 故答案为：和 13. 已知数列的前项和为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题，结合可得是等比数列，然后可得答案. 【详解】由，可得，， 则是等比数列，又，则，. 故答案为： 14. 设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为________. 【答案】- 4 【解析】 【分析】设，利用以及椭圆定义计算出，最后计算即可得出直线的斜率. 【详解】如图，设，则， 因为是圆的直径，所以，所以， 即， 所以，，所以直线的斜率为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的右焦点为，且经过点 （1）求椭圆C的标准方程： （2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆右焦点，且过点，从而可求解. （2）根据题意求出直线方程为，与椭圆方程联立后，利用根与系数关系从而可求解. 【小问1详解】 由题意得， 解得， 故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由题意可得直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则， 故 ． 16. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） 由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列， 则， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）将递推公式左右两边同时除以，整理化简后即可由等比数列定义证明是等差数列，再结合其首项和公差，即可求得； （2）根据（1）中所求，根据错位相减法即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 则， 所以， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，，平面， 可知，， 在中，为的中点，则， 因为，所以，则，， 在中，， 即， 所以，即， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）分别证明，，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求两个平面的夹角. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意可知：平面， 所以是斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角， 在中，，所以． 又因为，故，，两两垂直， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为， 则，即，可取； 设平面的法向量为， 则，即，可取； 从而可知， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 18. 已知数列的前项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列， （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）若成等比数列，求数列中的最大项及此时的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）最大项为，或． 【解析】 【分析】（1）利用前项和与通项公式之间的关系结合累乘法求解即可. （2）（ⅰ）利用给定条件求出，再利用裂项相消法求解即可. （ⅱ）利用给定条件结合对勾函数的性质判断的单调性，再求最大项和对应的值即可. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 两式相减得，，整理得， 即，而当时，， 经检验满足此式，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）得，，所以， ，， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）得，，所以， 因为成等比数列，所以，即， 所以，故， 由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 则当时单调递增，当时单调递减， ，， 因此最大项为，此时或． 19. 已知动点（不与坐标原点O重合）在曲线上运动，为线段中点，记的轨迹为曲线． （1）求的轨迹方程； （2）P为不在x轴上的动点，过点作（1）中曲线的两条切线，切点为；直线与垂直(为坐标原点)，与x轴的交点为，与的交点为， （ⅰ）求证：是一个定点； （ⅱ）求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：设点， 设以为切点的切线方程为， 联立抛物线方程，可得，由，得， 所以切线AP：，同理切线BP：， 点P在两条切线上，则， 由于均满足方程，故此为直线AB的方程， 由于垂直即，则， 所以直线AB的方程，恒过； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）利用相关点法求解轨迹方程即可. （2）（ⅰ）利用联立法求出切线方程，再利用切线方程的性质求解动点即可. （ⅱ）利用给定条件求出点坐标，再利用两点间距离公式将目标式表示为一元函数，利用基本不等式求解最值即可. 【小问1详解】 设，， N为线段OM中点， ，，又， 代入得．故点N的轨迹方程是． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，则，直线 联立直线AB与直线OP的方程得， 而 因此，当且仅当时取等号. 即的最小值是. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去一个变量建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题，求最值经常与基本不等式相联系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $