21.5-21.7 二元二次方程组与列方程(组) 解应用题 学案 2024--2025学年沪教版八年级数学下册

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第5讲 21.5-21.7 二元二次方程组与列方程(组) 解应用题 目录 1、 【进门测试】共7题； 2、 【知识精讲】共五个知识点； 3、 【典例解析】共17例题； 4、 【过关演练】共7题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共27题：A组11题，B组16题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．方程x4﹣16＝0的实数根是 　 　． 2．下列方程是二项方程的是（　　） A．x3+8＝0 B．x4+x＝0 C．x3+x＝1 D．﹣1＝0 3．甲乙两人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完成．若两人合作，8天可以完成，设甲单独完成工作需要x天，则可得方程　 ． 4．已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 　　． 5.若关于x和y的二元二次方程x2+my＝1有一个解是，则字母m的值为　　． 6．二元二次方程组的解的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．解方程组：． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．二元二次方程组 二元二次方程组． 二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法． 一般解法： 二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将y作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程．因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有实数解．将（3）代入（2）中，解出x，再根据（3）解出y． 二元二次方程组最多可能有四组解．用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法． 二．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 三．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 四．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 五．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 1．只有一个含未知数根式的无理方程 当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。 例1、 解下列方程： 2.有两个含未知数根式的无理方程 当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使一个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。 例2、 解下列方程： 3.适宜用换元法解的无理方程 如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。 例3、 解方程 4．高次方程 例4．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 　 　． 例5．解方程组：． 5．一元二次方程的应用 例6．为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元． （1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率； （2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？ 例7．某纸箱厂要生产一批无盖纸盒，购进了长为20厘米，宽为16厘米的长方形硬纸板，将硬纸板的四个角剪掉四个小正方形（如图所示），剩下的部分正好做成无盖纸盒（不计损耗），若纸盒的底面面积为140平方厘米，则剪下的小正方形的边长是多少厘米？ 例8．某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》的表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？ 例9．市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件． （1）若每件童装降价3元，那么平均每天就可售出 　件，可以赚 　 　元． （2）为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 例10．某小区要对一块长20米，宽8米的长方形空地ABCD进行绿化工程改建．设计方案如图所示，阴影部分为两块形状大小完全相同的长方形绿地，它们的面积之和为56平方米，长方形ABCD内空白部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度． 例11．如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？ 例12．如图，在一块长为30米，宽为20米的长方形空地上，修建两幢底部是长方形的小楼房，其余部分铺设草坪．要求这些草坪的宽都相等，并且两幢小楼房的底部面积的和与草坪的面积的比是1：3，求草坪的宽度． 6．由实际问题抽象出分式方程 例13．已知甲乙两名同学各带60元和45元去文具店购买文具，甲购买笔记本，乙购买钢笔，已知钢笔的单价是笔记本的2倍少3元，结账时甲购买的件数比乙多4件，若设笔记本单价为x元，可列方程（　　） A． B． C． D． 例14．某校八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝14岁生日活动，先遣队与大部队同时出发．已知先遣队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍，预计比大部队早半个小时到达目的地．如果设大部队的行进速度为x千米/时，那么根据题意，列出的方程为 　　 ． 7．分式方程的应用 例15．元旦，小红和弟弟小杰两人以包馄饨来庆祝成长，两人实际所包的馄饨数之比是5：3（小红：小杰），调皮的弟弟小杰从小红包好的馄饨里拿了2个放入自己的成果行列后，宣称自己和姐姐包好的馄饨数之比是2：3．求两人一共所包的馄饨数．（列分式方程解应用题） 例16．某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元． （1）购买甲种礼品一共用去 　 　元；（请直接写出答案） （2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？ 五．二元二次方程组 例17．由方程组消去y后化简得到的方程是（　　） A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．解方程组：． 2．下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．方程x4+2x2﹣3＝0的实数根是 　 　． 4．方程组的解是 　　 ． 5．将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为8000元，售价应该定为多少元？ 6．如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个面积为10平方米的长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长和宽分别是多少米？ 7．经预算，某工厂从2022年1月份起，每月生产收入将是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长．经预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元．3月份以后，每月的生产收入稳定在3月份的水平． （1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率； （2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？（即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利润） 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．如图，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进．有一棵百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米． 问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？ （2）离开路口经过多少时间，两人与这棵古树所处的位置恰好在一条直线上？ 2．藏族小伙小游在九寨沟开店做牛肉生意，根据协议，每天他会用8880元购进牦牛肉和黄牛肉240斤，其中牦牛肉和黄牛肉的数量之比为3：1，已知每斤牦牛肉的售价比每斤黄牛肉的售价多15元，预计当天可全部售完． （1）若小游预计每天盈利不低于2220元，则牦牛肉每斤至少卖多少元？ （2）若牦牛肉和黄牛肉均在（1）的条件下以最低价格销售，但8月份因为九寨沟地震，游客大量减少，导致牛肉滞销，小游决定降价销售每天进购的牛肉，已知牦牛肉的单价下降a%（其中a＞0），但销量还是比进购数量下降了a%，黄牛肉每斤下降了3元，销量比进购数量下降了a%，最终每天牦牛肉的销售额比黄牛肉销售额的5倍还多350元，求a的值． 3.已知方程组 （1）求证：不论为何值时，此方程组一定有实数解； （2）设等腰△ABC的三边长分别为，，，其中，且，是该方程的两个解，求△ABC的周长． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题 1．下列方程是二项方程的是（　　） A．2x2＝0 B．x2﹣x＝0 C．x3﹣1＝0 D．y4+2x2＝1 2．下列方程是一元高次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 3．下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 4．某市加大对绿化的投资，2015年绿化投资a万元，若以后每年绿化投资金额的年增长率均为x，则2017年绿化投资的金额为（　　） A．a（1+x）2 B．a（1+x%）2 C．（1+x%）2 D．a+a（x%）2 5．甲队修路120m与乙队修路100m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m，设乙队每天修路xm．依题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 6．二元二次方程x2﹣2xy﹣3y2＝0分解为两个一次方程的结果为　 　． 7．某超市10月份销售额是100万元，计划12月份的销售额达到144万元，若每月销售额增长率相同，则此增长率是　 　． 三．解答题 8．解方程组：． 9．某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积40万亩的任务．后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前2年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多3万亩，求原计划平均每年的绿化面积． 10．旺鑫果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，由于水果畅销，很快售完，第二次用1452元购买了一批水果，每千克的进价比第一次提高了10%，所购买的水果的数量比第一次多20千克，求第一次购买水果的进价是每千克多少元？ 11．制造一种产品，原来每件成本价500元，销售价625元，经市场预测，两个月后销售价将下降15.2%，为保证利润不变，必须降低成本，问平均每个月下降成本的百分比是多少？ 题组B 能力提升练 一．填空题 1．双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为　 　． 2．将方程组：转化成两个二元二次方程组分别是　 　和　 　． 3．方程组的解是　　 ． 4．已知关于x的方程2x2+mx﹣1＝0是二项方程，那么m＝　 　． 5．二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 　　 或　 　． 6．小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是　 　米． 7．小王步行的速度比跑步的速度慢50%，跑步的速度比骑车的速度慢50%．如果他骑车从A城到B城，再步行返回A城共需要两小时，那么小王跑步从A城到B城需要　 　分钟． 8．某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元，如果每月产值的增长率相同，则这个增长率是　 　． 9．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年7月份和9月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件．若假设该公司每月投送的快递件数的增长率相同，则这家公司投送快递件数的月平均增长率为　 　． 二．解答题（共14小题） 10．解方程组：． 11．某西红花种植基地需要种植5000株西红花．最初采用人工种植，种植了2000株后，为提高效率，采用机械化种植，机械化种植比人工种植每小时多种植50株，结果比原计划提前30小时完成任务．求人工种植每小时种多少株西红花？ 12．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工12000个口罩，在实际生产中由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的1.5倍，从而提前2天完成任务． （1）问该企业原计划每天生产多少个口罩？ （2）如果该企业按原计划的工作效率加工了a个口罩后，才将效率提高到原来的1.5倍，则该企业完成这批口罩工作任务一共用了多少天？（所得结果用含有a的代数式表示；a为大于零的整数） 13．2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作．着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程720米，东线地势稍有起伏，行程180米，走西线比走东线多用2小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快60米．同时，为了确保安全，火星车的速度要小于100米/小时，问走东线、走西线的速度各是多少？ 14．如图所示，若要建一个由两个相同的小长方形组成的长方形花圃ABCD．花圃的面积为63平方米且一边靠墙（墙长15米），三边用篱笆围成．现有篱笆30米．求这个长方形花圃的长与宽． 15．某中学八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝十四岁生日活动，先遣队与大部队同时从学校出发．已知先遣队每小时比大部队多行进1千米，预计比大部队早半小时到达目的地．求先遣队与大部队每小时各行进了多少千米． 16．小王开车从甲地到乙地，去时走A线路，全程约100千米，返回时走B线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第5讲 21.5-21.7 二元二次方程组与列方程(组) 解应用题 目录 1、 【进门测试】共7题； 2、 【知识精讲】共五个知识点； 3、 【典例解析】共17例题； 4、 【过关演练】共7题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共27题：A组11题，B组16题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．方程x4﹣16＝0的实数根是 　x＝2或x＝﹣2　． 【分析】将左边因式分解，降次后化为两个一元二次方程即可解得答案． 【解答】解：由x4﹣16＝0得（x2+4）（x2﹣4）＝0， ∴x2+4＝0或x2﹣4＝0， 而x2+4＝0无实数解， 解x2﹣4＝0得x＝2或x＝﹣2， 故答案为：x＝2或x＝﹣2． 【点评】本题考查解一元高次方程，解题的关键是将方程左边因式分解，把原方程降次，化为一元二次方程． 2．下列方程是二项方程的是（　　） A．x3+8＝0 B．x4+x＝0 C．x3+x＝1 D．﹣1＝0 【分析】根据两项方程的定义直接判断得结论 【解答】解：B中两项都含有未知数，不符合二项方程的定义， C有三项，不具备二项方程的条件， D不是整式方程，不具备二项方程的条件， 只有A符合二项方程的条件．