2025年九年级中考数学复习专题系列1：图形的旋转变换

树人训练营初三数学复习专题 备课人：程加林 V: jl1246553310 2025年中考数学专题复习：图形的旋转 【知识聚焦】 一. 旋转变换： 1、 把一个图形绕平面上的一个定点旋转一定的角度，得到另外一个图形，这样的变换叫做图形的旋转变换，旋转变换的三要素：（1）旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度。 2、旋转变换具有以下基本性质： 旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； 对应直线的夹角等于旋转角； 旋转变换多用在等腰三角形，等边三角形，正方形等较为规则的图形上，其功能是把分散的条件集中起来，以便于诸条件的综合和推演。 【常见模型】： (1) 半角模型 : 【正方形中“半角（45度）模型”】 例题1：如图，正方形ABCD中，∠EBF＝45°，则EF=AE+CF． 【四边形中的“半角模型”】 例题2：如图，四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC+∠ADC=180°，且∠EBF＝∠ABC，则EF=AE+CF． 【等腰直角三角形中“半角（45度）”模型】 例题3：如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，∠DAE＝45°，则DE2=BD2+CE2． (2) 对角互补模型 ： 【“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）】 例题4：如图，在△ABC和△DBC中，∠BAC=∠BDC=90°，BD=DC，则AB+AC=AD． 【“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）】 例5：如图，在△ABC和△DBC中，∠BAC=∠BDC=90°，BD=DC，则=AD． 【典型例题】 例题1、阅读下列材料，小阳遇到这样一个问题，如图（1），O为等边⊿ABC内部一点，且，求∠AOB的度数。 小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的．他的作法是：如图（2），把△ACO绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到△ABO′，连接OO′．则△AOO′是等边三角形，故OO′=OA，至此，通过旋转将线段OA、OB、OC转移到同一个三角形OO′B中。 （1）请你回答：∠AOB= 。 （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题： 已知：如图（3），四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4． 求BC的长． 例题2、【问题提出】如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积． 【尝试解决】 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． （1）如图2，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是 ． （2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积． [类比应用]如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=，求四边形ABCD的面积． 例题3：【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数； 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】 如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数． 例题4：探索研究：已知：△ABC和△CDE都是等边三角形． （1）如图1，若点A、C、E在一条直线上时，我们可以得到结论：线段AD与BE的数量关系为：　　， 线段AD与BE所成的锐角度数为　　 °； （2）如图2，当点A、C、E不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立； 灵活运用： 如图3，某广场是一个四边形区域ABCD，现测得：AB=60m，BC=80m，且∠ABC=30°，∠DAC=∠DCA=60°，试求水池两旁B、D两点之间的距离． 【拓展训练】 1.（2017天津）如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在延长线上，连接.下列结论一定正确的是（ ） A． B． C. D． 第1题 第2题 第3题 2、（2018山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为（ ） A． B． C． D． 3、（2018南通模拟）如图、在△ABC中，∠CAB=55°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则旋转角的度数至少为（ ） A、60° B、65° C、70° D、75° 4、 （2018扬州月考）平面内两个正六边形有一边AB重合在一起，将左侧的正六边形绕平面内的某一点，旋转一定的角度后能与右侧的正六边形完全重合，平面内这样的旋转中心有（ ） A、1个 B、3个 C、5个 D、无数个 5.如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF则 AB的长为 . 第5题 第6题 第7题 6. 如图A点的坐标为，B点的坐标为（3,3），C点的坐标为（5,3），D点的坐标为（3，-1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一线段.你认为这个旋转中心的坐标是 .2 7、在的方格纸中，的三个顶点都在格点上. (1)在图1中画出与成轴对称且与有公共边的格点三角形(画出一个即可)； (2)将图2中的绕着点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的三角形. 8、问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC边上一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC、DC、EC之间满足的数量关系是 ； 探究：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探究线段AD，BD，CD之间满足的数量关系，并证明你的结论。 应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=9，CD=3，求AD的长度。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$