6.4多边形的内角和与外角和（1）课件2024-2025学年北师大版八年级数学下册

平行四边形 6.4 多边形的内角和与外角和（1） 北师大版八年级下册 内容总览 学习目标 01 温故知新 02 新知讲解 03 典例精析 04 课堂练习/ 课堂总结 05 06 目录 作业布置 学习目标 1、掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想2、经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．3、让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造． 温故知新 多边形的有关概念 可表示为：五边形ABCDE或五边形DCBAE 顶点 边 内角 A C B D E 对角线 温故知新 如图,对于一般的四边形它的内角和是否也等于360°？你是怎么得到的？ 思路1：用量角器测量. 思路2：把四个角剪下来， 可以拼成一个周角. 温故知新 思路3：如图连接一条对角线，把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和就是360°. 新知讲解 探究多边形的内角和 三角形的内角和是180º，你根据三角形的内角和，你能否求出五边形的内角和呢？ ① ② 方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为:3×180º=540º 方法2：如图2，在AB上任取点F，连FC、FD、FE， 则五边形的内角和为： 4×180-180º=540º 新知讲解 ③ ④ 方法3：如图3，在五边开外任取一点O，连结OA、 OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为： 4×180º-180º=540° 方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、 OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为： 5×180º-360º=540° 小组合作，完成下面的表格： 多边形 的边数 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的 内角和 3 4 5 6 …… …… …… …… …… n (n－2)×180º 4× 180º 1× 180º 3× 180º 1 1 2 2 3 4 n－3 n－2 3 0 2× 180º 新知讲解 新知讲解 归纳小结： 从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形,从而得出：n 边形的内角和是(n-2)·180° 定理：n边形的内角和等于(n-2)·180° 强调：① n≥3的正整数 ②n边形的内角和是180的整数倍。 ③多边形内角和只与边数有关，与 多边形的大小，形状无关 典例精析 例1、如图，在四边形ABCD中，已知∠A+∠C=180º， 那么∠B与∠D有什么关系？为什么？ 解：∵ ∠A+∠B +∠C+∠D =（4-2）×180º= 360° ∴ ∠B +∠D =360º-（∠A+∠C） =360º-180° =180º A C B D 说明：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补． 典例精析 例题2：如图是数学教材第135页的部分截图． 在多边形中，三角形是最基本的图形．如图所示，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．数一数每个多边形中三角形的个数，你能发现什么规律？在多边形中，连接不相邻的两个顶点，所得到的线段称为多边形的对角线．【问题思考】结合如图思考，从多边形的一个顶点出发，可以得到的对角线的数量，并填写表： 多边形边数 四 五 六 … 十二 … n 从一个顶点出发，得到对角线的数量 1条 　 　 　 　 … 　 　 … 　 　 2 3 9 n-3 典例精析 【问题拓展】（1）已知平面上4个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　 　条线段．（2）已知平面上共有15个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　 　条线段．（3）已知平面上共有x个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　 　条线段 【问题探究】n边形有n个顶点，每个顶点分别连接对角线后，每条对角线重复连接了一次，由此可推导出，n边形共有 　 　 条对角线（用含有n的代数式表示．） 6 105 课堂练习 1.一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 2.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和 (　　) A.增加180° B.增加360° C.减少360° D.不变 3．如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（　　） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 4．要使如图的六边形框架形状稳定，至少需要添加对角线的条数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 C A B C 课堂练习 5.在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了1个内角，其和等于1180°，则少算的这个角的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 6．若一个多边形的每一个内角都是108°，则该多边形的内角和为　 　°． 540 C 课堂练习 7.已知一个五边形的五个内角的度数的比是13∶11∶9∶7∶5,求这五个内角中的最大角和最小角. 解:设这五个内角的度数分别为13x°,11x°,9x°,7x°,5x°. ∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°, ∴13x+11x+9x+7x+5x=540. 解得x=12. ∴最大角为13x°=156°,最小角为5x°=60°. 课堂练习 8．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1260°，则原多边形的边数是为 　 　． 9.在一个多边形中，除其中一个内角外，其余内角的和为1105°，则这个多边形的边数为 　 　． 8或9或10 9 课堂练习 10.如图1，在△ABC纸片中，点D在边AC上，点E在边AB上，沿DE折叠，当点A落在CD上时，∠DAE与∠1之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；（2）若折成图2时，即点A落在△ABC内时，请找出∠DAE与∠1，∠2之间的关系式并说明理由． 课堂练习 解：（1）结论：∠1＝2∠DAE．理由：如图1中，延长BE交CD于R． 由翻折可知，∠EAD＝∠R，∵∠1＝∠EAD+∠R，∴∠1＝2∠EAD． （2）结论：∠1+∠2＝2∠EAD．理由：如图2中，延长BE交CD的延长线于T，连接AT．由翻折可知，∠EAD＝∠ETD，∵∠1＝∠EAT+∠ETA，∠2＝∠DAT+∠DTA，∴∠1+∠2＝∠EAT+∠ETA+∠DAT+∠DTA＝∠EAD+∠ETD＝2∠EAD． 课堂总结 1.什么是多边形？ 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。 2.n边形的内角和是多少？ n边形的内角和等于(n - 2)•180° 3.过n边形的某一个顶点的所有对角线有几条？ 被分成几个三角形？ 有(n - 3) 条。 被分成(n - 2) 个三角形。 本节课你有什么感受和收获？与同伴交流。 你还有什么困惑？ 作业布置 1.n边形的内角和等于__________，九边形的内角和等于 . 2.一个多边形的内角和等于1440°，那么它是______边形。 3.正五边形的每一个内角的度数是 . 4.从六边形的一个顶点出发可画_____条对角线，这些对角线把六边形分成_____个三角形。 5.一个六边形共有_____条对角线。 (n - 2) • 180° 1260° 十 108° 三 四 九 【必做题】 作业布置 6．如图，在正五边形ABCDE中，FB⊥AB于点B，则∠BFC等于（ ） A．36° B．54° C．60° D．72° 7.如图，在四边形ABCD中过A作直线l平行于CD,若∠2-∠1=30°则∠B+∠C-∠D= ° 150 B 作业布置 8.已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由． 解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：如图，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠1+∠P＝∠2+∠D，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，整理得，2∠P＝∠B+∠D． 【 选做题】 作业布置 9．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如下图所示就是一组正多边形． （1）观察上面每个正多边形中的∠a，填写下表： 正多边形边数 4 5 6 ... n ∠a的度数 ... 45° 36° 30° 180/n° 作业布置 （2）是否存在正n边形使得∠a＝12°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由． 解：存在，∵180/n=12° ∴n=15 $$