故选：A． 【点评】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下几个基本条件：（1）整式方程，（2）方程共两项，（3）两项中一项含有未知数，一项是常数项． 3．甲乙两人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完成．若两人合作，8天可以完成，设甲单独完成工作需要x天，则可得方程　+＝1　． 【分析】设甲单独完成工作需要x天，则乙单独完成工作需要（x+12）天，根据甲乙合作8天可以完成，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设甲单独完成工作需要x天，则乙单独完成工作需要（x+12）天， 依题意得：+＝1． 故答案为：+＝1． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 　　． 【分析】分别列两个方程代入x，y的值就可以． 【解答】解：把x，y的值代入符合要求； 故答案为：． 【点评】考察二元一次方程组定义，方程组得解，解题关键x，y都能使两个方程左右值相等． 5.若关于x和y的二元二次方程x2+my＝1有一个解是，则字母m的值为　3　． 【分析】把方程的解代入方程，求出m即可． 【解答】解：把方程的解代入二元二次方程，得4﹣m＝1， ∴m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了二元二次方程的解，掌握方程解的意义是解决本题的关键． 6．二元二次方程组的解的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出结论． 【解答】解：， 由①得x＝﹣1或y＝2， 当x＝﹣1时y＝1， 当y＝2时x＝± 所以方程组的解． 故选：C． 【点评】本题主要考查解方程的能力，体现数学中化归思想，消元和降次是解此类问题的关键． 7．解方程组：． 【分析】由①得y＝﹣3﹣x③，把③代入②得关于x的一元二次方程，可解得x的值，即可求出原方程组的解． 【解答】解：由①得：y＝﹣3﹣x③， 把③代入②得：x2+x（﹣3﹣x）﹣6（﹣3﹣x）2＝0， 整理得：2x2+13x+18＝0， 解得x1＝﹣，x2＝﹣2， 当x1＝﹣时，y＝﹣3﹣x＝， 当x2＝﹣2时，y＝﹣3﹣x＝﹣1， ∴原方程组的解为：，． 【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用代入消元法，把二元二次方程组转化为一元二次方程． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．二元二次方程组 二元二次方程组． 二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法． 一般解法： 二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将y作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程．因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有实数解．将（3）代入（2）中，解出x，再根据（3）解出y． 二元二次方程组最多可能有四组解．用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法． 二．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 三．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 四．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 五．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 1．只有一个含未知数根式的无理方程 当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。 例1、 解下列方程： 解：原方程可变形为 两边平方，得 (3-x)2=2x-3 整理，得 x2-8x+12=0解得 x1=2，x2=6 经检验，x=2是原方程的根；x=6是增根，舍去。所以，原方程的根是x=2 2.有两个含未知数根式的无理方程 当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使一个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。 例2、 解下列方程： 解：（1）原方程可变形为 两边平方，得 x2-2=2x+1 整理，得 x2-2x-3=0 解得 x1=-1,x2=3 经检验，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。 所以，原方程的根是 x=3 3.适宜用换元法解的无理方程 如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。 例3、 解方程 4．高次方程 例4．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 　m≥　． 【分析】由①得出x＝m+y③，把③代入②得出y2﹣2（m+y）+3y+4＝0，整理后得出y2+y+（4﹣2m）＝0，根据已知方程组有实数根和根的判别式得出12﹣4×1×（4﹣2m）≥0，求出不等式的解集即可． 【解答】解：， 由①，得x＝m+y③， 把③代入②，得y2﹣2（m+y）+3y+4＝0， 整理得：y2+y+（4﹣2m）＝0， ∵关于x、y的方程组有实数解， ∴12﹣4×1×（4﹣2m）≥0， 解得：m≥， 故答案为：m≥． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，根的判别式，解一元一次不等式等知识点，能把方程组转化成一元二次方程是解此题的关键． 例5．解方程组：． 【分析】由①得y＝7﹣x，将y＝7﹣x代入②转化为一元二次方程．用一元二次方程的知识，解出方程的根即可． 【解答】解：， 由①得：y＝7﹣x③， 将③代入②得：x²+（7﹣x）²＝25， 整理得：x²﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4 将上述x代入①得：y1＝4，y2＝3， ∴该方程组的解为，． 【点评】本题考查的是解二元二次方程组，考核学生的是解二元二次方程组的能力及转化思想，因为含有二次项，所以运用代入消元法转化成课内的一元二次方程是关键． 5．一元二次方程的应用 例6．为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元． （1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率； （2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？ 【分析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，利用2022年投资额＝2020年投资额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用这三年我校总共投资的金额＝2020年投资额+2020年投资额×（1+年平均增长率）+2022年投资额，即可求出结论． 【解答】解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x， 依题意得：110（1+x）2＝185.9， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）． 答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%． （2）110+110×（1+30%）+185.9 ＝110+143+185.9 ＝438.9（万元）． 答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 例7．某纸箱厂要生产一批无盖纸盒，购进了长为20厘米，宽为16厘米的长方形硬纸板，将硬纸板的四个角剪掉四个小正方形（如图所示），剩下的部分正好做成无盖纸盒（不计损耗），若纸盒的底面面积为140平方厘米，则剪下的小正方形的边长是多少厘米？ 【分析】设剪下的小正方形的边长是x厘米，则做成的无盖纸盒的底面长为（20﹣2x）厘米，宽为（16﹣2x）厘米，根据纸盒的底面面积为140平方厘米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合纸盒的底面边长为正值，即可得出剪下的小正方形的边长是3厘米． 【解答】解：设剪下的小正方形的边长是x厘米，则做成的无盖纸盒的底面长为（20﹣2x）厘米，宽为（16﹣2x）厘米， 依题意得：（20﹣2x）（16﹣2x）＝140， 整理得：x2﹣18x+45＝0， 解得：x1＝3，x2＝15． ∵16﹣2x＞0， ∴x＜8， ∴x＝3． 答：剪下的小正方形的边长是3厘米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 例8.某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》的表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？ 【分析】设长方形等候区的边AB为x米，根据面积为300平方米的封闭型长方形等候区可得（48+2﹣2x）x＝300，再解一元二次方程即可． 【解答】解：设长方形等候区的边AB为x米， 由题意得：x（48﹣2x+2）＝300， 整理，得x2﹣25x+150＝0， 解得x1＝10，x2＝15， 当x＝10时，BC＝30＞26； 当x＝15时，BC＝20＜26， ∴x＝10不合题意，应舍去． 答：长方形等候区的边AB为15米，BC为20米． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 例9．市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件． （1）若每件童装降价3元，那么平均每天就可售出 　39　件，可以赚 　1443　元． （2）为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【分析】（1）利用销售数量＝30+3×降低的价格，即可求出每件童装降价3元时平均每天可出售39件，利用每天销售童装获得的总利润＝每件童装的销售利润×每天的销售量，即可求出每件童装降价3元时每天可以赚1443元； （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（30+3x）件，利用每天销售童装获得的总利润＝每件童装的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可得出每件童装应降价10元． 【解答】解：（1）30+3×3＝39（件）， （40﹣3）×39＝1443（元）． 故答案为：39；1443． （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（30+3x）件， 依题意得：（40﹣x）（30+3x）＝1800， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． 又∵降价不能超过15元， ∴x＝10． 答：每件童装应降价10元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 例10．某小区要对一块长20米，宽8米的长方形空地ABCD进行绿化工程改建．设计方案如图所示，阴影部分为两块形状大小完全相同的长方形绿地，它们的面积之和为56平方米，长方形ABCD内空白部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度． 【分析】设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地可合成长为（20﹣3x）米，宽为（8﹣2x）米的矩形，根据两块矩形绿地的面积之和为56平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：设人行道的宽度为x米，则两块矩形绿地可合成长为（20﹣3x）米，宽为（8﹣2x）米的矩形， 依题意，得：（20﹣3x）（8﹣2x）＝56， 整理，得：3x2﹣32x+52＝0， 解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽为2米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，根据题意列出关于x的方程是解题的关键． 例11．如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？ 【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x米，而与墙平行的一边开一道2米宽的门，现有能围成20米长的篱笆，那么平行于墙的一边长为（20﹣2x+2）米，而仓库的面积为60米2，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米， 依题意得（20﹣2x+2）x＝60， x2﹣11x+30＝0， （x﹣6）（x﹣5）＝0， ∴x1＝6或x2＝5， 当x1＝6时，20﹣2x+2＝10； 当x2＝5时，20﹣2x+2＝12＞10，不合题意舍去． 答：该长方形相邻两边长要取10米，6米． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 例12．如图，在一块长为30米，宽为20米的长方形空地上，修建两幢底部是长方形的小楼房，其余部分铺设草坪．要求这些草坪的宽都相等，并且两幢小楼房的底部面积的和与草坪的面积的比是1：3，求草坪的宽度． 【分析】设草坪的宽度为x米，则两幢小楼房的底部长和宽分别是（20﹣2x）米和（30﹣3x）米，根据面积公式即可列方程求解． 【解答】解：设草坪的宽度为x米，则两幢小楼房的底部长和宽分别是（20﹣2x）米和（30﹣3x）米， 由题意，得（20﹣2x）（30﹣3x）＝×20×30． 解得x1＝5，x2＝15（舍去）． 答：草坪的宽度为5米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 6．由实际问题抽象出分式方程 例13．已知甲乙两名同学各带60元和45元去文具店购买文具，甲购买笔记本，乙购买钢笔，已知钢笔的单价是笔记本的2倍少3元，结账时甲购买的件数比乙多4件，若设笔记本单价为x元，可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】设笔记本单价为x元，则钢笔的单价为（2x﹣3）元，利用数量＝总价÷单价，结合结账时甲购买的件数比乙多4件，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设笔记本单价为x元，则钢笔的单价为（2x﹣3）元， 依题意得：﹣4＝． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 例14．某校八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝14岁生日活动，先遣队与大部队同时出发．已知先遣队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍，预计比大部队早半个小时到达目的地．如果设大部队的行进速度为x千米/时，那么根据题意，列出的方程为 　　． 【分析】设大部队的行进速度为x千米/时，则先遣队的行进速度为1.2x千米/时；根据“大部队用时﹣先遣队用时＝0.5小时”列分式方程即可． 【解答】解：设大部队的行进速度为x千米/时，则先遣队的行进速度为1.2x千米/时．根据题意，可列出方程． 故答案为：． 【点评】本题是由实际问题抽象出分式方程的知识，属于行程问题；有两个队：先遣队和大队；路程都是15千米，时间相差半小时，速度：先遣队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍；根据速度的关系设未知数，根据时间关系列方程． 7．分式方程的应用 例15．元旦，小红和弟弟小杰两人以包馄饨来庆祝成长，两人实际所包的馄饨数之比是5：3（小红：小杰），调皮的弟弟小杰从小红包好的馄饨里拿了2个放入自己的成果行列后，宣称自己和姐姐包好的馄饨数之比是2：3．求两人一共所包的馄饨数．（列分式方程解应用题） 【分析】设小红和弟弟小杰两人实际所包的馄饨数分别为5x个，3x个，根据自己和姐姐包好的馄饨数之比是2：3列方程即可得到答案． 【解答】解：设小红和弟弟小杰两人实际所包的馄饨数分别为5x个，3x个， 根据题意得，（5x﹣2）：（3x+2）＝3：2， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是分式方程的根， 故两人一共所包的馄饨数为5×10+3×10＝80（个）， 答：两人一共所包的馄饨数为80个． 