6.4 多边形的内角和与外角和课件 -2024-2025学年北师大版八年级数学下册　

6.4 多边形的内角和与外角和 第六章 平行四边形 预习检测 1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______． 120° 3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米． 150 4.一个多边形的内角和不可能是（ ） A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° D 5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（ ） A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° C 6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和. 解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°. 01 02 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式；（重点） 二.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点） 学习目标 情境导入 1. 你还记得三角形内角和是多少度吗？ 三角形内角和 180° 2. 你知道长方形和正方形的内角和是多少吗？其他四边形的内角和是多少？ 都是 360° 情境导入 在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形. 外角 外角 内角 边 顶点 对角线 探索新知 (1)上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流. (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？ 探索新知 (1)上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流. 如图，对于一般的四边形它的内角和是多少？你是怎么得到的？ 方法 1：用量角器测量. 方法 2：把四个角剪下来， 可以拼成一个周角. 方法 3：如图，连接 BD，四边形被分为两个三角形，所以四边形 ABCD 内角和为 180°×2 = 360°. 探索新知 (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？ 五边形的内角和等于 3 个三角形内角和之和：180°×3 = 540° 五边形的内角和等于 5 个三角形内角和之和减去一个周角： 180°×5－360° = 540° 探索新知 …… 多边形边数 从一个顶点引出的对角线条数 分割成的三角形个数 多边形内角和 三角形（n=3） 0 1 180° 四边形（n=4） 1 2 360° 五边形（n=5） 2 3 540° 六边形（n=6） 3 4 720° …… n边形 n-3 n-2 （n－2）·180° 分割 多边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 总结归纳 多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n-2)×180 °. 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）•180=360+720， 解得n=8. ∵这个多边形的每个内角都相等， （8-2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°． 例3 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数． 解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D, ∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平 分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求 得∠P的度数． 可运用整体思想 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°， ∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°. ∵AP平分∠EAB, ∴∠PAB＝ ∠EAB. 同理可得∠ABP＝ ∠ABC. ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°， ∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA =180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°． 多边形的外角和 二 小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 如图，∠A的外角是∠1. E B C D 1 2 3 4 5 A 多边形每个顶点处各取一个外角的和叫做这个多边形的外角和. 概念学习 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角． 问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角的和是多少？ E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 5×180°=900° E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形外角和 =360 ° =5个平角 －五边形内角和 =5×180° －(5－2) × 180° 结论：五边形的外角和等于360°. 问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和． n边形外角和 n边形的外角和等于360°. －(n－2) × 180° =360 ° =n个平角-n边形内角和 = n×180 ° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考：n边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形. (2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是 ______边形. 六 八 正多边 形边数 内角 3 4 5 6 8 n 60 ° 90 ° 120 ° 练一练 完成下面的表格： 108 ° 135 ° 例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6. 例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是7:2，求这个多边形的边数. 解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°, 根据题意得 7x+2x=180， 解得 x=20. 即每个内角是140 °，每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形. 还有其他解法吗？ 解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得 解得n=9. 答：这个多边形是九边形. 【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360°， 则该正多边形的边数为360÷120=3， 故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是3． 例6 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数． 解：由题意得 AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°， 所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°. 能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数. 解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°. 8 9 课堂小结 $$