6.4《多边形的内角和与外角和(2)》课件 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

6.4 多边形的内角和与外角和(2) 第六章 平行四边形 温故知新 1.多边形内角和定理： n边形的内角和等于 °. 2.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个 多边形分成7个三角形，这个多边形是 边形， 它的内角和为 °. (n-2)180 九 1260 3.若一个多边形的内角和为1080°,则它是 边形. 八 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步. 情境引入 (1)小明每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改 变的角是哪个角？在教材155页图上标出这些角. (2)他每跑完一圈，身体转过的角度 之和是多少？ (3)在上图中，你能求出1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5的 结果吗？你是怎样得到的？ 1 2 3 5 4 如图，1,  2,  3,  4,  5 即为方向改变的角. 想一想 因为小明又回到了出发时的方向，所以共转过了360°. 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5 = 360°. 怎样证明呢？ 想一想 已知:∠1，∠2，∠3，∠4，∠5为小刚转过的角. 求证:1+2+3+4+5 = 360°. 证明:∵∠1+∠BAE=180°, ∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠BCD=180°, ∠4+∠CDE=180°， ∠5+∠DEA=180°, A B C D E ∴∠1+∠BAE+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+ ∠CDE+∠5+∠DEA = 900° . ∴1+2+3+4+5 = 900°－540° = 360°. ∵五边形的内角和为(5-2)×180°= 540°， 即∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA = 900°， 想一想 如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗？ 如果广场的形状是八边形呢？ 1 6 3 2 4 5 【发现】对于六边形，仍然有： ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 = 360°. 八边形这样8个角的和也等于360°. 6 在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 它们的和叫做这个多边形的外角和. 学一学 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角 叫做这个多边形的外角. 一、多边形的外角： 二、多边形的外角和： 1 6 3 2 4 5 三、多边形的外角和定理： 多边形的外角和都等于360°. 例题讲解 解:设这个多边形是n边形，则它的内角和为(n－2)·180°， 外角和为360°. 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它 是几边形？ 例1 根据题意，得(n－2)·180°= 3×360°. 解得 n = 8. 所以这个多边形是八边形. 1.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形? 随堂练习 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和为(n-2)·180°， 外角和为360°. 根据题意，得(n－2)·180°= 2×360°. 解得n = 6 . 所以这个多边形是六边形. 2.如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角多少度？ 解：(6－2)·180 ÷ 6 = 120°. 所以每个内角等于120°. 习题6.8 1.一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个 多边形是几边形？能确定它的每个外角的度数吗？ 解：这个多边形是四边形，它的每个外角是90°. 理由：∵多边形的每个外角与其相邻的内角相等， 且两者的和为180°， ∴每个外角和内角都是90°. ∴这个多边形的边数为 360°÷90°= 4. 习题6.8 解：存在，为十二边形. 2.是否存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角 的 ？简述你的理由.   理由:如果存在这样的多边形，设它的一个外角为x°, 则对应的内角为180°－x°. 由题意得 x = (180－x)，   所以这个多边形的边数为 360°÷30°= 12. 解得 x = 30. 即这个多边形为十二边形. 习题6.8 3.若两个多边形的边数相差1，则它们的内角和、外角和 分别有什么关系？ 边数每增加1，多边形内角和增加180°； 理由：设多边形的边数分别为n和n＋1. 内角和之差为： (n＋1－2)·180°－(n－2)·180° =(n－1)·180°－(n－2)·180° =180°. 外角和不变，仍是360°. 习题6.8 4.如图,下列四边形是同一个四边形不断缩小(保持形状不变) 的结果.(1)在图中标出各个四边形的外角； 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (2)各个外角的大小没有发生变化. (2)在缩小的过程中,四边形对应的各个外角的大小是否发生 了变化？ 解：(1)如图即为各图中的四边形的外角. 习题6.8 (3)如果保持四边形的形状不变，将四边形不断缩小下去， 你能想象一下最终的形状吗？你能借助上面的变化过程 说明四边形的外角和吗？ (4)你能类似地说明五边形、六边形一般多边形的外角和吗？ 1 2 3 4 如果我们把四边形无限缩 小到一个点，那么这四个角恰 好组成一个周角，由此也可以 得到猜想： 1＋2＋3＋4 = 360°. 3 1 2 4 类似地，其他五边形、六边形以及一般多边形的外角和也都等于360°. 习题6.8 5.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能 有几个锐角？ 解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角. 理由:设四边形的四个内角的度数分别为α°,β°,γ°,θ°， 则α＋β＋γ＋θ = 360°.所以α，β，γ，θ 的值最多可以 有三个大于90°，否则，若α，β，γ，θ都大于90°， 则α＋β＋γ＋θ＞360°，与前面结论矛盾； 同理，最多也只能有三个小于90°. 1.多边形的外角及外角和的定义； 2.多边形的外角和定理； 3.在探求过程中我们使用了观察、归纳的数学方 法，并且运用了类比、转化等数学思想. 课堂小结 随堂检测 1.在四边形的四个内角中，最多有 个钝角; 最多能有 个锐角. 2.在n边形的n个外角中，最多有 个钝角； 所以n个内角中，最多能有 个锐角. 3 3 3 3 3.若一个多边形，有4个内角是钝角，其他是锐角， 那么这个多边形的边数最多为 . 7 作 业 教材159页第14题 再 见 $$