【点评】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 例16．某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元． （1）购买甲种礼品一共用去 　360　元；（请直接写出答案） （2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？ 【分析】（1）设买甲种礼品花了x元，则买乙种礼品花了（x+180）元，由题意：用900元购买了甲、乙两种礼品，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设乙种礼品的单价为a元，则甲种礼品的单价为2a元，由题意：用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设买甲种礼品花了x元，则买乙种礼品花了（x+180）元， 根据题意，得：x+x+180＝900， 解得：x＝360， 即买甲种礼品一共用去360元， 故答案为：360； （2）设乙种礼品的单价为a元，则甲种礼品的单价为2a元， 根据题意，得：+＝240 解得：a＝3， 经检验：a＝3是原分式方程的解，且符合题意， 答：乙种礼品的单价为3元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 五．二元二次方程组 例17．由方程组消去y后化简得到的方程是（　　） A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 【分析】根据题目中方程组的特点，由x﹣y﹣1＝0，可以得到x＝y+1，然后将y+1看成一个整体，换为x代入第二方程，再化简即可解答本题． 【解答】解：， 由①，得 x＝y+1③， 将③代入②，得 （x﹣1）2+x2+4＝0， 化简，得 2x2﹣2x+5＝0， 故选：D． 【点评】本题考查二元二次方程组，解答本题的关键是明确消元法，利用方程的思想解答． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．解方程组：． 【分析】由x+2y＝3得x＝3﹣2y，代入x2﹣4xy+4y2＝1，可得关于y的一元二次方程，即可解得原方程组的解． 【解答】解：， 由①得：x＝3﹣2y③， 把③代入②得：（3﹣2y）2﹣4（3﹣2y）•y+4y2＝1， 整理得：2y2﹣3y+1＝0， 解得y1＝1，y2＝， 当y1＝1时，x＝3﹣2y＝1， 当y2＝时，x＝3﹣2y＝2， ∴方程组的解为：或． 【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用代入消元法，把二元二次方程组转化为一元二次方程． 2．下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元二次方程组的定义，逐个判断得结论． 【解答】解：选项A符合二元二次方程组的概念；选项B含分式方程，选项D含无理方程，故B、C都不是二元二次方程组； 选项C是二元一次方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了二元二次方程组的定义，掌握二元二次方程组的概念是解决本题的关键． 3．方程x4+2x2﹣3＝0的实数根是 　x＝1或x＝﹣1　． 【分析】用换元法，设y＝x2，将原方程转化为关于y的一元二次方程，解得y，即可求出原方程的实数根． 【解答】解：设y＝x2，则原方程变为：y2+2y﹣3＝0， 解y2+2y﹣3＝0得y1＝﹣3，y2＝1， 当y1＝﹣3时，x2＝﹣3，无实数根， 当y2＝1时，x2＝1，解得x1＝1，x2＝﹣1， ∴方程x4+2x2﹣3＝0的实数根是x＝1或x＝﹣1． 故答案为：x＝1或x＝﹣1． 【点评】本题考查解高次方程和解一元二次方程，解题的关键是用代入法把原方程转化为一元二次方程． 4．方程组的解是 　　． 【分析】解二元二次方程组，用代入消元转化成一元二次方程，解出方程即可． 【解答】解： 由①得：y＝x﹣5 ③， 将③代入②：x（x﹣5）＝﹣6， 整理得：x²﹣5x+6＝0， x1＝2，x2＝3． 将上述x代入③， 得：y1＝﹣3，y2＝﹣2． ∴方程组的解：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二元二次方程组，考核的是学生解二元二次方程组的能力以及转化思想，因为含有二次项，所以运用代入消元法转化成一元二次方程是关键． 5．将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为8000元，售价应该定为多少元？ 【分析】设涨价x元，则每个的销售利润为（40×25%+x）元，可售出（500﹣10x）个，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入[40×（1+25%）+x]中即可求出售价应该定为60元或80元． 【解答】解：设涨价x元，则每个的销售利润为（40×25%+x）元，可售出（500﹣10x）个， 依题意得：（40×25%+x）（500﹣10x）＝8000， 整理得：x2﹣40x+300＝0， 解得：x1＝10，x2＝30， 当x＝10时，40×（1+25%）+x＝40×（1+25%）+10＝60； 当x＝30时，40×（1+25%）+x＝40×（1+25%）+30＝80． 答：售价应该定为60元或80元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个面积为10平方米的长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长和宽分别是多少米？ 【分析】设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米，根据隔离区面积为10平方米，列出方程并解答． 【解答】解：设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米． 依题意，得x•（8﹣x+1）＝10， 解得x1＝5，x2＝4． 当x＝5时，5＞4.5（舍去）， 当x＝4时，4＜4.5米． 答：隔离区的长为4米，宽为2.5米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 7．经预算，某工厂从2022年1月份起，每月生产收入将是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长．经预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元．3月份以后，每月的生产收入稳定在3月份的水平． （1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率； （2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？（即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利润） 【分析】（1）设2月和3月每月生产收入增长的百分率为x，利用3月份的生产收入＝1月份的生产收入×（1+每月生产收入增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设治理污染y个月后，所投资金开始见成效，根据所获利润不小于不治污情况下所获利润，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设2月和3月每月生产收入增长的百分率为x， 依题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：2月和3月每月生产收入增长的百分率为20%． （2）设治理污染y个月后，所投资金开始见成效， 依题意得：25+25×（1+20%）+36（y﹣2）﹣85≥（22﹣2）y， 解得：y≥6， 又∵y为正整数， ∴y可以取得的最小值为7． 答：治理污染7个月后，所投资金开始见成效． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．如图，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进．有一棵百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米． 问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？ （2）离开路口经过多少时间，两人与这棵古树所处的位置恰好在一条直线上？ 【分析】（1）设离开路口后经过x小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．根据PA＝PB构建方程即可解决问题； （2）设离开路口经过y小时，两人与这棵古树所处的位置恰好在一条直线上．作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F．根据tan∠BPE＝tan∠PAF，构建方程即可解决问题； 【解答】解：（1）设离开路口后经过x小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 由题意P（2，3）．A（4x，0），B（0，5x）， ∵PA＝PB， ∴（2﹣4x）2+32＝22+（3﹣5x）2， 解得x＝或0（舍弃）， 答：经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． （2）设离开路口经过y小时，两人与这棵古树所处的位置恰好在一条直线上．作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F． ∵B，P，A共线， ∴∠BPE＝∠PAF， ∴tan∠BPE＝tan∠PAF， ∴＝， 解得：y＝或0（舍弃）， 答：离开路口经过小时，两人与这棵古树所处的位置恰好在一条直线上 【点评】本题考查动点问题、平面直角坐标系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．藏族小伙小游在九寨沟开店做牛肉生意，根据协议，每天他会用8880元购进牦牛肉和黄牛肉240斤，其中牦牛肉和黄牛肉的数量之比为3：1，已知每斤牦牛肉的售价比每斤黄牛肉的售价多15元，预计当天可全部售完． （1）若小游预计每天盈利不低于2220元，则牦牛肉每斤至少卖多少元？ （2）若牦牛肉和黄牛肉均在（1）的条件下以最低价格销售，但8月份因为九寨沟地震，游客大量减少，导致牛肉滞销，小游决定降价销售每天进购的牛肉，已知牦牛肉的单价下降a%（其中a＞0），但销量还是比进购数量下降了a%，黄牛肉每斤下降了3元，销量比进购数量下降了a%，最终每天牦牛肉的销售额比黄牛肉销售额的5倍还多350元，求a的值． 【分析】（1）设牦牛肉每斤卖x元，根据盈利＝销售额﹣成本价，销售额＝销售价×销售量列出方程并解答； （2）根据“每天牦牛肉的销售额比黄牛肉销售额的5倍还多350元”列出关于a的方程并解答即可． 【解答】解：（1）设牦牛肉每斤卖x元，则每斤黄牛肉为（x﹣15）元． 因为购进牦牛肉和黄牛肉240斤，其中牦牛肉和黄牛肉的数量之比为3：1， 所以购进牦牛肉180斤，购进黄牛肉60斤， 依题意得：180x+60（x﹣15）﹣8880≥2220， 解得x≥50． 答：牦牛肉每斤至少卖50元； （2）由（1）知牦牛肉每斤至少卖50元，黄牛肉每斤卖35元． 依题意得：50（1﹣a%）×180×（1﹣a%）＝5×（35﹣3）×60×（1﹣a%）+350， 整理得，300（a%）2+160•a%﹣19＝0， 解得a＝10或a＝﹣（舍弃）， ∴a＝10． 【点评】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型 3.已知方程组 （1）求证：不论为何值时，此方程组一定有实数解； （2）设等腰△ABC的三边长分别为，，，其中，且，是该方程的两个解，求△ABC的周长． 【答案】（1）将代入，得， 整理得，， 所以不论为何值时，此方程组一定有实数解； （2）可分为两种情况，或者． 第一种情况，即方程组有两个相等的实数根，可知，从而， 由韦达定理得，此时不能构成三角形，舍去； 第二种情况，将代入，得， 由韦达定理得，可得：，此时能构成三角形， 故周长=4+4+2=10． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题 1．下列方程是二项方程的是（　　） A．2x2＝0 B．x2﹣x＝0 C．x3﹣1＝0 D．y4+2x2＝1 【分析】根据二项方程的定义进行判断即可． 【解答】解：x3﹣1＝0为二项方程． 故选：C． 【点评】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．注意理解二项方程的定义． 2．下列方程是一元高次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 【分析】根据一元高次方程的定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，即可得出答案． 【解答】解：这四个方程都只含一个未知数， ∵A，B中未知数的项的次数小于等于2， ∴A，B选项不符合题意， ∵C中分母中含有未知数， ∴是分式方程，C选项不符合题意， ∵D符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程， ∴D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了一元高次方程的定义，注意几元几次方程都首先是整式方程． 3．下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元二次方程组的定义，逐个判断得结论． 【解答】解：选项A符合二元二次方程组的概念；选项B含分式方程，选项D含无理方程，故B、C都不是二元二次方程组； 选项C是二元一次方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了二元二次方程组的定义，掌握二元二次方程组的概念是解决本题的关键． 4．某市加大对绿化的投资，2015年绿化投资a万元，若以后每年绿化投资金额的年增长率均为x，则2017年绿化投资的金额为（　　） A．a（1+x）2 B．a（1+x%）2 C．（1+x%）2 D．a+a（x%）2 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2007年用于绿化投资a万元”，可得出代数式． 【解答】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么2017年绿化投资的金额为a（1+x）2， 故选：A． 【点评】本题为平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 5．甲队修路120m与乙队修路100m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m，设乙队每天修路xm．依题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】乙队每天修路xm，则甲队每天修（x+10）米，根据题意可得等量关系：甲队修路120m与乙队修路100m所用天数相同，根据等量关系列出方程，再解即可． 【解答】解：设乙队每天修路xm，则甲队每天修（x+10）米，由题意得： ＝， 故选：B． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的关键语句，确定等量关系． 二．填空题 6．二元二次方程x2﹣2xy﹣3y2＝0分解为两个一次方程的结果为　x﹣3y＝0和x+y＝0　． 【分析】把等号左边的二次三项式因式分解即可求得． 【解答】解：∵x2﹣2xy﹣3y2＝0， ∴（x﹣3y）（x+y）＝0． ∴x﹣3y＝0或x+y＝0． 故答案为：x﹣3y＝0和x+y＝0． 【点评】本题考查了高次方程．解决本题的关键是利用十字相乘法把等号左边的多项式因式分解． 7．某超市10月份销售额是100万元，计划12月份的销售额达到144万元，若每月销售额增长率相同，则此增长率是　20%　． 【分析】设每月销售额的增长率为x，根据该超市10月份及12月份的销售额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设每月销售额的增长率为x， 依题意，得：100（1+x）2＝144， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 故答案为：20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三．解答题 8．解方程组：． 【分析】由②得：y＝4﹣x③，把③代入①得：x2﹣x（4﹣x）﹣6（4﹣x）2＝0，解得x1＝8，x2＝3，即可得到方程组的解． 【解答】解：由②得：y＝4﹣x③， 把③代入①得：x2﹣x（4﹣x）﹣6（4﹣x）2＝0， 整理得x2﹣11x+24＝0， 解得x1＝8，x2＝3， 当x1＝8时，y＝4﹣8＝﹣4， 当x2＝3时，y＝4﹣3＝1， ∴方程组的解为：，． 【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用代入消元法，把二元二次方程组转化为一元二次方程． 9．某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积40万亩的任务．后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前2年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多3万亩，求原计划平均每年的绿化面积． 【分析】设原计划平均每年的绿化面积为x万亩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合要提前2年完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设原计划平均每年的绿化面积为x万亩，调整后平均每年的绿化面积为（z+3）万亩， 依题意，得：﹣2＝， 化简，得：x2+7x﹣60＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣12， 经检验，x1＝5，x2＝﹣12均为原方程的解，但x2＝﹣12不合题意舍去． 答：原计划平均每年的绿化面积为5万亩． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10．旺鑫果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，由于水果畅销，很快售完，第二次用1452元购买了一批水果，每千克的进价比第一次提高了10%，所购买的水果的数量比第一次多20千克，求第一次购买水果的进价是每千克多少元？ 【分析】设第一次购买水果的进价是每千克x元，则第二次购买水果的进价是每千克（1+10%）x元，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进20千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设第一次购买水果的进价是每千克x元，则第二次购买水果的进价是每千克（1+10%）x元， 依题意，得：﹣＝20， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意． 答：第一次购买水果的进价是每千克6元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 11．制造一种产品，原来每件成本价500元，销售价625元，经市场预测，两个月后销售价将下降15.2%，为保证利润不变，必须降低成本，问平均每个月下降成本的百分比是多少？ 【分析】设平均每个月成本下降x，分别表示出下降后的售价及成本即可列出方程求解． 【解答】解：设平均每个月成本下降x， 根据题意得：625（1﹣15.2%）﹣500（1﹣x）2＝625﹣500， 解得：x＝﹣1.9（舍去）或x＝0.1＝10%， 答：平均每个月下降成本的百分比是10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出下降后的成本和售价，难度不大． 题组B 能力提升练 一．填空题 1．双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为　0　． 【分析】设x2＝a，则原方程可化为：a2﹣2019a+4＝0，根据Δ＞0，可知方程有两个不相等的实根，又得两根为正数，当x2＝a1和x2＝a2时，分别有两个不相等的实数根，四个根和为0． 【解答】解：设x2＝a，则原方程可化为：a2﹣2019a+4＝0， ∵Δ＝（﹣2019）2﹣4×4＞0， ∴方程有两个不相等的实根， 设方程a2﹣2019a+4＝0的两根为a1、a2， ∴a1+a2＝2019，a1a2＝4， ∴a1＞0，a2＞0， 当x2＝a1时，有两个不相等的实数根，两根和为0， 当x2＝a2时，有两个不相等的实数根，两根和为0， ∴双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了利用换元法解高次方程，利用根与系数的关系和根的判别式确定根的关系是关键． 2．将方程组：转化成两个二元二次方程组分别是　　和　　． 【分析】方程组中，方程x2﹣5xy+6y2＝0的左边可因式分解，根据：两个因式的积为0，则其中至少有一个因式为0，将原方程组转化为两个二元二次方程组． 【解答】解：由方程x2﹣5xy+6y2＝0得（x﹣2y）（x﹣3y）＝0， 即x﹣2y＝0或x﹣3y＝0， 所以，原方程组可化为，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了二元二次方程组的定义．关键是将方程组中的某个方程左边因式分解，使其积为0，可将较复杂的高次方程组转化为简单的高次方程组． 3．方程组的解是　或　． 【分析】首先把方程①变形为x＝﹣3﹣y，然后利用代入法消去x，得到关于y的一元二次方程，解方程求出y，然后就可以求出x，从而求解． 【解答】解：， 解：由①得，x＝﹣3﹣y③， 把③代入②得，（﹣3﹣y）y＝2， 解得：y1＝﹣1，y2＝﹣2， 把y1＝﹣1，y2＝﹣2分别代入③得，x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∴原方程组的解为或， 故答案为：或． 【点评】此题主要考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可． 4．已知关于x的方程2x2+mx﹣1＝0是二项方程，那么m＝　0　． 【分析】根据方程的项数，可得答案． 【解答】解：由题意，得 m＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了高次方程，利用方程的项数得出方程不含一次项是解题关键． 5．二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是　x﹣4y＝0　 或　x+2y＝0　． 【分析】把x2﹣2xy﹣8y2＝0看作是关于x的一元二次方程，方程左边进行因式分解得到（x﹣4y）（x+2y）＝0，于是得到两个一次方程：x﹣4y＝0或x+2y＝0． 【解答】解：∵x2﹣2xy﹣8y2＝0， ∴（x﹣4y）（x+2y）＝0， ∴x﹣4y＝0或x+2y＝0． 故答案为：x﹣4y＝0；x+2y＝0． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解． 6．小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是　12　米． 【分析】根据矩形的面积公式得到长与宽的积，再根据勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和即可． 【解答】解：设矩形的长是a，宽是b， 根据题意，得： ， ②+①×2，得（a+b）2＝180，即a+b＝6， ∴2（a+b）＝6×2＝12（米）． 答：矩形的周长是12米． 故答案为：12． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，解决本题的关键是综合运用以上知识． 7．小王步行的速度比跑步的速度慢50%，跑步的速度比骑车的速度慢50%．如果他骑车从A城到B城，再步行返回A城共需要两小时，那么小王跑步从A城到B城需要　48　分钟． 【分析】此题可设骑车速度为x，则跑步的速度为（1﹣50%）x，步行的速度为（1﹣50%）（1﹣50%）x，根据骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时列出分式方程解答即可． 【解答】解：设骑车速度为x，则跑步的速度为（1﹣50%）x，步行的速度为（1﹣50%）（1﹣50%）x，根据题意列方程得 +＝2， 解得x＝， 经检验，x＝是原方程的解， 跑步的速度为， 小王跑步从A城到B城需要1÷＝（小时）， 小时＝48分钟． 故小王跑步从A城到B城需要48分钟． 故答案为：48． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①设未知数，②根据题意找出等量关系，③列出方程，④解出分式方程并检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验． 8．某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元，如果每月产值的增长率相同，则这个增长率是　20%　． 【分析】等量关系为：七月份的产值×（1+增长率）2＝九月份的产值，把相关数值代入求合适的解即可． 【解答】解：设增长率为x． 100×（1+x）2＝144， ∵1+x＞0， ∴1+x＝1.2， ∴x＝20%． 故每月的增长率是20%． 故答案是：20%． 【点评】考查一元二次方程的应用；得到九月份产值的等量关系是解决本题的关键． 9．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年7月份和9月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件．若假设该公司每月投送的快递件数的增长率相同，则这家公司投送快递件数的月平均增长率为　10%　． 【分析】设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为20万件和24.2万件即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得 20×（1+x）2＝24.2， 解得：x1＝10%，x2＝﹣210%． 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%． 故答案是：10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据7月份与9月份完成投递的快递总件数之间的关系列出关于x的一元二次方程． 二．解答题（共14小题） 10．解方程组：． 【分析】先利用加减消元法解得y2和x2的值，再开平方解得x和y的值即可． 【解答】解：①﹣②得：5y2＝5， ∴y2＝1③， 把③代入①，得x2＝4， ∴x＝±2，y＝±1， ∴方程组的解为，，，． 【点评】本题考查了高次方程的解法，运用整体思想、熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 11．某西红花种植基地需要种植5000株西红花．最初采用人工种植，种植了2000株后，为提高效率，采用机械化种植，机械化种植比人工种植每小时多种植50株，结果比原计划提前30小时完成任务．求人工种植每小时种多少株西红花？ 【分析】设人工种植每小时种x株西红花，则机械化种植每小时种（x+50）株西红花，由题意：需要种植5000株西红花．最初采用人工种植，种植了2000株后，为提高效率，采用机械化种植，机械化种植比人工种植每小时多种植50株，结果比原计划提前30小时完成任务，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设人工种植每小时种x株西红花，则机械化种植每小时种（x+50）株西红花， 由题意得：﹣（+）＝30， 解得：x＝50或x＝﹣100（不合题意舍去）， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 答：人工种植每小时种50株西红花． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的解法，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程． 12．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工12000个口罩，在实际生产中由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的1.5倍，从而提前2天完成任务． （1）问该企业原计划每天生产多少个口罩？ （2）如果该企业按原计划的工作效率加工了a个口罩后，才将效率提高到原来的1.5倍，则该企业完成这批口罩工作任务一共用了多少天？（所得结果用含有a的代数式表示；a为大于零的整数） 【分析】（1）设该企业原计划每天生产x个口罩，则在实际生产中每天生产1.5x个口罩，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）由总时间＝按原计划的工作效率加工了a个口罩所用的时间+工作效率提高后加工（12000﹣a）个口罩所用的时间，即可得出答案． 【解答】解：（1）设该企业原计划每天生产x个口罩，则在实际生产中每天生产1.5x个口罩， 由题意得：﹣＝2， 解得：x＝2000， 经检验：x＝2000是原分式方程的解，且符合题意， 答：该企业原计划每天生产2000个口罩； （2）该企业完成这批口罩工作任务一共用的天数为：+＝（+4）天， 答：该企业完成这批口罩工作任务一共用了（+4）天． 【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出分式方程． 13．2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作．着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程720米，东线地势稍有起伏，行程180米，走西线比走东线多用2小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快60米．同时，为了确保安全，火星车的速度要小于100米/小时，问走东线、走西线的速度各是多少？ 【分析】设走东线的速度是x米/小时，则走西线的速度是（x+60）米/小时，根据“走西线比走东线多用2小时”列出方程并解答．注意：分式方程需要验根． 【解答】解：设走东线的速度是x米/小时，则走西线的速度是（x+60）米/小时， 根据题意，得﹣2＝， 解得x＝180或x＝30． 因为火星车的速度要小于100米/小时， 经检验x＝30是原方程的解． 所以x＝30符合题意． 所以x+60＝90． 答：走东线的速度是30米/小时，则走西线的速度是90米/小时． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 14．如图所示，若要建一个由两个相同的小长方形组成的长方形花圃ABCD．花圃的面积为63平方米且一边靠墙（墙长15米），三边用篱笆围成．现有篱笆30米．求这个长方形花圃的长与宽． 【分析】设这个长方形花圃的宽为x米，平行于墙的边长为（30﹣3x）米，根据面积为63平方米，可列方程求解． 【解答】解：设这个长方形花圃的宽为x米， 依题意得：x（30﹣3x）＝63， 解得：x1＝3，x2＝7， 当x＝3时，30﹣3x＝21＞20（舍去）． 当x＝7时，30﹣3x＝9＜20． 答：这个长方形花圃的长为9米，宽为7米． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程． 15．某中学八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝十四岁生日活动，先遣队与大部队同时从学校出发．已知先遣队每小时比大部队多行进1千米，预计比大部队早半小时到达目的地．求先遣队与大部队每小时各行进了多少千米． 【分析】设先遣队每小时行进x千米，则大部队每小时行进（x﹣1）千米；根据“先遣队和大队同时出发，预计比大部队早半小时到达”列分式方程解出即可． 【解答】解：设先遣队每小时行进x千米，则大部队每小时行进（x﹣1）千米． 根据题意，得 ． 解得 x1＝6，x2＝﹣5． 经检验：x1＝6，x2＝﹣5是原方程的根，x2＝﹣5不合题意，舍去． ∴原方程的根为x＝6． ∴x﹣1＝6﹣1＝5． 答：先遣队与大部队每小时分别行进6千米和5千米． 【点评】本题是分式方程的应用，属于行程问题；有两个队：先遣队和大队；路程都是15千米，时间相差半小时，速度：先遣队每小时比大部队多行进1千米；根据速度的关系设未知数，根据时间关系列方程，注意未知数的值有实际意义并检验． 16．小王开车从甲地到乙地，去时走A线路，全程约100千米，返回时走B线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度． 【分析】设小王开车返回时的平均速度为x千米/小时（x≥70），则小王开车去时的平均速度为（x+20）千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合去时与返回时时间的关系即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论． 【解答】解：设小王开车返回时的平均速度为x千米/小时（x≥70）， 则小王开车去时的平均速度为（x+20）千米/小时， 根据题意得：﹣＝， 解得：x＝80或x＝60（舍去）， 经检验：x＝80是原方程的解． 答：小王开车返回时的平均速度为80千米/小时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，根据时间＝路程÷速度结合去时与返回时时间的关系列出关于x的分式方程是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$