精品解析：福建省漳州市华安县2024--2025学年上学期八年级数学期中考试卷

华安县2024-2025学年上学期期中学业质量监测 八年级数学试卷 （满分150，考试时间120分钟） 温馨提示：请把答案写在答题卷上！请不要错位、越界答题！！ 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；请把正确的选项涂在答题卡的相应位置）． 1. 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 所有实数都可以用数轴上的点来表示 C. 立方根等于它本身的数是0，1 D. 3. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是( ) A. ， B. ， C. D. ， 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各图中，能直观解释“”的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知，则“★”所表示的式子是（ ） A. B. C. D. 7. 若是一个完全平方式，则常数k的值为（ ） A. 4 B. C. D. 无法确定 8. 如图,，点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则（ ） A. B. C. D. 10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ） A. 3 B. 19 C. 21 D. 28 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 12. 如果一个数的平方根为2和m，那么m的值为_____________． 13. 利用图中的网格比较大小：______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 14. 若(x+a)(x+3)的结果中不含关于字母x的一次项，则a＝_____． 15. 若，，则______． 16. 如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当______时，和全等． 三、解答题（86分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）． 18. 先化简，再求值：，且已知：x，y值满足． 19. 如图，点B、C、E、F在一条直线上，．求证∶． 20. 规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：________，________； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． 21. 【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．可用和两种方法表示如图②中阴影部分的面积，由此可以得出，、之间的等量关系是； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （1）如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； （2）已知，，利用（1）的结论求的值． 22. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： （1）请用上述方法把分解因式； （2）求多项式的最小值； （3）试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； 【问题提出】（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 24. 【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】（1）求的结果是8的几倍？ 【证明】（2）证明两个连续奇数与（n为整数）的平方差是8的整数倍； 【延伸】（3）两个连续偶数与（m为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值． 25. 如图，，，且，． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）设与交于点，连接．若，，求与的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华安县2024-2025学年上学期期中学业质量监测 八年级数学试卷 （满分150，考试时间120分钟） 温馨提示：请把答案写在答题卷上！请不要错位、越界答题！！ 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；请把正确的选项涂在答题卡的相应位置）． 1. 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义．根据无理数的定义，判断每个选项是否符合无限不循环小数的特征即可解答． 【详解】解：是无限循环小数，是分数，是有限小数，都是有理数， 只有是无理数， 故选：A． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 所有实数都可以用数轴上的点来表示 C. 立方根等于它本身的数是0，1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根的概念，实数与数轴的关系．根据立方根，平方根，算术平方根的定义，实数与数轴的对应关系即可判断． 【详解】解：A、，2的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； B、所有实数都可以用数轴上的点来表示，正确，故此选项符合题意； C、立方根等于它本身的数是0，1，，原说法错误，故此选项不符合题意； D、，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是( ) A ， B. ， C D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子． 【详解】解：A，满足条件，也满足结论，故错误，不符合题意； B、不满足条件，也不满足结论，故错误，不符合题意； C、满足条件，不满足结论，故正确，符合题意； D、不满足条件，也不满足结论，故错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查的知识点是反证法，解题的关键是理解能说明它是假命题的反例的含义． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，单项式乘单项式等知识．根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等知识逐项计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意， 故选：D． 5. 下列各图中，能直观解释“”的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方计算，掌握数形结合的思想求解是解题的关键；’根据长方形和正方形的面积计算公式逐项判断即可． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，不符合题意； D：，符合题意． 故选：D ． 6. 已知，则“★”所表示的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据被除式、除式、商之间的关系列出式子，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7. 若是一个完全平方式，则常数k的值为（ ） A. 4 B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式应用．根据完全平方公式的结构即可求得． 【详解】解：因为是一个完全平方式， 所以， 故选：C． 8. 如图,，点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得∠A=∠D=50°，再利用三角形内角和可求得∠E． 详解】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠A=∠D=50°， ∴∠E=180°-∠D-∠F=180°-50°-100°=30°． 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应角相等． 9. 如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的性质，首先证明出，得到，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】如图所示， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ） A. 3 B. 19 C. 21 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，， ， ， 点为的中点， ， 图的阴影部分面积， ， ， 图的阴影部分面积 . 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 12. 如果一个数的平方根为2和m，那么m的值为_____________． 【答案】－2 【解析】 【分析】根据平方根的性质可直接得出答案． 【详解】解：∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数， ∴m的值为－2， 故答案为：－2． 【点睛】本题考查了平方根的性质，正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根． 13. 利用图中的网格比较大小：______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】利用勾股定理，借助三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：设该网格最小单元的边长为１，如图所示： 在中， 在中， 在中，有 故 故答案为：＞ 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的三边关系等知识点．熟记相关知识点是解题关键． 14. 若(x+a)(x+3)的结果中不含关于字母x的一次项，则a＝_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，求出a的值即可． 【详解】解：(x+a)(x+3)=x2+3x+ax+3a=x2+(a+3)x+3a， 由结果不含x的一次项，得到a+3=0， 解得：a=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15. 若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 根据同底数幂的除法计算即可得答案 【详解】解： ， 故答案为：2． 16. 如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当______时，和全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．分情况讨论：①时，；②当P运动到与C点重合时，，此时． 【详解】解：①当P运动到时，如图所示： 在和中， ， ∴， 即； ②当P运动到与C点重合时，如图所示： 在和中， ， ∴）， 即． 综上所述，的长度是或． 故答案为：或． 三、解答题（86分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式和实数混合运算法则． （1）根据立方根定义，算术平方根定义进行计算即可； （2）逆用积的乘方运算法则进行计算即可； （3）运算平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，且已知：x，y值满足． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值．先算利用平方差公式和单项式乘多项式化简，再合并同类项，最后整体代入求出即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 如图，点B、C、E、F在一条直线上，．求证∶． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明∶ ， ∴， 即 ， 在和中， ∴． ∴． 20. 规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：________，________； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． 【答案】（1）3，2 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． （1）根据题中规定的新运算结合有理数的乘方求解即可； （2）设，，根据同底数幂的乘法可得，然后结合题中规定的新运算即可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 故答案为：3，2； 【小问2详解】 解：设，，则， ∴，，， ∴． 21. 【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．可用和两种方法表示如图②中阴影部分的面积，由此可以得出，、之间的等量关系是； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （1）如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； （2）已知，，利用（1）的结论求的值． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积：能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）利用体积相等推导出； （2）利用（1）中结论进行变形计算即可． 【小问1详解】 解：根据图③看作棱长为的正方体，则体积为：， 图③又可以看作长方体与正方体的体积的和，则该正方体体积为：， ； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ， ，， ， ． 22. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： （1）请用上述方法把分解因式； （2）求多项式的最小值； （3）试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法的应用是解题的关键：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． （1）按照题干中所给的方法，利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可求出多项式的最小值； （3）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为1； 【小问3详解】 解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； 【问题提出】（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的判定得出； （2）根据余角性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ，， ， ， 又， ∴， ，， ， 即． 24. 【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】（1）求的结果是8的几倍？ 【证明】（2）证明两个连续奇数与（n为整数）的平方差是8的整数倍； 【延伸】（3）两个连续偶数与（m为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值． 【答案】（1）是8的8倍；（2）见解析；（3）两个连续偶数的平方差是4的倍数，不是8的倍数，若使得最后的结果是8的整数倍，加上正整数的最小值为4． 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式． （1）通过计算即可得出答案； （2）应用因式分解的方法计算，据此可得出结论； （3）首先设两个连续的偶数分别为：，，再计算，据此可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ， ∴是8的8倍； （2）证明： ， ∴两个连续奇数，的平方差是8的倍数； （3）解：两个连续偶数的平方差是4的倍数． 理由如下： 设两个连续的偶数分别为：，， ∵ ， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数，不是8的倍数， ∵ ∴若使得最后的结果是8的整数倍，加上正整数的最小值为4． 25. 如图，，，且，． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）设与交于点，连接．若，，求与的数量关系式． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）作交的延长线于点，设与交于点，连接，证明，得出，，证明得出，从而得出，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴ ∴（同旁内角互补，两直线平行） 【小问2详解】 证明：如图，连接、， ∵在和中， ， ∴． ∴（全等三角形对应边相等） 【小问3详解】 解：如图，作交的延长线于点，设与交于点，连接， ， ∵， ∴． ∴． ∵在和中， ， ∴ ∴，． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴ ∴． ∴ ∵，，， ∴与的数量关系式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $