精品解析：天津市红桥区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷

高三数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时20分钟. 答卷前，考生务必将自己的姓名､准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需放动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题5分，共45分. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为，设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的（ ） A. 最小正周期为 B. 在区间上单调 C. 图象关于直线对称 D. 图象关于点对称 5. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）=（ ） A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585 8. 球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　) A. B. C. D. 第II卷 二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 为虚数单位，若，则__________. 11. 的展开式中的的系数是__________. 12. 已知点，则以线段为直径的圆的标准方程为__________. 13. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有____________（用数字作答）． 14. 已知拋物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处切线平行于的一条渐近线，则__________. 15. 已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是__________. 三､解答题：本大题共5个小题.共75分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别是，若，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 在如图所示的几何体中，四边形 为矩形，平面 ，其中是棱 的中点. （1）求证： 平面； （2）求直线 与平面夹角的正弦值； （3）求点 到平面的距离； 18. 已知椭圆的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 19. 已知椭圆，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为）. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线与椭圆相交于点，若线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围. 20. 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. （1）求和的通项公式； （2）表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求实数的取值范围； （3），数列前项和为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时20分钟. 答卷前，考生务必将自己的姓名､准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需放动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题5分，共45分. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 2. 是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出含有绝对值的不等式的解集，根据小范围推大范围得到结果即可. 【详解】解得到假设，一定有反之不一定，故是成立的充分不必要条件. 故答案为A. 【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 3. 从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为，设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数公式求出平均数，根据中位数和众数定义，找到和，从而可以比较大小 【详解】平均数， 数据从小到大排列为：，第五个数为79，第六个数为81，所以中位数， 出现次数最多的是众数，所以众数， 所以. 故选：C. 4. 已知函数，则的（ ） A. 最小正周期为 B. 在区间上单调 C. 图象关于直线对称 D. 图象关于点对称 【答案】C 【解析】 【分析】求得最小正周期判断A；由，得，可判断B；计算可判断C；求得对称中心可判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，当时，可得，所以在不单调，故B错误； 对于C，当时，， 所以图象关于直线对称，故C正确； 对于D，由，所以， 所以函数的对称中心为，当时，函数的图象关于，故D错误. 故选：C. 5. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数运算可得，，，可得结论. 【详解】， ，又，所以， 又，所以， 故. 故选：D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由已知判断出函数的单调性，结合奇偶性可得，再解不等式可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则即为， 对于任意不等实数，不等式恒成立， 可知在上单调递减，且， 可得，解得. 故选：C. 7. 已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）=（ ） A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：正态分布曲线关于对称，因为,故选B． 考点：正态分布 8. 球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球的半径，可求表面积. 【详解】令外接圆的半径为，球的半径为， 由，得， 所以为直角三角形，则，即， 因为球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半， 所以，解得，所以球的表面积为. 故选：A. 9. 已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C． 考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算． 第II卷 二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 为虚数单位，若，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数，得到共轭复数，然后相乘得答案. 【详解】由得到复数的共轭复数，所以. 故答案为：5 11. 的展开式中的的系数是__________. 【答案】280 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】二项式的展开式的通项是， 令，解得．故的展开式中的的系数是． 故答案为：. 12. 已知点，则以线段为直径的圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径可求得圆的方程. 【详解】根据题意，的中点即为圆心，又，所以圆心坐标为， 半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有____________（用数字作答）． 【答案】9 【解析】 【分析】第一步，把1填入方格中，第二步，把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，然后填余下的两个数字，即可求解. 【详解】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法， 第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法； 第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法. 故答案为：9 14. 已知拋物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处切线平行于的一条渐近线，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线方程求焦点和渐近线，再利用直线与抛物线联立方程组求交点，结合导数求切线斜率，最后由斜率相等可得方程求解即可. 【详解】由双曲线可知：右焦点，渐近线方程为：， 而抛物线的焦点， 所以直线，与抛物线联立方程组得： ，整理得：， 解得：或（因为交点在第一象限，所以舍去） 再求导得：，所以在点处的切线斜率为， 由于切线与双曲线渐近线平行得：， 整理得：，平方得：， 解得：， 故答案为：. 15. 已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】在平面直角坐标系内画出图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】当时，作出函数的图象如下图所示， 当时，， 所以若要存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根， 则必须，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：把方程的根的问题围转化为函数图象交点个数问题，数形结合求解. 三､解答题：本大题共5个小题.共75分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别是，若，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求得，进而利用余弦定理可求得； （2）利用同角的正余弦公式可求得，进而利用正弦定理求得 （3）先求得，进而利用两角差的正弦公式可求得. 【小问1详解】 由， 得，且，则， 又因为， 解得； 【小问2详解】 因为，得 且 解得； 【小问3详解】 因为， ， . 17. 在如图所示的几何体中，四边形 为矩形，平面 ，其中是棱 的中点. （1）求证： 平面； （2）求直线 与平面夹角的正弦值； （3）求点 到平面的距离； 【答案】（1）证明：连接 交 于点，连接， 因为分别为的中点，所以 ， 又平面，平面， 则 平面； （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）连接 交 于点，连接，则由三角形的中位线定理可得 ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知可证得，且，所以以 为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解； （3）利用空间向量中的距离公式可求点 到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线平面平面 ， 所以，且， 则以 为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系； ，， 所以， 设平面的法向量为， 由，得， 令，得，且， 所以， 直线 与平面夹角的正弦值为； 【小问3详解】 因为， 且平面的法向量为， 则点 到平面的距离. 18. 已知椭圆的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，结合的关系可求得椭圆的方程； （2）设出直线方程与椭圆方程联立，求出两点坐标，最后根据直线斜率的公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为焦距为2，所以， 又， 且， 解得， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 设直线方程：得，代入， 得， 设， ， 且，则， ， 又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得 ， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值，其值为. 19. 已知椭圆，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为）. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线与椭圆相交于点，若线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，由题意可得，求解即可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为：，点，线段的中点为，联立直线与椭圆的方程可得，由韦达定理可得，可得，由点在正方形内（包括边界）的充要条件为，可求得直线斜率的取值范围. 【小问1详解】 依题意，设椭圆的方程为，焦距为， 因为以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形， 所以，所以. 故椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设直线的方程为：， 如图：设点，则线段的中点为， 由，得.① 由， 解得. 因为是方程①的两根，所以，， ， 因为，所以点不可能在轴的右边， 又直线方程分别为， 所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为， 即，即， 解得， 故直线斜率的取值范围是. 20. 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. （1）求和的通项公式； （2）表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求实数的取值范围； （3），数列前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式； (2)求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有4个元素，求出； (3)设，错位相减法求和得到，设，裂项相消法得到，从而求出，求和证明出结论. 【小问1详解】 设数列首项，设公比，设数列首项，设公差， ∵，即，∴，（舍去），， ∴．； 【小问2详解】 ， 其中， ∴，，集合， 设，， 所以当时，， 当时，， 计算可得，，，，， 因为集合有4个元素，； 【小问3详解】 ，， 设①， ②， 上式①-②得， ， 所以， 当n为奇数时，， 则 ， . 【点睛】常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等； 根式型：等； 对数型：，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $