精品解析： 江苏省扬州市广陵区2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

2024-2025学年第一学期期中调研考试九年级数学试题 说明： 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分． 本卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答，在试卷或草稿纸上答题无效． 3．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分． 在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（ ） A. 外心 B. 垂心 C. 重心 D. 内心 3. 某件羽绒服原价360元，店长需要清空库存，对该件羽绒服进行了连续两次降价，现在售价为200元．设平均每次降价的百分率为 ，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A. B. C. D. 5. 当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：），那么该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A. k＜﹣2 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 7. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若 的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 8. 将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分． 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若是关于x的一元二次方程，则m的值是__________． 10. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 11. 一元二次方程的解为________． 12. 制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中弧 的长为_______cm（结果保留π）． 13. 如图，在 中， 为直径，为圆上一点，的角平分线与 交于点，若，______． 14. 如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为______． 15. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画弧，则由图中阴影部分的扇形围成的圆锥的高为_____． 16. 如图，AB为⊙0的弦，AB=6，点C是⊙0上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是______________． 17. 已知a、b、c是 的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则 的形状是__________三角形． 18. 如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为______. 三、解答题（本大题共有10小题，共96分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于 的方程． （1）若方程的一个实根是3，求实数的值． （2）求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 21. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点 ， ， ，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 为原点建立直角坐标系． （1）过 ， ，三点的圆的圆心坐标为______； （2）请通过计算判断点与的位置关系． 22. 如图， 是 的直径，，过D作，垂足为点E， 的延长线交 于点F，，求的度数和 的长． 23. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． （1）平均每天的销售量为　　　　本（用含x的代数式表示）； （2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 24. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，其早在战国时期就已被发明是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作 的切线与的延长线交于点M，连接． （1）相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为 ． （2）求的长． （3）求的长． 25. 我们规定：方程的变形方程为．例如：方程的变形方程为． （1）直接写出方程的变形方程； （2）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若方程的变形方程为，直接写出的值． 26. 如图所示， 是直角三角形，，以 为直径的 交 于点E，点D是边的中点，连接 ． （1）求证： 与 相切； （2）若 的半径为，，求 ． 27. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求 的面积． 28. 如图， 是圆O的直径，O为圆心， 、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点E． （1）判断直线是否为 的切线，并说明理由； （2）如果，，求的长． （3）在（2）的条件下，将线段以直线 为对称轴作对称线段 ，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形为菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中调研考试九年级数学试题 说明： 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分． 本卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答，在试卷或草稿纸上答题无效． 3．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分． 在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不合题意； B、，当时，它不是一元二次方程，不合题意； C、是二元一次方程，不合题意； D、是一元二次方程，符合题意． 故选：D 2. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（ ） A. 外心 B. 垂心 C. 重心 D. 内心 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心， 故选：A． 3. 某件羽绒服原价360元，店长需要清空库存，对该件羽绒服进行了连续两次降价，现在售价为200元．设平均每次降价的百分率为 ，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为200元”可得答案． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 4. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为 ； 故选：B． 5. 当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：），那么该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，设圆的圆心为O点，⊙O与刻度尺的一边相交于点A、B，与另一边相交于点C，连接OC，OA，如图，cm，根据切线的性质得到刻度尺的一边，所以，根据平行线的性质得到cm，cm，设⊙O的半径为rcm，在中利用勾股定理得到，，然后解方程即可，熟练利用垂径定理是解题的关键． 【详解】解：设圆的圆心为O点，与刻度尺的一边相交于点A、B，与另一边相交于点C，连接OC，OA，如图，， ∵刻度尺的一边与圆相切， ∴刻度尺的这一边， ∵刻度尺的两边平行， ∴， ∴，， 设⊙O的半径为， 在中，， 解得，即该圆的半径为． 故选：B 6. 已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A. k＜﹣2 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到一元二次方程的二次项系数不为零、根的判别式的值大于零，从而列出关于 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到 的取值范围． 【详解】根据题意得：，且， 解得：，且． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，能够准确得到关于 的不等式组是解决问题的关键． 7. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为=30°，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图，过A作AC⊥OB于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为=30°， ∵OA=1， ∴AC=OA=， ∴S△OAB=×1×=， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 8. 将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据新定义，列出一元二次方程进行求解后，再进行乘法计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分． 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若是关于x的一元二次方程，则m的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出，求出即可得解； 【详解】 是关于x的一元二次方程， 解得， 故答案为：1． 10. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则 的值为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握一元二次方程配方法的计算是解题的关键． 找到一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14 ． 11. 一元二次方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】移项，因式分解即可得到答案． 【详解】解：原方程变形得， ， 即， ∴原方程的解为：，， 故答案为，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解． 12. 制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中弧的长为_______cm（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的应用．直接利用弧长公式“”求解即可． 【详解】解：∵半径，圆心角， ∴这段弯管中的长为， 故答案为：． 13. 如图，在中，为直径， 为圆上一点，的角平分线与交于点，若，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先根据圆的性质得到， ，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径， ∴ ， ∴， ∵的角平分线与交于点， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为______ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，根据题意设小路宽为，则种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关系于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 故答案为：2． 15. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画弧，则由图中阴影部分的扇形围成的圆锥的高为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，求出圆锥底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴， ∴， 设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的高为h ∴ ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的母线，高和底面圆半径之间的关系，利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径是解题的关键． 16. 如图，AB为⊙0的弦，AB=6，点C是⊙0上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是______________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：因为点M、N分别是AB、BC的中点， 由三角形的中位线可知：MN=AC， 所以当AC最大为直径时，MN最大．这时∠B=90° 又因为∠ACB=45°，AB=6 解得AC=6 MN长的最大值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大． 17. 已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是__________三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，将方程转化为一般式，根据方程有2个相同的实数根，得到，再利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：方程转化为：， 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴， ∴， ∵a、b、c是的三边， ∴是直角三角形； 故答案为：直角． 18. 如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为______. 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：根据题意画出平移后的图形，如图所示： 设平移后的△A′B′C′与相切于点D，连接OD，OA，AD， 过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点， ∵平移前与AC相切于A点， ∴OA⊥A′C,即 ∵平移前与AC相切于A点,平移后与A′B′相切于D点， 即A′D与A′A为的两条切线， ∴A′D=A′A,又 ∴△A′AD为等边三角形， ∴ ∴ 在Rt△AOE中, ∴ ∴ ∴ 则该直角三角板平移的距离为 故答案为 三、解答题（本大题共有10小题，共96分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用十字相乘法进行因式分解后，进行求解即可； （2）移项，利用提公因式法进行因式分解后，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ∴，； 【小问2详解】 ， 右边因式分解得：， 移项得：， 因式分解得：， 或， ，． 20. 已知关于 的方程． （1）若方程的一个实根是3，求实数 的值． （2）求证：无论 取什么实数，方程总有实数根． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴ ； ∴无论 取什么实数，方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）将代入方程，进行求解即可； （2）求出判别式的符号，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 解得：； 【小问2详解】 略 21. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点 ， ， ， 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 为原点建立直角坐标系． （1）过 ， ， 三点的圆的圆心坐标为______； （2）请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】（1） （2）在圆外 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． （1）连接， ，分别作， 的垂直平分线，两直线交于点，就是过 ， ， 三点的圆的圆心，由图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，分别作， 的垂直平分线，两直线交于点， 是过 ， ， 三点的圆的圆心， ． 【小问2详解】 ，，， ，， ， 点在的外部． 22. 如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，，求的度数和 的长． 【答案】；． 【解析】 【分析】连接，根据是的直径，可得，进而可以求的度数；根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得 的长，再根据垂径定理可得的值，进而可得 的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵，，且是直径， ∴， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． 23. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． （1）平均每天的销售量为　　　　本（用含x的代数式表示）； （2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每本画册应降价4元 【解析】 【分析】（1）根据“画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本”列式即可． （2）根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去； 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题——利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 由题意可知，每天的销售量为本． 故答案为：． 【小问2详解】 由题意可得， ， 整理得， 解得，， ∵要求每本售价不低于55元， ∴符合题意． 故每本画册应降价4元． 24. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，其早在战国时期就已被发明是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接 ． （1）相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为 ． （2）求的长． （3）求的长． 【答案】（1） （2） （3）20 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、勾股定理，弧，弦，圆心角之间的关系等知识，熟练掌握圆中相关性质是解答的关键． （1）根据八个方位将圆形八等分直接求解即可； （2）根据圆周角定理和弧，弦角之间的关系，得到，利用勾股定理即可求解； （3）根据切线性质得到，再根据等腰直角三角形的判定与性质可求得． 【小问1详解】 解：∵八个方位将圆形八等分， ∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵ 为的直径， ∴，． 由题意知， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵为的切线， ∴． 由（2）知， ∴为等腰直角三角形， ∴． 25. 我们规定：方程的变形方程为．例如：方程的变形方程为． （1）直接写出方程的变形方程； （2）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； （3）若方程的变形方程为，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）1 【解析】 【分析】(1)根据题目的规定直接写出方程化简即可. (2)先将方程变形,再根据判别式解出范围即可. (3)先将变形前的方程列出来化简求出a、b、c,相加即可求解. 【详解】（1）由题意得,化简后得:. （2）若方程的变形方程为， 即. 由方程的变形方程有两个不相等的实数根，可得 方程的根的判别式， 即. 解得 （3）变形前的方程为: ,化简后得:x2=0, ∴a=1,b=0,c=0,∴a+b+c=1. 【点睛】本题考查一元二次方程的运用,关键在于读题根据规定变形即可. 26. 如图所示，是直角三角形，，以为直径的交 于点E，点D是 边的中点，连接． （1）求证：与相切； （2）若的半径为，，求 ． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵点D是 的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又， ∴，又是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、直角三角形斜边的中线性质等知识． （1）如图连接，由是直径知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，再利用，根据等腰三角形的性质知，得到，即得证为切线； （2）由，知，在直角中可利用勾股定理求出 ，再利用的面积相等求出 ，然后在直角 中利用勾股定理求出 即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，知， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【小问1详解】 解：当，，时勾系一元二次方程为； 【小问2详解】 证明：根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； 【小问3详解】 解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 28. 如图，是圆O的直径，O为圆心， 、是半圆的弦，且．延长交圆的切线 于点E． （1）判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如果，，求的长． （3）在（2）的条件下，将线段以直线 为对称轴作对称线段 ，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）是的切线，理由见解析； （2）1； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和判定，正切，菱形的判定，平行线的判定，对称，同弧所对的圆周角相等，含30度角的直角三角形性质，切线长定理。 （1）连接，由是圆O的直径可得，进而求得，即可得出直线为的切线； （2）求出，解直角三角形求出，根据含角直角三角形求出即可； （3）根据折叠和已知求出，根据平行线的判定推出，求出，，推出，求出，根据切线长定理可得，，进而结论得证． 【小问1详解】 直线为的切线，理由如下： 如图1，连接， ∵是的直径， ， ， ∵， ， ， ∴，即， ∵是的半径， 直线为的切线； 【小问2详解】 为切线， ， ， ， 在中，，， ∴， ， ∵， ∴； 【小问3详解】 如图2，连接， 由题意得：，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ， 为切线， ， ， 四边形为平行四边形， ∵ 、 为切线， ∴， 四边形为菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $